（福建专版）2020年中考数学复习 第三单元 函数及其图象 第14课时 二次函数的图象与性质1课件

第14课时二次函数的图象与性质1考点一二次函数的概念考点聚焦一般地,形如①(a,b,c是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数.y=ax2+bx+c【温馨提示】函数y=ax2+bx+c未必是二次函数,当②时,y=ax2+bx+c是二次函数.a≠0函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)a0a0图象开口方向开口③,并向上无限延伸开口④,并向下无限延伸对称轴直线⑤顶点坐标⑥考点二二次函数的图象与性质向上向下x=-𝒃𝟐𝒂-𝒃𝟐𝒂,𝟒𝒂𝒄-𝒃𝟐𝟒𝒂函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)a0a0增减性在对称轴的左侧,即当x−b2a时,y随x的增大而⑦;在对称轴的右侧,即当x−b2a时,y随x的增大而⑧,简记为“左减右增”在对称轴的左侧,即当x−b2a时,y随x的增大而⑨;在对称轴的右侧,即当x−b2a时,y随x的增大而⑩,简记为“左增右减”（续表）减小增大增大减小函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)a0a0最值抛物线有最低点,当x=−b2a时,y有最值,y最小值=4ac-b24a抛物线有最高点,当x=−b2a时,y有最值,y最大值=4ac-b24a二次项系数a的特性𝑎的大小决定抛物线的开口大小,𝑎越大,抛物线的开口越小;𝑎越小,抛物线的开口越大常数项c的意义c是抛物线与y轴交点的纵坐标,即x=0时,y=c（续表）小大考点三二次函数图象的画法二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象是以−𝑏2𝑎,4𝑎𝑐-𝑏24𝑎为顶点,以直线x=−𝑏2𝑎为对称轴的抛物线.一般用描点法画二次函数的图象,步骤如下:画对称轴→确定顶点位置→确定与x轴,y轴的交点位置→确定与y轴的交点关于对称轴的对称点→用平滑的曲线连接上述各点.考点四二次函数的表示及解析式的求法1.二次函数的三种表示方法(1)一般式:⑬.(2)顶点式:y=a(x-h)2+k(a≠0),其中二次函数图象的顶点坐标是⑭.(3)两点式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),其图象与x轴的交点的坐标为⑮.y=ax2+bx+c(a≠0)(h,k)(x1,0),(x2,0)2.二次函数解析式的确定用待定系数法求二次函数的解析式时,注意解析式的设法,常见情况如下:条件设法顶点在原点y=ax2(a≠0)顶点在y轴上y=ax2+c(a≠0,y轴为对称轴)顶点在x轴上y=a(x-h)2(a≠0,直线x=h是对称轴)抛物线过原点y=ax2+bx(a≠0)顶点(h,k)y=a(x-h)2+k(a≠0)抛物线与x轴的交点为(x1,0),(x2,0)y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)考点五二次函数图象的平移抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)可用配方法化成y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式,任意抛物线y=a(x-h)2+k(a≠0)均可由抛物线y=ax2(a≠0)平移得到,具体平移方法如图14-1所示(假设h,k均为正数):图14-1【温馨提示】平移规则为“上加下减,左加右减”.题组一必会题对点演练B1.若y=(m+2)𝑥𝑚2-2是二次函数,则m的值是()A.±2B.2C.-2D.不能确定2.已知抛物线y=-3x2+12x-3.画出函数图象并回答下列问题.(1)开口方向为,对称轴为直线,顶点坐标为;(2)当x=时,抛物线有最值,是;(3)当x时,y随x的增大而增大;当x时,y随x的增大而减小;(4)该抛物线与x轴的交点坐标为;该抛物线与y轴的交点坐标为.向下x=2图象略(2,9)2大92≥2(2+𝟑,0),(2-𝟑,0)(0,-3)3.(1)已知抛物线y=ax2+bx-3(a≠0)经过点(-1,0),(3,0),则该二次函数的表达式是;(2)已知二次函数的图象以A(-1,4)为顶点,且过点B(2,-5),则该二次函数的表达式是.4.把抛物线y=2x2向平移个单位,再向平移个单位可以得到抛物线y=2(x+4)2-3.5.二次函数y=x2+b的图象经过点(1,4),则b的值是;若该二次函数图象还经过点(-1,m),则m的值是.y=x2-2x-3y=-x2-2x+3左(或下)4(或3)下(或左)3(或4)34题组二易错题【失分点】混淆抛物线的平移规律,特别是左右平移的特点,即左加右减;忽视二次函数的顶点式的结构特征,忽视函数自变量取值范围对最值的影响,如对称轴不在自变量范围内,因此顶点不一定是最值所在.6.抛物线y=(1-x)2+2的顶点坐标是()A.(-1,2)B.(-1,-2)C.(1,-2)D.(1,2)D7.设A(-2,y1),B(1,y2),C(2,y3)是抛物线y=-(x+1)2+a上的三点,则y1,y2,y3的大小关系为()A.y1y2y3B.y1y3y2C.y3y2y1D.y3y1y2A8.若二次函数y=ax2+bx+a2-2的图象如图14-2所示,则a的值为()A.1B.2C.−2D.-2C图14-29.[2017·泰安]某同学在用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象时,列出了下面的表格:由于粗心,他算错了其中一个y值,则这个错误的数值是()A.-11B.-2C.1D.-5Dx…-2-1012…y…-11-21-2-5…10.将抛物线y=x2-2x+3向上平移2个单位长度,再向右平移3个单位长度后,得到的抛物线的解析式为()A.y=(x-1)2+4B.y=(x-4)2+4C.y=(x+2)2+6D.y=(x-4)2+611.已知抛物线y=x2+4x+1,若0≤x≤1时,其函数值的最小值是.B1考向一二次函数的解析式与平移例1[2019·新疆节选]如图14-3,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-1,0),B(4,0),C(0,4)三点.(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;(2)将(1)中的抛物线向下平移154个单位长度,再向左平移h(h0)个单位长度,得到新抛物线.若新抛物线的顶点D'在△ABC内,求h的取值范围.图14-3解:(1)将A(-1,0),B(4,0),C(0,4)三点坐标代入抛物线解析式y=ax2+bx+c,得:𝑎-𝑏+𝑐=0,16𝑎+4𝑏+𝑐=0,𝑐=4,解得:𝑎=-1,𝑏=3,𝑐=4,∴抛物线的解析式为y=-x2+3x+4.化为顶点式为:y=-x-322+254.∴顶点D的坐标为32,254.例1[2019·新疆节选]如图14-3,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-1,0),B(4,0),C(0,4)三点.(2)将(1)中的抛物线向下平移154个单位长度,再向左平移h(h0)个单位长度,得到新抛物线.若新抛物线的顶点D'在△ABC内,求h的取值范围.图14-3(2)∵254−154=52,∴D'32-h,52.设直线AC的解析式为:y=kx+4,则:-k+4=0.解得:k=4,∴直线AC的解析式为y=4x+4.把y=52代入,得:4x+4=52.解得x=-38.要使平移后点D'在△ABC内,则32-h-38,∴h158.易得直线BC的解析式为y=-x+4,将y=52代入,得-x+4=52,解得x=32.∴32-h32,∴h0,∴h的取值范围为0h158.【方法点析】(1)求解析式时,切记有点坐标就代入,一个参数需要一个点;(2)切记平移口诀:左加右减,上加下减.|考向精练|1.[2018·南平质检]将抛物线y=3(x-2)2+2向右平移3个单位,再向上平移4个单位,则得到的抛物线的表达式为.y=3(x-5)2+62.在平面直角坐标系中,顶点为A(1,-1)的抛物线经过点B(5,3),则抛物线的解析式为.y=𝟏𝟒(x-1)2-13.[2018-2019学年九(上)厦门期末]已知二次函数y=(x-1)2+n,当x=2时,y=2.求该二次函数的解析式,并在平面直角坐标系中画出该函数的图象.解:因为当x=2时,y=2.所以(2-1)2+n=2.解得n=1.所以二次函数的解析式为y=(x-1)2+1.列表得:x…-10123…y…52125…如图:4.[2019·厦门莲花中学阶段测试]设二次函数y=ax2-bx-(a+b)(a,b是常数,a≠0).(1)求证:该二次函数图象与x轴必有交点;(2)若二次函数的图象经过A(-1,4),B(0,-1),C(1,1)三个点中的其中两个点,求二次函数的表达式.解:(1)证明:设y=0,∴0=ax2-bx-(a+b).∵Δ=(-b)2-4·a[-(a+b)]=b2+4ab+4a2=(2a+b)2≥0,∴方程有两个不相等实数根或两个相等实根.∴该二次函数图象与x轴必有交点.4.[2019·厦门莲花中学阶段测试]设二次函数y=ax2-bx-(a+b)(a,b是常数,a≠0).(2)若二次函数的图象经过A(-1,4),B(0,-1),C(1,1)三个点中的其中两个点,求二次函数的表达式.(2)当x=-1时,y=a+b-(a+b)=0.∴抛物线不经过点A.把点B(0,-1),C(1,1)的坐标分别代入,得-(𝑎+𝑏)=-1,𝑎-𝑏-𝑎-𝑏=1.解得𝑎=32,𝑏=-12,∴抛物线的解析式为y=32x2-12x-1.考向二二次函数的图象与性质例2已知二次函数y=-x2+2bx+c,当x1时,y的值随x值的增大而减小,则实数b的取值范围是()A.b≥-1B.b≤-1C.b≥1D.b≤1[答案]D[解析]∵抛物线y=-x2+2bx+c的对称轴为直线x=-2𝑏2×(-1)=b,而a0,∴当xb时,y随x的增大而减小.∵当x1时,y的值随x值的增大而减小,∴b≤1.故选D.【方法点析】研究抛物线的增减性:(1)确定对称轴;(2)以对称轴为分界点进行分类;(3)注意自变量的取值范围,观察它与对称轴的位置关系.|考向精练|1.[2015·漳州]已知二次函数y=(x-2)2+3,当x时,y随x的增大而减小.2(或x≤2)2.已知二次函数y=x2+(m-1)x+1,当x1时,y随x的增大而增大,则m的取值范围是()A.m=-1B.m=3C.m≤-1D.m≥-1D3.[2019·厦门质检]已知二次函数y=-3x2+2x+1的图象经过点A(a,y1),B(b,y2),C(c,y3),其中a,b,c均大于0.记点A,B,C到该二次函数图象的对称轴的距离分别为dA,dB,dC.若dA12dBdC,则下列结论正确的是()A.当a≤x≤b时,y随着x的增大而增大B.当a≤x≤c时,y随着x的增大而增大C.当b≤x≤c时,y随着x的增大而减小D.当a≤x≤c时,y随着x的增大而减小C4.[2018-2019学年九(上)厦门期末]已知二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象经过(0,1),(4,0),当该二次函数的自变量分别取x1,x2(0x1x24)时,对应的函数值是y1,y2,且y1=y2.设该函数图象的对称轴是直线x=m,则m的取值范围是()A.0m1B.1m≤2C.2m4D.0m4C5.[2019·福建10题]若二次函数y=|a|x2+bx+c的图象经过不同的五点A(m,n),B(0,y1),C(3-m,n),D(2,y2),E(2,y3),则y1,y2、y3的大小关系是()A.y1y2y3B.y1y3y2C.y3y2y1D.y2y3y1[答案]D[解析]∵A(m,n),C(3-m,n)两点都在该二次函数图象上,且纵坐标相等,∴抛物线对称轴为直线x=𝑚+3-𝑚2=32,∵|a|0,开口向上,∴在对称轴左侧,y随x的增大而减小,在对称轴右侧,y随x的增大而增大,∵023232×2-2232×2-0,∴y2y3y1.6.[2018·泸州]已知二次函数y=ax2+2ax+3a2+3(其中x是自变量),当x≥2时,y随x的增大而增大,且-2≤x≤1时,y的最大值为9,则a的值为()A.1或-2B.−2或2C.2D.1[答案]D[解析]原函数可化为y=a(x+