（福建专版）2020中考数学复习方案 第五单元 四边形 第28课时 矩形课件

第28课时矩形定义有一个角是①的平行四边形叫做矩形性质(1)矩形具有平行四边形的所有性质(2)矩形的四个角都是②,对角线互相平分并且③(3)矩形是轴对称图形,它有两条对称轴;又是中心对称图形,它的对称中心就是④判定(1)定义法(2)有三个角是直角的四边形是矩形(3)⑤的平行四边形是矩形考点矩形考点聚焦直角直角相等对角线的交点对角线相等(续表)有关计算(1)周长C=2(a+b)(其中a为长,b为宽);(2)面积S=ab(其中a为长,b为宽)【温馨提示】利用“矩形的对角线相等且互相平分”这一性质,可以得出:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.题组一必会题对点演练1.矩形具有而一般的平行四边形不一定具有的特征是()A.对角相等B.对角线互相平分C.对角线相等D.对边相等C2.[2018·上海]已知平行四边形ABCD,下列条件中,不能判定这个平行四边形为矩形的是()A.∠A=∠BB.∠A=∠CC.AC=BDD.AB⊥BC[答案]B[解析]∵∠A=∠B,AD∥BC,∴∠A=∠B=90°,故A选项能判定;∠A=∠C是一组对角相等,任意平行四边形都具有该性质,故B选项不能判定;对角线相等的平行四边形是矩形,故C选项能判定;∵AB⊥BC,∴∠B=90°,故D选项能判定.3.如图28-1,在矩形ABCD中,过点B作对角线AC的垂线,交AD于点E,若AB=2,BC=4,则AE=.图28-114.如图28-2,在矩形ABCD中,点E在边CD上,将矩形ABCD沿AE所在直线折叠,点D恰好落在边BC上的点F处.若DE=5,FC=4,则AB的长为.[答案]8图28-2[解析]∵四边形ABCD是矩形,∴∠C=90°,AB=CD,由折叠的性质可得:EF=DE=5,在Rt△CEF中,CE=𝐸𝐹2-𝐶𝐹2=52-42=3.∴AB=CD=DE+CE=5+3=8.故答案为:8.5.如图28-3所示,点O是矩形ABCD对角线AC的中点,OE∥AB交AD于点E.若OE=3,BC=8,则OB的长为.[答案]5图28-3[解析]∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABC=90°,AB∥CD,AB=CD.∵OE∥AB,点O是AC的中点,∴OE∥CD,OE是△ACD的中位线,∴CD=2OE=6,∴AB=6.在Rt△ABC中,AB=6,BC=8,∴AC=10.∵OB是Rt△ABC斜边上的中线,∴OB=12AC=5.题组二易错题【失分点】对矩形的折叠掌握不扎实.6.[2018·宁夏]将一张矩形纸片按如图28-4所示折叠,若∠1=40°,则∠2的度数是()A.40°B.50°C.60°D.70°图28-4[答案]D[解析]如图,易知2∠3=∠1+180°=220°,从而∠3=110°,又由平行线的性质,得∠2+∠3=180°,进而∠2=70°,故选D.7.[2017·福建模拟]如图28-5所示,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,点E为BC的中点,将△ABE沿AE折叠,使点B落在矩形内点F处,连接CF,则CF的长为()A.1.8B.2.4C.3.2D.3.6[答案]D图28-5[解析]连接BF,BF与AE的交点为H.∵BC=6,点E为BC的中点,∴BE=3,又∵AB=4,∴AE=𝐴𝐵2+𝐵𝐸2=5,∴BH=125,则BF=245,∵FE=BE=EC,∴∠BFC=90°,∴CF=62-(245)2=3.6.图28-68.[2018·福州质检]如图28-6,矩形ABCD中,E是BC上一点,将△ABE沿AE折叠,得到△AFE,若F恰好是CD的中点,则𝐴𝐷𝐴𝐵的值是.𝟑𝟐考向一矩形的性质图28-7例1[2018·福清模拟]在矩形ABCD中,两条对角线相交于点O,∠AOB=60°,AB=2,求AD的长.解:∵四边形ABCD是矩形,∴OA=OB=OC=OD,∠BAD=90°,∵∠AOB=60°,∴△AOB是等边三角形,∴OB=AB=2,∴BD=2BO=4,在Rt△BAD中,AD=𝐵𝐷2-𝐴𝐵2=42-22=23.|考向精练|图28-8[2019·厦门莲花中学阶段测试]如图28-8,在矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O.(1)若AB=2,AO=5,求BC的长;(2)若∠DBC=30°,CE=CD,∠DCE90°,OE=22BD,求∠DCE的度数.解:(1)∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABC=90°,AC=2AO=25.在Rt△ACB中,BC=𝐴𝐶2-𝐴𝐵2=4.(2)∵四边形ABCD是矩形,∴∠ACB=∠DBC=30°,BD=2OD,OD=OC,∴∠DCO=90°-30°=60°,∴△COD是等边三角形,∴OC=OD=CD.∵CE=CD,∴CE=CO.∵OE=22BD,∴OE=2OD=2OC=2CE.设OC=EC=a,则OE=2a,则OC2=EC2=a2,OE2=2a2,∴OC2+CE2=OE2.∴∠OCE=90°.∴∠DCE=90°-60°=30°.图28-8[2019·厦门莲花中学阶段测试]如图28-8,在矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O.(2)若∠DBC=30°,CE=CD,∠DCE90°,OE=22BD,求∠DCE的度数.考向二矩形的判定图28-9例2如图28-9,在△ABC中,AB=AC,点D是BC边的中点,连接AD,分别过点A,C作AE∥BC,CE∥AD交于点E,连接DE,交AC于点O.(1)求证:四边形ADCE是矩形;(2)若AB=10,sin∠COE=45,求CE的长.解:(1)证明:∵AB=AC,点D是BC边的中点,∴AD⊥BC于点D.∵AE∥BC,CE∥AD,∴四边形ADCE是平行四边形.又∵∠ADC=90°,∴平行四边形ADCE是矩形.(2)过点E作EF⊥AC于F.∵AB=10,∴AC=10.∵对角线AC,DE交于点O,∴DE=AC=10.∴OE=5.∵sin∠COE=45,∴EF=4,∴OF=3,∵OE=OC=5,∴CF=2,∴CE=25.图28-9例2如图28-9,在△ABC中,AB=AC,点D是BC边的中点,连接AD,分别过点A,C作AE∥BC,CE∥AD交于点E,连接DE,交AC于点O.(2)若AB=10,sin∠COE=45,求CE的长.|考向精练|[2018·漳州质检]求证:对角线相等的平行四边形是矩形.(要求:画出图形,写出已知和求证,并给予证明)解:已知:如图,▱ABCD,AC=BD.求证:▱ABCD是矩形.证明:证法一:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,AB∥CD.又∵AC=BD,BC=BC,∴△ABC≌△DCB.∴∠ABC=∠DCB.∵AB∥CD,∴∠ABC+∠DCB=180°.∴∠ABC=12×180°=90°.∴▱ABCD是矩形.证法二:设AC,BD交于点O.∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,OB=OD.∵AC=BD,∴OA=OC=OB.∴∠1=∠3,∠2=∠4.∴∠ABC=∠1+∠2=12×180°=90°.∴▱ABCD是矩形.考向三矩形的综合性问题图28-10例3[2017·福建24题]如图28-10,矩形ABCD中,AB=6,AD=8,P,E分别是线段AC,BC上的点,且四边形PEFD为矩形.(1)若△PCD是等腰三角形,求AP的长;(2)若AP=2,求CF的长.解:(1)在矩形ABCD中,AB=6,AD=8,∠ADC=90°,∴DC=AB=6,∴AC=𝐴𝐷2+𝐷𝐶2=10.要使△PCD是等腰三角形,有如下三种情况:①当CP=CD时,CP=6,∴AP=AC-CP=4.②当PD=PC时,∠PDC=∠PCD,∵∠PCD+∠PAD=∠PDC+∠PDA=90°,∴∠PAD=∠PDA,∴PD=PA,∴PA=PC,∴AP=𝐴𝐶2,即AP=5.③当DP=DC时,过D作DQ⊥AC于点Q,则PQ=CQ.∵S△ADC=12AD·DC=12AC·DQ,∴DQ=𝐴𝐷·𝐷𝐶𝐴𝐶=245,∴CQ=𝐷𝐶2-𝐷𝑄2=185,∴PC=2CQ=365,∴AP=AC-PC=145.综上所述,若△PCD是等腰三角形,则AP=4,或AP=5,或AP=145.图28-10例3[2017·福建24题]如图28-10,矩形ABCD中,AB=6,AD=8,P,E分别是线段AC,BC上的点,且四边形PEFD为矩形.(2)若AP=2,求CF的长.(2)连接PF,DE,记PF与DE的交点为O,连接OC.∵四边形ABCD和PEFD都是矩形,∴∠ADC=∠PDF=90°,即∠ADP+∠PDC=∠PDC+∠CDF,∴∠ADP=∠CDF.∵∠BCD=90°,OE=OD,∴OC=12ED.在矩形PEFD中,PF=DE,∴OC=12PF.∵OP=OF=12PF,∴OC=OP=OF,∴∠OCF=∠OFC,∠OCP=∠OPC,又∵∠OPC+∠OFC+∠PCF=180°,∴2∠OCP+2∠OCF=180°,∴∠PCF=90°,即∠PCD+∠FCD=90°.在Rt△ADC中,∠PCD+∠PAD=90°,∴∠PAD=∠FCD.∴△ADP∽△CDF,∴𝐶𝐹𝐴𝑃=𝐶𝐷𝐴𝐷=34.∵AP=2,∴CF=324.|考向精练|图28-111.如图28-11,矩形ABCD中,AB=2,BC=3,对角线AC的垂直平分线分别交AD,BC于点E,F,连接CE,则CE的长为()A.94B.115C.157D.136[答案]D[解析]∵四边形ABCD是矩形,∴CD=AB=2,AD=BC=3,∠D=90°,∵EF是AC的垂直平分线,∴CE=AE,设CE=AE=x,则DE=3-x,在Rt△CDE中,由勾股定理得:CD2+DE2=CE2,即22+(3-x)2=x2,解得x=136,∴CE=136.故选D.2.[2019·泉州质检]如图28-12,在▱ABCD中,AC与BD交于点O,AC⊥BC于点C,将△ABC沿AC翻折得到△AEC,连接DE.(1)求证:四边形ACED是矩形;(2)若AC=4,BC=3,求sin∠ABD的值.图28-12解:(1)证明:∵将△ABC沿AC翻折得到△AEC,∴BC=CE,AC⊥CE,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC,∴AD=CE,AD∥CE,∴四边形ACED是平行四边形,∵AC⊥CE,∴四边形ACED是矩形.2.[2019·泉州质检]如图28-12,在▱ABCD中,AC与BD交于点O,AC⊥BC于点C,将△ABC沿AC翻折得到△AEC,连接DE.(2)若AC=4,BC=3,求sin∠ABD的值.图28-12(2)方法一:如图①所示,过点A作AF⊥BD于点F,∵BE=2BC=2×3=6,DE=AC=4,∴在Rt△BDE中,BD=𝐵𝐸2+𝐷𝐸2=62+42=213,∵S△BDA=12×DE·AD=12AF·BD,∴AF=4×3213=61313,∵Rt△ABC中,AB=32+42=5,∴Rt△ABF中,sin∠ABF=𝐴𝐹𝐴𝐵=613135=61365.即sin∠ABD=61365.方法二:如图②所示,过点O作OF⊥AB于点F,同理可得,OB=12BD=13,∵S△AOB=12OF·AB=12OA·BC,∴OF=2×35=65,∵在Rt△BOF中,sin∠FBO=𝑂𝐹𝑂𝐵=6513=61365,∴sin∠ABD=61365.