（福建专用）2020版高考数学一轮复习 第七章 不等式、推理与证明 7.1 二元一次不等式（组）与简

第七章不等式、推理与证明7.1二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题知识梳理-3-知识梳理双基自测211.二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地,二元一次不等式Ax+By+C0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的.我们把直线画成虚线以表示区域边界直线.当我们在平面直角坐标系中画不等式Ax+By+C≥0所表示的平面区域时,此区域应边界直线,则把边界直线画成.(2)因为对直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得的符号都,所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0,y0)作为测试点,由Ax0+By0+C的即可判断Ax+By+C0表示的是直线Ax+By+C=0哪一侧的平面区域.平面区域不包括包括实线相同符号知识梳理-4-知识梳理双基自测21(3)利用“同号上,异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域:①当B(Ax+By+C)0时,区域为直线Ax+By+C=0的;②当B(Ax+By+C)0时,区域为直线Ax+By+C=0的.注:其中Ax+By+C的符号是给出的二元一次不等式的符号.(4)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域,是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.上方下方知识梳理-5-知识梳理双基自测212.线性规划的相关概念名称意义线性约束条件由x,y的一次不等式组成的不等式组目标函数欲求最大值或最小值的函数线性目标函数关于x,y的一次解析式可行解满足的解可行域所有组成的集合最优解使目标函数达到或的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的或的问题线性约束条件可行解最大值最小值最大值最小值知识梳理2-6-知识梳理双基自测34151.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.(1)不等式x-y-10表示的平面区域一定在直线x-y-1=0的上方.()(2)两点(x1,y1),(x2,y2)在直线Ax+By+C=0异侧的充要条件是(Ax1+By1+C)(Ax2+By2+C)0.()(3)任何一个二元一次不等式组都表示平面上的一个区域.()(4)在目标函数z=ax+by(b≠0)中,z的几何意义是直线ax+by-z=0在y轴上的截距.()答案答案关闭(1)×(2)√(3)×(4)×知识梳理-7-知识梳理双基自测234152.下列各点中,不在x+y-1≤0表示的平面区域内的是()A.(0,0)B.(-1,1)C.(-1,3)D.(2,-3)答案解析解析关闭把各点的坐标代入,可知(-1,3)不满足x+y-1≤0,故选C.答案解析关闭C知识梳理-8-知识梳理双基自测234153.若点(m,1)在不等式2x+3y-50所表示的平面区域内,则m的取值范围是()A.m≥1B.m≤1C.m1D.m1答案解析解析关闭∵点(m,1)在不等式2x+3y-50所表示的平面区域内,∴2m+3-50,即m1.答案解析关闭D知识梳理-9-知识梳理双基自测234154.不等式组𝑥≥0,𝑥+3𝑦≥4,3𝑥+𝑦≤4所表示的平面区域的面积等于()A.32B.23C.43D.34答案解析解析关闭不等式组𝑥≥0,𝑥+3𝑦≥4,3𝑥+𝑦≤4,所表示的平面区域如图(阴影部分)所示.解𝑥+3𝑦=4,3𝑥+𝑦=4得A(1,1),易得B(0,4),C0,43,|BC|=4-43=83.故S△ABC=12×83×1=43.答案解析关闭C知识梳理-10-知识梳理双基自测234155.若实数x,y满足约束条件2𝑥+𝑦-4≤0,𝑥-𝑦-1≤0,𝑥≥1,则z=3x+2y的最大值为.答案解析解析关闭由约束条件2𝑥+𝑦-4≤0,𝑥-𝑦-1≤0,𝑥≥1作出可行域如图,联立𝑥=1,2𝑥+𝑦-4=0,解得A(1,2),化目标函数z=3x+2y为y=-32x+𝑧2,由图可知,当直线y=-32x+𝑧2过点A时,直线在y轴上的截距最大,z有最大值为7.故答案为7.答案解析关闭7-11-考点1考点2考点3考点1二元一次不等式(组)表示的平面区域例1(1)若Ω为不等式组𝑥≤0,𝑦≥0,𝑦-𝑥≤2表示的平面区域,则当a从-2连续变化到1时,动直线x+y=a扫过Ω中的那部分区域的面积为()A.1B.32C.34D.74(2)若不等式组𝑥-𝑦≥0,2𝑥+𝑦≤2,𝑦≥0,𝑥+𝑦≤𝑎表示的平面区域是一个三角形,则a的取值范围是()A.43,+∞B.(0,1]C.1,43D.(0,1]∪43,+∞思考如何确定二元一次不等式(组)表示的平面区域?DD-12-考点1考点2考点3解析:(1)如图,不等式组表示的平面区域是△AOC,当a从-2连续变化到1时,动直线x+y=a扫过Ω中的那部分区域为图中的四边形AODE,其面积为S=S△AOC-S△DEC=12×2×2-12×1×12=74.-13-考点1考点2考点3(2)不等式组𝑥-𝑦≥0,2𝑥+𝑦≤2,𝑦≥0表示的平面区域如图(阴影部分),求得A,B两点的坐标分别为23,23和(1,0),若原不等式组表示的平面区域是一个三角形,则由图可知直线x+y=a的a的取值范围是0a≤1或a≥43.-14-考点1考点2考点3解题心得确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法:(1)“直线定界,特殊点定域”,即先作直线,再取特殊点并代入不等式组.若满足不等式组,则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域;否则就对应特殊点异侧的平面区域.(2)若不等式带等号,则边界为实线;若不等式不带等号,则边界为虚线.-15-考点1考点2考点3对点训练1(1)在平面直角坐标系中,若不等式组𝑥+𝑦-1≥0,𝑥-1≤0,𝑎𝑥-𝑦+1≥0(a为常数)所表示的平面区域的面积等于2,则a的值为()A.-5B.1C.2D.3(2)如图,阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示为.答案:(1)D(2)𝑥+𝑦-1≥0,𝑥-2𝑦+2≥0-16-考点1考点2考点3解析:(1)不等式组𝑥+𝑦-1≥0,𝑥-1≤0,𝑎𝑥-𝑦+1≥0所围成的平面区域如图(阴影部分).∵其面积为2,∴|AC|=4,从而点C坐标为(1,4),代入ax-y+1=0,解得a=3,故选D.-17-考点1考点2考点3(2)两条直线方程分别为x-2y+2=0与x+y-1=0.把x=0,y=0代入x-2y+2得2,可知直线x-2y+2=0右下方所表示的二元一次不等式为x-2y+2≥0,把x=0,y=0代入x+y-1得-1,可知直线x+y-1=0右上方所表示的二元一次不等式为x+y-1≥0,即𝑥+𝑦-1≥0,𝑥-2𝑦+2≥0为所表示的平面区域.-18-考点1考点2考点3考点2求目标函数的最值(多考向)考向一求线性目标函数的最值例2设x,y满足约束条件𝑥+2𝑦≤1,2𝑥+𝑦≥-1,𝑥-𝑦≤0,则z=3x-2y的最小值为.思考怎样利用可行域求线性目标函数的最值?答案解析解析关闭不等式组𝑥+2𝑦≤1,2𝑥+𝑦≥-1,𝑥-𝑦≤0表示的平面区域如图所示.由z=3x-2y,得y=32x-𝑧2.求z的最小值,即求直线y=32x-𝑧2的纵截距的最大值.数形结合知当直线y=32x-𝑧2过图中点A时,纵截距最大.由2𝑥+𝑦=-1,𝑥+2𝑦=1,解得A点坐标为(-1,1),此时z取得最小值为3×(-1)-2×1=-5.答案解析关闭-5-19-考点1考点2考点3考向二已知目标函数的最值求参数的取值A.[-1,2]B.[-2,1]C.[-3,-2]D.[-3,1]思考如何利用可行域及最优解求参数及其范围?例3设x,y满足不等式组𝑥+𝑦-6≤0,2𝑥-𝑦-1≤0,3𝑥-𝑦-2≥0,若z=ax+y的最大值为2a+4,最小值为a+1,则实数a的取值范围为()答案解析解析关闭由z=ax+y得y=-ax+z,作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分),则A(1,1),B(2,4),由图可知,直线z=ax+y过点B时,取得最大值为2a+4,过点A时取得最小值为a+1,若a=0,则y=z,此时满足条件,若a0,k=-a0,则目标函数的斜率满足-a≥kBC=-1,即0a≤1,若a0,k=-a0,则目标函数的斜率满足-a≤kAC=2,即-2≤a0,综上-2≤a≤1.答案解析关闭B-20-考点1考点2考点3考向三求非线性目标函数的最值A.4B.9C.10D.12思考如何利用可行域求非线性目标函数最值?例4若变量x,y满足𝑥+𝑦≤2,2𝑥-3𝑦≤9,𝑥≥0,则x2+y2的最大值是()答案解析解析关闭如图,作出不等式组所表示的可行域(阴影部分),设可行域内任一点P(x,y),则x2+y2的几何意义为|OP|2.显然,当P与A重合时,取得最大值.由𝑥+𝑦=2,2𝑥-3𝑦=9,解得A(3,-1).所以x2+y2的最大值为32+(-1)2=10.故选C.答案解析关闭C-21-考点1考点2考点3解题心得1.利用可行域求线性目标函数最值的方法:首先利用约束条件作出可行域,然后根据目标函数找到最优解时的点,最后把解得点的坐标代入求解即可.2.利用可行域及最优解求参数及其范围的方法:(1)若限制条件中含参数,依据参数的不同范围将各种情况下的可行域画出来,寻求最优解,确定参数的值;(2)若线性目标函数中含有参数,可对线性目标函数的斜率分类讨论,以此来确定线性目标函数经过哪个顶点取得最值,从而求出参数的值;也可以直接求出线性目标函数经过各顶点时对应的参数的值,然后进行检验,找出符合题意的参数值.3.利用可行域求非线性目标函数最值的方法:画出可行域,分析目标函数的几何意义是斜率问题还是距离问题,依据几何意义可求得最值.-22-考点1考点2考点3对点训练2(1)(2018全国Ⅰ,理13)若x,y满足约束条件𝑥-2𝑦-2≤0,𝑥-𝑦+1≥0,𝑦≤0,则z=3x+2y的最大值为.(2)若x,y满足约束条件3𝑥-𝑦-𝑎≤0,𝑥-𝑦≥0,2𝑥+𝑦≥0,目标函数z=x+y的最大值为2,则实数a的值为()A.2B.1C.-1D.-26A-23-考点1考点2考点3(3)若变量x,y满足𝑥+𝑦≤2,2𝑥-3𝑦≤9,𝑥≥0,则x2+2x+y2的最大值是()A.4B.9C.16D.18(4)若实数x,y满足𝑦-2𝑥≤-2,𝑦≥1,𝑥+𝑦≤4,则𝑦𝑥的取值范围是.C13,1-24-考点1考点2考点3由z=3x+2y,得y=-32x+12z,作直线y=-32x并向上平移,显然当l过点B(2,0)时,z取最大值,zmax=3×2+0=6.解析:(1)作出可行域,如图阴影部分所示(包括边界).-25-考点1考点2考点3(2)作出不等式组𝑥-𝑦≥0,2𝑥+𝑦≥0对应的平面区域如图(阴影部分).∵目标函数z=x+y的最大值为2,∴z=x+y=2.作出直线x+y=2,由图象知x+y=2与平面区域相交于点A.由𝑥-𝑦=0,𝑥+𝑦=2,得𝑥=1,𝑦=1,即A(1,1).可知点A(1,1)在直线3x-y-a=0上,即3-1-a=0,解得a=2.故选A.-26-考点1考点2考点3(3)由约束条件𝑥+𝑦≤2,2𝑥-3𝑦≤9,𝑥≥0作出可行域如图,由x2+2x+y2=(x+1)2+y2-1,其几何意义为可行域内的动点与定点P(-1,0)的距离的平方减去1,联立𝑥+𝑦=2,2𝑥-3𝑦=9,解得A(3,-1),显然点P到点A的距离最大,且|PA|2=(-1-3)2+(0+1)2=17,所以x2+2x+y2的最大值是16.故选C.-27-考点1考点2考点3(4)作出不等式组𝑦-2𝑥≤-2,𝑦≥1,𝑥+𝑦≤4对应的平面区域如图,设k=𝑦𝑥,由图象可知,过原点的直线y=kx,当直线y=kx经过点A时,直线的斜率k最大,当经过点B时,直线的斜率k最小,由𝑦-2𝑥=-2,𝑥+𝑦=4,解得A(2,2),此时k=22=1.由𝑦=1,𝑥+𝑦=