（福建专版）2020年中考数学复习 第二单元 方程（组）与不等式（组）第08课时 一元二次方程及其应

第8课时一元二次方程及其应用考点一一元二次方程的概念及一般形式考点聚焦1.(1)一元二次方程:含有①个未知数,并且未知数的最高次数是②的整式方程.(2)一般形式:③.2.一元二次方程的解:能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解(或根).12次ax2+bx+c=0(a≠0)【温馨提示】在一元二次方程的一般形式中要注意强调ax2+bx+c=0中a≠0这一限制条件.考点二一元二次方程的四种解法方法适用情况流程直接开平方法适合于x2=a(a≥0)或(x+a)2=b(b≥0)形式的方程对于形如x2=a(a≥0)的方程,根据平方根的定义,可得x1=𝑎,x2=−𝑎;(x+a)2=b(b≥0),x+a=±𝑏,x=-a±𝑏配方法ax2+bx+c=0(a≠0)ax2+bx+c=0(a≠0)⇒x2+𝑏𝑎x+𝑐𝑎=0⇒x+𝑏2𝑎2=𝑏2-4𝑎𝑐4𝑎2,开方求解(续表)方法适用情况流程公式法ax2+bx+c=0(a≠0),判别式≥0;等号的右边为0一元二次方程ax2+bx+c=0,且b2-4ac≥0时,x=④因式分解法方程一边是零,另一边是一个易于因式分解的多项式一元二次方程化为一般形式后,把等号左边的多项式因式分解,再根据“如果ab=0,那么⑤或⑥”进行求解-𝒃±𝒃𝟐-𝟒𝒂𝒄𝟐𝒂a=0b=0【温馨提示】(1)利用因式分解法解方程时,将方程的一边分解因式而方程的另一边必须化为零;(2)用配方法解方程时必须注意在方程两边同时加上的是一次项系数一半的平方.考点三一元二次方程根的情况一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的情况可由根的判别式b2-4ac的值来决定,它的值与一元二次方程的根的关系是:1.b2-4ac0⇔方程有⑦的实数根.2.b2-4ac=0⇔方程有⑧的实数根.3.b2-4ac0⇔方程⑨实数根.两个不相等两个相等没有【温馨提示】当b2-4ac≥0时,一元二次方程有实数根.考点四一元二次方程的实际应用1.增长率问题增长率=增量基础量×100%.设a为原来的量,m为平均增长率,n为增长次数,b为增长后的量,则b=⑩;当m为平均下降率时,b=.2.利润问题(1)利润率=利润进价×100%.(2)总利润=(售价-成本)×销量.a(1+m)na(1-m)n3.面积问题(1)如图8-1,设空白部分的宽为x,则S阴影=⑫.(2)如图8-2,设阴影道路的宽为x,则S空白=⑬.(3)如图8-3,栏杆总长(AB+BC+CD)为a,BC的长为b,则S阴影=⑭.图8-1图8-2图8-3(a-2x)(b-2x)(a-x)(b-x)𝟏𝟐(a-b)b考点五*根与系数的关系1.若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别是x1,x2,则x1+x2=−𝑏𝑎,x1x2=𝑐𝑎.2.若一元二次方程x2+px+q=0的两个实数根为x1,x2,则x1+x2=-p,x1x2=q.3.x1,x2是二次项系数为1的一元二次方程x2-(x1+x2)x+x1x2=0的两根.特别提示:用根与系数的关系求字母的值时,要代入Δ检验.题组一必会题对点演练[答案]A[解析]把x=1代入x2+ax+2b=0,得:1+a+2b=0,∴a+2b=-1,∴2a+4b=2(a+2b)=-2,故选A.1.[2019·兰州]x=1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b=0的解,则2a+4b=()A.-2B.-3C.-1D.-6[答案]D[解析]x2-4x+1=0,移项得x2-4x=-1,配方得x2-4x+4=-1+4,即(x-2)2=3.故选D.2.[2019·滨州]用配方法解一元二次方程x2-4x+1=0时,下列变形正确的是()A.(x-2)2=1B.(x-2)2=5C.(x+2)2=3D.(x-2)2=3x1=2,x2=-23.[2019·徐州]方程x2-4=0的解为.4.当k时,关于x的一元二次方程x2-2x+k-1=0有两个不相等的实数根.25.受季节变化影响,某品牌衬衣经过两次降价,由每件256元降至169元,则平均每次降价的百分率x所满足的方程为.256(1-x)2=169题组二易错题【失分点】解一元二次方程时,方程的两边直接除以相同的整式,导致漏解;在运用根的判别式或者根与系数的关系时,忽视二次项系数不能等于0这一条件.x=1或x=26.—元二次方程x(x-1)=2(x-1)2的根是.7.若关于x的方程(a-1)=1是一元二次方程,则a的值是.-1𝑥1+𝑎2[答案]D[解析]Δ=b2-4ac=(-2)2-4(k+1)≥0,解得k≤0,又∵k+1≠0,即k≠-1,∴k≤0且k≠-1.故选D.8.关于x的一元二次方程(k+1)x2-2x+1=0有两个实数根,则k的取值范围是()A.k≥0B.k≤0C.k0且k≠-1D.k≤0且k≠-1[答案]D[解析]∵一元二次方程有实数根,∴Δ=(-4)2-4ac=16-4ac≥0且a≠0,∴ac≤4且a≠0.A.若a0,则当a=1,c=5时,ac=54,此选项错误;B.a=0不符合一元二次方程的定义,此选项错误;C.若c0,则当a=1,c=5时,ac=54,此选项错误;D.若c=0,则ac=0≤4,此选项正确.故选D.9.[2016·福州]下列选项中,能使关于x的一元二次方程ax2-4x+c=0一定有实数根的是()A.a0B.a=0C.c0D.c=0考向一一元二次方程的有关概念例1若关于x的一元二次方程(k-1)x2+x-k2=0的一个根为1,则k的值为()A.-1B.0或1C.1D.0[答案]D[解析]把x=1代入方程,得k-1+1-k2=0,即k-k2=0,k(1-k)=0,∴k=0或k=1,∵k-1≠0,∴k≠1,∴k=0,故选D.|考向精练|[2017·南京]若方程(x-5)2=19的两根为a和b,且ab,则下列结论中正确的是()A.a是19的算术平方根B.b是19的平方根C.a-5是19的算术平方根D.b+5是19的平方根[答案]C[解析]根据平方根的意义,可知x-5是19的一个平方根,由ab,可知a-5是19的算术平方根,b-5是其负的平方根.考向二一元二次方程的解法解:(1)∵a=2,b=-4,c=-1,∴Δ=b2-4ac=(-4)2-4×2×(-1)=240,∴x=4±264,即x1=2+62,x2=2-62.(2)∵(x+1)(x+3)=2(x+3),∴(x+1)(x+3)-2(x+3)=0,∴(x+3)(x-1)=0,∴x1=-3,x2=1.例2解下列方程:(1)2x2-4x-1=0;(2)(x+1)(x+3)=2x+6.|考向精练|1.解下列方程:(1)(x+1)2=(1-2x)2;(2)x2-6x+8=0;(3)x2-22x+2=0;(4)-2x2+2x+1=0.解:(1)(x+1)2=(1-2x)2,直接开方得:x+1=1-2x或x+1=-(1-2x),解得:x1=2,x2=0.1.解下列方程:(2)x2-6x+8=0;(2)x2-6x+8=0,因式分解得:(x-2)(x-4)=0,可得x-2=0或x-4=0,解得:x1=2,x2=4.1.解下列方程:(3)x2-22x+2=0;(3)x2-22x+2=0,变形得:x2-22x+(2)2=0,即(x-2)2=0,解得:x1=x2=2.1.解下列方程:(4)-2x2+2x+1=0.(4)-2x2+2x+1=0,这里a=-2,b=2,c=1,∵Δ=b2-4ac=120,∴x=-2±122×(-2)=1±32,则x1=1+32,x2=1-32.2.嘉淇同学用配方法推导一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式时,对于b2-4ac0的情况,她是这样做的:由于a≠0,方程ax2+bx+c=0变形为:x2+𝑏𝑎x=−𝑐𝑎,第一步x2+𝑏𝑎x+𝑏2𝑎2=−𝑐𝑎+𝑏2𝑎2,第二步x+𝑏2𝑎2=𝑏2-4𝑎𝑐4𝑎2,第三步x+𝑏2𝑎=𝑏2-4𝑎𝑐2𝑎(b2-4ac0),第四步x=-𝑏+𝑏2-4𝑎𝑐2𝑎,第五步(1)嘉淇的解法从第步开始出现错误;事实上,当b2-4ac0时,方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是;(2)用配方法解方程:x2-2x-24=0.x=-𝒃±𝒃𝟐-𝟒𝒂𝒄𝟐𝒂四2.嘉淇同学用配方法推导一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式时,对于b2-4ac0的情况,她是这样做的:由于a≠0,方程ax2+bx+c=0变形为:x2+𝑏𝑎x=−𝑐𝑎,第一步x2+𝑏𝑎x+𝑏2𝑎2=−𝑐𝑎+𝑏2𝑎2,第二步x+𝑏2𝑎2=𝑏2-4𝑎𝑐4𝑎2,第三步x+𝑏2𝑎=𝑏2-4𝑎𝑐2𝑎(b2-4ac0),第四步x=-𝑏+𝑏2-4𝑎𝑐2𝑎,第五步(2)用配方法解方程:x2-2x-24=0.(2)方程x2-2x-24=0变形为:x2-2x=24,x2-2x+1=24+1,(x-1)2=25,x-1=±5,x=1±5,∴原方程的解为x1=6,x2=-4.考向三一元二次方程根的判别式(微专题)角度1判断根的情况例3[2019·北京东城二模]关于x的一元二次方程x2-mx+m-1=0.(1)求证:方程总有两个实数根;(2)若方程有一根大于3,求m的取值范围.解:(1)证明:∵Δ=(-m)2-4(m-1)=m2-4m+4=(m-2)2≥0.∴方程总有两个实数根.(2)x2-mx+m-1=0整理,得(x-1)(x-m+1)=0.∴x1=1,x2=m-1.若方程有一根大于3,则m-13,∴m4.角度2根据方程根的情况,确定系数的取值范围例4已知关于x的一元二次方程(a-2)x2+2ax+a+3=0有实数根.(1)求a的取值范围;(2)当a取最大值时,解此一元二次方程.解:(1)∵关于x的一元二次方程(a-2)x2+2ax+a+3=0有实数根,∴𝑎-2≠0,𝛥=(2𝑎)2-4(𝑎-2)(𝑎+3)≥0,解得a≤6且a≠2.(2)当a=6时,原方程为4x2+12x+9=(2x+3)2=0,解得x1=x2=-32.角度3根的判别式的应用例5[2017·福建节选]已知直线y=2x+m与抛物线y=ax2+ax+b有一个公共点M(1,0),且ab.(1)求抛物线顶点Q的坐标(用含a的代数式表示);(2)说明直线与抛物线有两个交点.解:(1)因为抛物线过点M(1,0),所以a+a+b=0,即b=-2a,所以y=ax2+ax+b=ax2+ax-2a=ax+122-9𝑎4,所以抛物线顶点Q的坐标为-12,-9𝑎4.例5[2017·福建节选]已知直线y=2x+m与抛物线y=ax2+ax+b有一个公共点M(1,0),且ab.(2)说明直线与抛物线有两个交点.(2)因为直线y=2x+m经过点M(1,0),所以0=2×1+m,解得m=-2.把y=2x-2代入y=ax2+ax-2a,得ax2+(a-2)x-2a+2=0(*),所以Δ=(a-2)2-4a(-2a+2)=9a2-12a+4.由(1)知b=-2a,又ab,所以a0,b0,所以Δ0,所以方程(*)有两个不相等的实数根,故直线与抛物线有两个交点.|考向精练|1.[2019·郴州]一元二次方程2x2+3x-5=0的根的情况为()A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根[答案]B[解析]因为a=2,b=3,c=-5,所以Δ=b2-4ac=32-4×2×(-5)=490,所以方程2x2+3x-5=0有两个不相等的实数根.2.[2018·福建10题]已知关于x的一元二次方程(a+1)x2+2bx+a+1=0有两个相等的实数根,下列判断正确的是()A.1一定不是关于x的方程x2+bx+a=0的根B.0一定不是关于x的方程x2+bx+a=0的根C.1和-1都是关于x的方程x2+bx+a=0的根D.1和-1不都是关于x的方程x2+bx+a=0的根[答案]D[解析