（福建专用）2020版高考数学一轮复习 第九章 解析几何 9.2 两条直线的位置关系课件 新人教A版

9.2两条直线的位置关系知识梳理-2-知识梳理双基自测2311.两条直线的位置关系平面内两条直线的位置关系包括三种情况.(1)两条直线平行对于直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,l1∥l2⇔k1=k2,且b1≠b2.对于直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,l1∥l2⇔A1B2-A2B1=0,且B1C2-B2C1≠0(或A1C2-A2C1≠0).平行、相交、重合知识梳理-3-知识梳理双基自测231(2)两条直线垂直对于直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,l1⊥l2⇔k1·k2=-1.对于直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,l1⊥l2⇔.A1A2+B1B2=0知识梳理-4-知识梳理双基自测2312.两条直线的交点唯一解无解无穷多解知识梳理-5-知识梳理双基自测2313.三种距离两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)之间的距离|P1P2|=(x2-x1)2+(y2-y1)2点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d=|Ax0+By0+C|A2+B2两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0间的距离d=|C1-C2|A2+B2知识梳理2-6-知识梳理双基自测34151.下列结论正确的打“”,错误的打“×”.(1)如果直线l1与直线l2互相平行,那么这两条直线的斜率相等.()(2)如果直线l1与直线l2互相垂直,那么它们的斜率之积一定等于-1.()(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.()(5)已知直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0(A1,B1,C1,A2,B2,C2为常数),若直线l1⊥l2,则A1A2+B1B2=0.()(3)点P(x1,y1)到直线y=kx+b的距离为|𝑘𝑥1+𝑏|1+𝑘2.()答案答案关闭(1)×(2)×(3)×(4)√(5)√知识梳理-7-知识梳理双基自测234152.设a为实数,直线l1:ax+y=1,l2:x+ay=2a,则“a=-1”是“l1∥l2”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案解析解析关闭由“l1∥l2”得到a2-1=0,解得a=-1或a=1,所以应是充分不必要条件.故选A.答案解析关闭A知识梳理-8-知识梳理双基自测23415答案解析解析关闭已知圆的圆心为(0,3),直线x+y+1=0的斜率为-1,则所求直线的斜率为1,故所求直线的方程为y=x+3,即x-y+3=0.故选D.答案解析关闭D3.已知直线l过圆x2+(y-3)2=4的圆心,且与直线x+y+1=0垂直,则l的方程是()A.x+y-2=0B.x-y+2=0C.x+y-3=0D.x-y+3=0知识梳理-9-知识梳理双基自测234154.直线l1:x-y=0与l2:2x-3y+1=0的交点在直线mx+3y+5=0上,则m的值为()A.3B.5C.-5D.-8答案解析解析关闭由𝑥-𝑦=0,2𝑥-3𝑦+1=0,得l1与l2的交点坐标为(1,1).所以m+3+5=0,m=-8.答案解析关闭D知识梳理-10-知识梳理双基自测234155.与直线4x+3y-5=0平行,且到它的距离等于3的直线方程是.答案解析解析关闭设所求直线方程为4x+3y+m=0,由3=|𝑚+5|42+32,得m=10或-20.答案解析关闭4x+3y+10=0或4x+3y-20=0-11-考点1考点2考点3考点4考点1两条直线的平行与垂直例1已知直线l1:ax+2y+6=0和l2:x+(a-1)y+a2-1=0.(1)试判断l1与l2是否平行;(2)当l1⊥l2时,求a的值.思考解含参数的直线方程有关问题时如何分类讨论?-12-考点1考点2考点3考点4解(1)(方法一)当a=1时,直线l1的方程为x+2y+6=0,直线l2的方程为x=0,l1不平行于l2;当a=0时,直线l1的方程为y=-3,直线l2的方程为x-y-1=0,l1不平行于l2;综上可知,当a=-1时,l1∥l2,否则l1与l2不平行.当a≠1,且a≠0时,两条直线的方程可化为l1:y=-𝑎2x-3,l2:y=11-𝑎x-(a+1),由l1∥l2⇔-𝑎2=11-𝑎,-3≠-(𝑎+1),解得a=-1.-13-考点1考点2考点3考点4综上可知,当a=-1时,l1∥l2,否则l1与l2不平行.(方法二)由A1B2-A2B1=0,得a(a-1)-1×2=0;由A1C2-A2C1≠0,得a(a2-1)-1×6≠0.故当a=-1时,l1∥l2,否则l1与l2不平行.因此l1∥l2⇔𝑎(𝑎-1)-1×2=0,𝑎(𝑎2-1)-1×6≠0⇔𝑎2-𝑎-2=0,𝑎(𝑎2-1)≠6,⇒a=-1,-14-考点1考点2考点3考点4(2)(方法一)当a=1时,直线l1的方程为x+2y+6=0,直线l2的方程为x=0,l1与l2不垂直,故a=1不成立.当a=0时,直线l1的方程为y=-3,直线l2的方程为x-y-1=0,l1不垂直于l2.当a≠1,且a≠0时,直线l1的方程为y=-𝑎2x-3,直线l2的方程为y=11-𝑎x-(a+1),由-𝑎2·11-𝑎=-1,得a=23.(方法二)由A1A2+B1B2=0,得a+2(a-1)=0,故a=23.-15-考点1考点2考点3考点4解题心得1.当含参数的直线方程为一般式时,若要表示出直线的斜率,不仅要考虑到斜率存在的一般情况,还要考虑到斜率不存在的特殊情况,同时还要注意x,y的系数不能同时为零这一隐含条件.2.在判断两条直线的平行、垂直时,也可直接利用直线方程的系数之间的关系得出结论.-16-考点1考点2考点3考点4对点训练1(1)已知过点A(-2,m)和点B(m,4)的直线为l1,直线l2为2x+y-1=0,直线l3为x+ny+1=0.若l1∥l2,l2⊥l3,则实数m+n的值为.(2)已知两条直线l1:ax-by+4=0和l2:(a-1)x+y+b=0,求满足下列条件的a,b的值.①l1⊥l2,且l1过点(-3,-1);②l1∥l2,且坐标原点到这两条直线的距离相等.-17-考点1考点2考点3考点4(1)-10解析:∵l1∥l2,∴kAB=4-𝑚𝑚+2=-2,解得m=-8.又l2⊥l3,∴-1𝑛×(-2)=-1,解得n=-2.∴m+n=-10.-18-考点1考点2考点3考点4(2)解①由已知可得l2的斜率存在,故k2=1-a.若k2=0,则1-a=0,即a=1.∵l1⊥l2,∴直线l1的斜率k1必不存在,即b=0.又l1过点(-3,-1),∴此种情况不存在,∴k2≠0,即k1,k2都存在.又l1过点(-3,-1),∴-3a+b+4=0.(**)联立(*)(**),解得a=2,b=2.∴-3a+4=0,即a=43(矛盾),∵k2=1-a,k1=𝑎𝑏,l1⊥l2,∴k1k2=-1,即𝑎𝑏(1-a)=-1.(*)-19-考点1考点2考点3考点4②∵l2的斜率存在,l1∥l2,∴直线l1的斜率存在,∴k1=k2,即𝑎𝑏=1-a.(ⅰ)又坐标原点到这两条直线的距离相等,且l1∥l2,∴l1,l2在y轴上的截距互为相反数,即4𝑏=b.(ⅱ)联立(ⅰ)(ⅱ),解得𝑎=2,𝑏=-2或𝑎=23,𝑏=2.∴a=2,b=-2或a=23,b=2.-20-考点1考点2考点3考点4考点2直线的交点问题例2求经过两条直线l1:x-2y+4=0和l2:x+y-2=0的交点P,且与直线l3:3x-4y+5=0垂直的直线l的方程.思考求两条直线的交点坐标的一般思路是什么?解法一:由方程组𝑥-2𝑦+4=0,𝑥+𝑦-2=0,得𝑥=0,𝑦=2,即P(0,2).∵l⊥l3,∴kl=-43,∴直线l的方程为y-2=-43x,即4x+3y-6=0.-21-考点1考点2考点3考点4法二:∵直线l过直线l1和l2的交点,∴可设直线l的方程为x-2y+4+λ(x+y-2)=0,即(1+λ)x+(λ-2)y+4-2λ=0.∵l与l3垂直,∴3(1+λ)+(-4)(λ-2)=0,∴λ=11,∴直线l的方程为12x+9y-18=0,即4x+3y-6=0.-22-考点1考点2考点3考点4解题心得1.求两条直线的交点坐标,一般思路就是解由这两条直线方程组成的方程组,以方程组的解为坐标的点即为交点.2.常见的三大直线系方程:(1)与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程是Ax+By+m=0(m∈R,且m≠C).(2)与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程是Bx-Ay+m=0(m∈R).(3)过直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R),但不包括l2.-23-考点1考点2考点3考点4对点训练2(1)若三条直线2x+3y+8=0,x-y-1=0和x+by=0相交于一点,则b=()(2)过两条直线2x-y-5=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y-1=0平行的直线方程为.A.-1B.-12C.2D.12答案:(1)B(2)3x+y=0-24-考点1考点2考点3考点4解析:(1)解方程组2𝑥+3𝑦+8=0,𝑥-𝑦-1=0,得𝑥=-1,𝑦=-2,则三条直线交于点(-1,-2).即-1-2b=0,解得b=-12.(2)设所求直线为2x-y-5+λ(x+y+2)=0,整理得(2+λ)x+(λ-1)y+2λ-5=0.又所求直线与3x+y-1=0平行,所以2+𝜆3=𝜆-11≠2𝜆-5-1,解得λ=52.所以所求直线为2x-y-5+52(x+y+2)=0.即3x+y=0.-25-考点1考点2考点3考点4考点3距离公式的应用例3(1)若P,Q分别为直线3x+4y-12=0与6x+8y+5=0上任意一点,则|PQ|的最小值为()A.95B.185C.2910D.295(2)已知点P(2,-1).①求过点P且与原点的距离为2的直线l的方程.②求过点P且与原点的距离最大的直线l的方程,最大距离是多少?③是否存在过点P且与原点的距离为6的直线?若存在,求出方程;若不存在,请说明理由.思考利用距离公式应注意的问题有哪些?C-26-考点1考点2考点3考点4(1)解析：因为36=48≠-125,所以两直线平行,由题意可知,|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离,即|-24-5|62+82=2910,所以|PQ|的最小值为2910.(2)解：①过点P的直线l与原点的距离为2,而点P的坐标为(2,-1),显然,过P(2,-1)且垂直于x轴的直线满足条件,此时l的斜率不存在,其方程为x=2.若斜率存在,设l的方程为y+1=k(x-2),即kx-y-2k-1=0.由已知得|-2𝑘-1|𝑘2+1=2,解得k=34.此时l的方程为3x-4y-10=0.综上,可得直线l的方程为x=2或3x-4y-10=0.-27-考点1考点2考点3考点4②作图可得过点P与原点O的距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线,如图.由l⊥OP,得klkOP=-1,所以kl=-1𝑘𝑂𝑃=2.由直线方程的点斜式得y+1=2(x-2),即2x-y-5=0.所以直线2x-y-5=0是过点P且与原点O的距离最大的直线,最大距离为|-5|5=5.③由②可知,不存在过点P与原点的距离超过5的直线,因此不存在过点P且与原点的距离为6的直线.-28-考点1考点2考点3考点4解题心得利用距离公式应注意:(1)点P(x0,y0)到直线x=a的距离d=|x0-a|,到直线y=b的距离d=|y0-b|;(2)两平行线间的距离公式要求两条直线方程中x,y的系数相等.-29-考点1考点2考点3考点4对点训练3(1)圆x2+y2-2x-4y+3=0的圆心到直线x-ay+1=0的距离为2,则a=.(2)平行线5x+12y-10=0和mx+6y+2=0的距离是.答案解析解析关闭(1)x2+y2-2x-4