（广西课标版）2020版高考数学二轮复习 2.3 导数在函数中的应用 1 导数与函数的单调性、极值、

2.3导数在函数中的应用-2-试题统计题型命题规律复习策略(2015全国Ⅰ,文14)(2015全国Ⅰ,文21)(2015全国Ⅱ,文16)(2015全国Ⅱ,文21)(2016全国Ⅰ,文9)(2016全国Ⅰ,文12)(2016全国Ⅰ,文21)(2016全国Ⅱ,文20)(2016全国Ⅲ,文16)(2016全国Ⅲ,文21)(2017全国Ⅰ,文14)(2017全国Ⅰ,文21)(2017全国Ⅱ,文21)(2017全国Ⅲ,文21)(2018全国Ⅰ,文6)(2018全国Ⅰ,文21)(2018全国Ⅱ,文13)(2018全国Ⅱ,文21)(2018全国Ⅲ,文21)(2019全国Ⅰ,文13)(2019全国Ⅰ,文20)(2019全国Ⅱ,文10)(2019全国Ⅱ,文21)(2019全国Ⅲ,文7)(2019全国Ⅲ,文20)选择题填空题解答题导数是高中数学选修板块中重要的部分,应用广泛.高考命题既有考查基础的题型,如用导数求切线的斜率、判断单调性、求极值、最值等;又有重点考查能力的压轴题型,往往以数列、方程、不等式为背景,综合考查学生转化和化归、分类讨论、数形结合等数学思想的应用能力.抓住考查的主要题目类型进行训练,重点有三个类型的题目:一是利用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性,进而求函数的极值或最值;二是利用导数探求参数的取值范围;三是利用导数解决不等式问题及函数的零点、方程根的问题.一、导数与函数的单调性、极值、最值-4-命题热点一命题热点二命题热点三利用导数讨论函数的单调性【思考】函数的导数与函数的单调性具有怎样的关系?例1(2019河北沧州一模,21)已知函数f(x)=(x+a)ex(a∈R).(1)讨论f(x)在区间[0,+∞)内的单调性;(2)若函数在区间[0,+∞)内单调递增,求实数t的取值范围.g(x)=ex𝑥-32−12tx2-tx解(1)f'(x)=(x+a+1)ex(x≥0).①当a+1≥0,即a≥-1时,f(x)在区间[0,+∞)内单调递增;②当a+10,即a-1时,令f'(x)=0,得x=-a-1.在区间[0,-a-1)内,f'(x)0;在区间(-a-1,+∞)内,f'(x)0.则f(x)在区间[0,-a-1)内单调递减,在区间(-a-1,+∞)内单调递增.综上,当a≥-1时,f(x)在区间[0,+∞)内单调递增;当a-1时,f(x)在区间[0,-a-1)内单调递减,在区间(-a-1,+∞)内单调递增.-5-命题热点一命题热点二命题热点三(2)g(x)=ex𝑥-32−12tx2-tx在区间[0,+∞)内单调递增⇔g'(x)=ex𝑥-12-tx-t≥0在区间[0,+∞)内恒成立⇔e𝑥𝑥-12-𝑡𝑥-𝑡min≥0.令p(x)=ex𝑥-12-tx-t(x≥0),则p'(x)=ex𝑥+12-t.由(1)知,p'(x)在区间[0,+∞)内为增函数,p'(x)min=p'(0)=12-t,当12-t≥0,即t≤12时,p(x)在区间[0,+∞)内为增函数,p(x)min=p(0)=-12-t≥0,得t≤-12,故t的取值范围为t≤-12.-6-命题热点一命题热点二命题热点三当12-t0,即t12时,∃x0∈[0,+∞),使p'(x)=0,则p(x)在区间[0,x0)内为减函数,在区间(x0,+∞)内为增函数,而p(0)=-12-t-1,则∃x∈[0,+∞),使得p(x)0成立,舍去.综上,实数t的取值范围是t≤-12.-7-命题热点一命题热点二命题热点三题后反思利用函数的导数研究函数的单调性的一般步骤:(1)确定函数的定义域;(2)求导数f'(x);(3)①若求单调区间(或证明单调性),只需在函数y=f(x)的定义域内解(或证明)不等式f'(x)0或f'(x)0;②若已知y=f(x)的单调性,则转化为不等式f'(x)≥0或f'(x)≤0在单调区间上恒成立问题求解.-8-命题热点一命题热点二命题热点三对点训练1已知函数f(x)=2𝑎𝑥+𝑎2-1𝑥2+1,其中a∈R.(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在原点处的切线方程;(2)求f(x)的单调区间.解(1)当a=1时,f(x)=2𝑥𝑥2+1,f'(x)=-2(𝑥+1)(𝑥-1)(𝑥2+1)2.由f'(0)=2,得曲线y=f(x)在原点处的切线方程是2x-y=0.(2)f'(x)=-2(𝑥+𝑎)(𝑎𝑥-1)(𝑥2+1)2.①当a=0时,f'(x)=2𝑥(𝑥2+1)2.所以f(x)在区间(0,+∞)内单调递增,在区间(-∞,0)内单调递减.当a≠0时,f'(x)=-2𝑎(𝑥+𝑎)𝑥-1𝑎(𝑥2+1)2.-9-命题热点一命题热点二命题热点三②当a0时,令f'(x)=0,得x1=-a,x2=1𝑎.当x变化时,f(x)与f'(x)的变化情况如下:x(-∞,x1)x1(x1,x2)x2(x2,+∞)f'(x)-0+0-f(x)↘f(x1)↗f(x2)↘故f(x)的单调递减区间是(-∞,-a),1𝑎,+∞,单调递增区间是-𝑎,1𝑎.③当a0,且当x变化时,f(x)与f'(x)的情况如下:x(-∞,x2)x2(x2,x1)x1(x1,+∞)f'(x)+0-0+f(x)↗f(x2)↘f(x1)↗-10-命题热点一命题热点二命题热点三故f(x)的单调递增区间是-∞,1𝑎,(-a,+∞),单调递减区间是1𝑎,-𝑎.综上,当a0时,f(x)的单调递减区间为(-∞,-a),1𝑎,+∞,单调递增区间为-𝑎,1𝑎;当a=0时,f(x)的单调递增区间为(0,+∞),单调递减区间为(-∞,0);当a0时,f(x)的单调递增区间为-∞,1𝑎,(-a,+∞),单调递减区间为1𝑎,-𝑎.-11-命题热点一命题热点二命题热点三利用导数求函数的极值或最值【思考】函数的极值与导数有怎样的关系?如何求函数的最值?例2(2019辽宁大连二模,文21)已知x=1是函数f(x)=ax2+𝑥2-xlnx的极值点.(1)求实数a的值;(2)求证:函数f(x)存在唯一的极小值点x0,且0f(x0)34.(参考数据:ln2≈0.69)-12-命题热点一命题热点二命题热点三(1)解因为f'(x)=2ax-12-lnx,且x=1是极值点,所以f'(1)=2a-12=0,解得a=14,此时f'(x)=𝑥2−12-lnx.设g(x)=f'(x),则g'(x)=12−1𝑥=𝑥-22𝑥.当0x2时,g'(x)0,g(x)为减函数,又g(1)=0,g(2)=12-ln20,当0x1时,g(x)0,则f(x)为增函数,当1x2时,g(x)0,则f(x)为减函数.此时x=1为f(x)的极大值点,符合题意.故a=14.-13-命题热点一命题热点二命题热点三(2)证明由(1)知,当0x2时,f(x)不存在极小值点.当x2时,g'(x)0,g(x)为增函数,且g(4)=32-2ln20,g(2)0,所以存在x0∈(2,4),g(x0)=0.结合(1)可知当1xx0时,g(x)0,f(x)为减函数;当xx0时,g(x)0,f(x)为增函数,所以函数f(x)存在唯一的极小值点x0.又g(3)=1-ln30,所以3x04,且满足𝑥02−12-lnx0=0.所以f(x0)=𝑥024+𝑥02-x0lnx0=-𝑥024+x0.由二次函数的图象可知f(4)f(x0)f(3).又f(3)=-94+3=34,f(4)=-164+4=0,∴0f(x0)34.-14-命题热点一命题热点二命题热点三题后反思1.利用导数研究函数的极值的一般步骤:(1)确定函数的定义域;(2)求导数f'(x);(3)①若求极值,则先求方程f'(x)=0的根,再求出极值(当根中有参数时,要注意分类讨论根是否在定义域内);②若已知极值大小或存在的情况,则转化为已知方程f'(x)=0根的大小或存在的情况,从而求解.2.求函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数y=f(x)在区间(a,b)内的极值;(2)将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.-15-命题热点一命题热点二命题热点三对点训练2(2019全国Ⅲ,文20)已知函数f(x)=2x3-ax2+2.(1)讨论f(x)的单调性;(2)当0a3时,记f(x)在区间[0,1]上的最大值为M,最小值为m,求M-m的取值范围.-16-命题热点一命题热点二命题热点三解(1)f'(x)=6x2-2ax=2x(3x-a).令f'(x)=0,得x=0或x=𝑎3.若a0,则当x∈(-∞,0)∪𝑎3,+∞时,f'(x)0;当x∈0,𝑎3时,f'(x)0.故f(x)在区间(-∞,0),𝑎3,+∞内单调递增,在区间0,𝑎3内单调递减;若a=0,f(x)在区间(-∞,+∞)内单调递增;若a0,则当x∈-∞,𝑎3∪(0,+∞)时,f'(x)0;当x∈𝑎3,0时,f'(x)0.故f(x)在区间-∞,𝑎3,(0,+∞)内单调递增,在区间𝑎3,0内单调递减.-17-命题热点一命题热点二命题热点三(2)当0a3时,由(1)知,f(x)在区间0,𝑎3内单调递减,在区间𝑎3,1内单调递增,所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f𝑎3=-𝑎327+2,最大值为f(0)=2或f(1)=4-a.于是m=-𝑎327+2,M=4-𝑎,0𝑎2,2,2≤𝑎3.所以M-m=2-𝑎+𝑎327,0𝑎2,𝑎327,2≤𝑎3.当0a2时,可知2-a+𝑎327单调递减,所以M-m的取值范围是827,2.当2≤a3时,𝑎327单调递增,所以M-m的取值范围是827,1.综上,M-m的取值范围是827,2.-18-命题热点一命题热点二命题热点三利用导数求与函数零点有关的参数范围【思考】如何利用导数求与函数零点有关的参数范围?例3(2019全国Ⅰ,文20)已知函数f(x)=2sinx-xcosx-x,f'(x)为f(x)的导数.(1)证明:f'(x)在区间(0,π)内存在唯一零点;(2)若当x∈[0,π]时,f(x)≥ax,求a的取值范围.(1)证明设g(x)=f'(x),则g(x)=cosx+xsinx-1,g'(x)=xcosx.当x∈0,π2时,g'(x)0;当x∈π2,π时,g'(x)0,所以g(x)在区间0,π2内单调递增,在区间π2,π内单调递减.又g(0)=0,gπ20,g(π)=-2,故g(x)在区间(0,π)内存在唯一零点.所以f'(x)在区间(0,π)内存在唯一零点.-19-命题热点一命题热点二命题热点三(2)解由题设知f(π)≥aπ,f(π)=0,可得a≤0.由(1)知,f'(x)在区间(0,π)内只有一个零点,设为x0,且当x∈(0,x0)时,f'(x)0;当x∈(x0,π)时,f'(x)0,所以f(x)在区间(0,x0)内单调递增,在区间(x0,π)内单调递减.又f(0)=0,f(π)=0,所以,当x∈[0,π]时,f(x)≥0.又当a≤0,x∈[0,π]时,ax≤0,故f(x)≥ax.因此,a的取值范围是(-∞,0].-20-命题热点一命题热点二命题热点三题后反思与函数零点有关的参数范围问题,往往利用导数研究函数的单调区间和极值点,并结合特殊点,从而判断函数的大致图象,讨论其图象与x轴的交点个数问题(或者转化为两个熟悉函数图象的交点问题),进而确定参数的取值范围.-21-命题热点一命题热点二命题热点三对点训练3(2019广东广州综合测试,21)设函数f(x)=-alnx,a∈R.(1)求函数y=f(x)的单调区间和极值;(2)若函数f(x)在区间(1,e2]上恰有两个零点,求a的取值范围.𝑥22解(1)由f(x)=𝑥22-alnx,得f'(x)=x-𝑎𝑥=𝑥2-𝑎𝑥(x0).当a≤0时,f'(x