（包头专版）2020年中考数学复习 第二单元 方程（组）与不等式（组）第07课时 一元二次方程及其应

第7课时一元二次方程及其应用考点一一元二次方程及其解法1.一元二次方程的一般形式:图7-1【温馨提示】一元二次方程必须具备的三个条件(1)必须是整式方程;(2)方程中只含有1个未知数;(3)未知数的最高次数是2.2.一元二次方程的解法方法解题流程注意事项直接开平方法(1)ax2+c=0⇒x=①(其中ac0);(2)a(x+n)2=b⇒x=②(其中ab0)开方后取正负两个值配方法ax2+bx+c=0(a≠0)⇒x2+𝐛𝐚x+𝐜𝐚=0⇒x+𝐛𝟐𝐚2=𝐛𝟐-𝟒𝐚𝐜𝟒𝐚𝟐,开方求解配方过程中,注意加上一个数的同时减去这个数±-𝒄𝒂-n±𝒃𝒂(续表)方法解题流程注意事项公式法当b2-4ac≥0时,由求根公式可得ax2+bx+c=0(a≠0)的解为x=③前提条件:①判别式Δ≥0;②等号的右边为0因式分解法ax2+bx+c=0(a≠0)(m1x+n1)·(m2x+n2)=0⇒m1x+n1=0或m2x+n2=0,求得x的值当等号两边有相同的因式时,不能约去,以免漏解-𝒃±𝒃𝟐-𝟒𝒂𝒄𝟐𝒂考点二一元二次方程根的判别式1.根的判别式关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式为b2-4ac,用于判定方程根的情况.2.判别式与根的关系(1)b2-4ac0⇔方程有④的实数根;(2)b2-4ac=0⇔方程有⑤的实数根;(3)b2-4ac0⇔方程⑥实数根.两个不相等两个相等没有【温馨提示】(1)求判别式时,应先将一元二次方程化为一般形式.(2)应用判别式时,若二次项系数含有字母,则需注意二次项系数不为0这个限制条件,必要时需分类讨论.考点三一元二次方程根与系数的关系*若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别为x1,x2,则x1+x2=⑦,x1x2=⑧.-𝒃𝒂𝒄𝒂考点四一元二次方程的实际应用应用类型等量关系增长率问题(1)增长率=增量÷基础量;(2)设a为原来的量,m为平均增长率,n为增长次数,b为增长后的量,则a(1+m)n=b;当m为平均下降率时,有a(1-m)n=b销售利润问题(1)纯利润=售出价-进货价-其他费用;(2)利润率=利润÷进货价×100%;(3)总利润=(售价-成本)×数量(续表)应用类型等量关系面积问题AB+BC+CD=aS阴影=⑨S阴影=⑩S阴影=(a-2x)(b-2x)(a-x)(b-x)𝒂-𝒙𝟐·x考向一一元二次方程及其解法例1用指定方法解方程x2-12x+27=0.(1)公式法:(2)配方法:(3)因式分解法:解:(1)公式法:原方程为x2-12x+27=0,这里a=1,b=-12,c=27.∵b2-4ac=(-12)2-4×1×27=360,∴x=𝟏𝟐±𝟑𝟔𝟐×𝟏=𝟏𝟐±𝟔𝟐.因此原方程的根为x1=3,x2=9.例1用指定方法解方程x2-12x+27=0.(1)公式法:(2)配方法:(3)因式分解法:(2)配方法:原方程为x2-12x+27=0,x2-12x=-27,x2-12x+62=-27+62,(x-6)2=9,x-6=±3,x1=3,x2=9.(3)因式分解法:原方程为x2-12x+27=0,(x-3)(x-9)=0.∴x-3=0或x-9=0.∴x1=3,x2=9.【方法点析】解一元二次方程满分攻略解一元二次方程要根据方程的特点选取方法,考虑选用的先后顺序为:直接开平方法,因式分解法,公式法,配方法.形如(x+m)2=n(n≥0)的一元二次方程可用直接开平方法;若一元二次方程的一边是0,而另一边又能分解成两个一次因式的积,则用因式分解法;当二次项系数为1,且一次项系数为偶数时,可用配方法.|考向精练|1.[2019·扬州]一元二次方程x(x-2)=x-2的根是x=.1或22.[2019·齐齐哈尔]解方程:x2+6x=-7.解:∵x2+6x=-7,∴x2+6x+9=-7+9,∴(x+3)2=2,∴x+3=±𝟐,∴x=-3±𝟐,∴x1=-3+𝟐,x2=-3-𝟐.考向二一元二次方程根的判别式例2已知关于x的方程(a-5)x2-4x-1=0,若有两个不相等的实数根,则a满足;若有两个实数根,则a满足;若有实数根,则a满足.a1且a≠5a≥1且a≠5a≥1【方法点析】(1)判别一元二次方程有无实数根,就是计算判别式b2-4ac的值,看它是否大于或等于0.注意,在计算前应先将方程化为一般形式.(2)注意一元二次方程的二次项系数不为零这个隐含条件.|考向精练|1.[2019·包头样题二]若关于x的一元二次方程kx2+2x-1=0有实数根,则k的取值范围是()A.k-1B.k≥-1C.k-1且k≠0D.k≥-1且k≠0D2.[2019·包头]已知等腰三角形的三边长分别为a,b,4,且a,b是关于x的一元二次方程x2-12x+m+2=0的两根,则m的值是()A.34B.30C.30或34D.30或36[答案]A[解析]∵等腰三角形的三边长分别为a,b,4,∴a=b或a,b中有一数为4.当a=b时,有(-12)2-4×(m+2)=0,解得m=34,此时a=b=6,可构成等腰三角形;当a,b中有一数为4时,有42-12×4+m+2=0,解得m=30.此时原方程为x2-12x+32=0,解得x1=4,x2=8,即a,b分别为4,8.∵4+4=8,∴m=30不合题意,舍去.故选A.[答案]-1[解析]根据题意知Δ=(-4)2-4×k×(-3)0,且k≠0,解得k-𝟒𝟑且k≠0,所以负整数k的值是-1.3.若关于x的一元二次方程kx2-4x-3=0有两个不相等的实数根,则负整数k的值为.解:∵x2-2x+2m-1=0有实数根,∴Δ≥0,即(-2)2-4(2m-1)≥0,∴m≤1.∵m为正整数,∴m=1,故此时方程为x2-2x+1=0,即(x-1)2=0,∴x1=x2=1,∴m=1,此时方程的根为x1=x2=1.4.[2019·北京]关于x的方程x2-2x+2m-1=0有实数根,且m为正整数,求m的值及此时方程的根.考向三一元二次方程根与系数的关系例3已知方程x2+2018x-3=0的两根分别为α和β,则代数式α2+αβ+2018α的值为()A.1B.0C.2018D.-2018[答案]B[解析]依题意得:αβ=-3,α+β=-2018,α2+2018α-3=0,所以α2+αβ+2018α=α(α+β)+2018α=-2018α+2018α=0.例4[2019·巴中]已知关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2-1=0有两个不相等的实数根.(1)求m的取值范围;(2)设x1,x2是方程的两根且x12+x22+x1x2-17=0,求m的值.解:(1)Δ=(2m+1)2-4(m2-1)=4m+5,因为原方程有两个不相等的实数根,所以4m+50,m-𝟓𝟒.(2)由根与系数的关系得,x1+x2=-(2m+1),x1x2=m2-1,所以方程𝒙𝟏𝟐+𝒙𝟐𝟐+x1x2-17=0可化为(x1+x2)2-x1x2-17=0,即(2m+1)2-(m2-1)-17=0,解得m1=𝟓𝟑,m2=-3.因为m-𝟓𝟒,所以m=𝟓𝟑.【方法点析】运用根与系数的关系解决问题时,要注意构造出整体“x1·x2”与“x1+x2”,常用的关系式:𝟏𝒙𝟏+𝟏𝒙𝟐=𝒙𝟏+𝒙𝟐𝒙𝟏𝒙𝟐,𝒙𝟏𝟐·x2+x1·𝒙𝟐𝟐=x1x2·(x1+x2),𝒙𝟏𝟐+𝒙𝟐𝟐=(x1+x2)2-2x1·x2,|x1-x2|=(𝒙𝟏+𝒙𝟐)𝟐-𝟒𝒙𝟏·𝒙𝟐.|考向精练|1.[2019·盐城]设x1,x2是方程x2-3x+2=0的两个根,则x1+x2-x1·x2=.12.[2019·威海]已知a,b是方程x2+x-3=0的两个实数根,则a2-b+2019的值是()A.2023B.2021C.2020D.2019[答案]A[解析]根据一元二次方程的解的定义,得a2+a-3=0,所以a2=-a+3,再利用根与系数的关系,得a+b=-1,然后利用整体代入方法计算.原式=-a+3-b+2019=-(a+b)+3+2019=-(-1)+3+2019=2023,故选A.3.[2019·潍坊]关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m=0的两个实数根的平方和为12,则m的值为()A.-2B.3C.3或-2D.3或2[答案]A[解析]由题意可得:=(x1+x2)2-2x1x2=12,因为x1+x2=-2m,x1x2=m2+m,所以(-2m)2-2(m2+m)=12,解得m1=3,m2=-2.当m=3时Δ=62-4×1×120,所以m=3应舍去;当m=-2时Δ=(-4)2-4×1×20,符合题意.所以m=-2.考向四一元二次方程的应用例5[2019·天水]中国“一带一路”给沿线国家和地区带来很大的经济效益,沿线某地区居民2016年人均年收入20000元,到2018年人均年收入达到39200元.则该地区居民人均年收入平均增长率为.(用百分数表示)[答案]40%[解析]设该地区居民人均年收入平均增长率为x,则20000(1+x)2=39200,解得x1=0.4,x2=-2.4(舍去),∴该地区居民人均年收入平均增长率为40%.例6[2019·东营]为加快新旧动能转换,提高公司经济效益,某公司决定对近期研发出的一种电子产品进行降价促销,使生产的电子产品能够及时售出,根据市场调查:这种电子产品销售单价定为200元时,每天可售出300个;若销售单价每降低1元,则每天可多售出5个.已知每个电子产品的固定成本为100元,问这种电子产品降价后的销售单价为多少元时,公司每天可获利32000元?解:设降价后的销售单价为x元,根据题意得:(x-100)[300+5(200-x)]=32000.整理得:(x-100)(1300-5x)=32000,即x2-360x+32400=0,解得x1=x2=180,x=180200,符合题意.答:这种电子产品降价后的销售单价为180元时,公司每天可获利32000元.|考向精练|1.[2019·山西]如图7-2,在一块长12m,宽8m的矩形空地上,修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条边平行),剩余部分栽种花草,且栽种花草的面积为77m2,设道路的宽为xm,则根据题意,可列方程为.图7-2(12-x)(8-x)=772.[2019·德州]习近平总书记说:“读书可以让人保持思想活力,让人得到智慧启发,让人滋养浩然之气”.某校为响应我市全民阅读活动,利用节假日面向社会开放学校图书馆.据统计,第一个月进馆128人次,进馆人次逐月增加,到第三个月末累计进馆608人次,若进馆人次的月平均增长率相同.(1)求进馆人次的月平均增长率;(2)因条件限制,学校图书馆每月接纳能力不超过500人次,在进馆人次的月平均增长率不变的条件下,校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次,并说明理由.解:(1)设进馆人次的月平均增长率为x,根据题意,得:128+128(1+x)+128(1+x)2=608,解得x1=0.5,x2=-3.5(舍去).答:进馆人次的月平均增长率为50%.2.[2019·德州]习近平总书记说:“读书可以让人保持思想活力,让人得到智慧启发,让人滋养浩然之气”.某校为响应我市全民阅读活动,利用节假日面向社会开放学校图书馆.据统计,第一个月进馆128人次,进馆人次逐月增加,到第三个月末累计进馆608人次,若进馆人次的月平均增长率相同.(2)因条件限制,学校图书馆每月接纳能力不超过500人次,在进馆人次的月平均增长率不变的条件下,校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次,并说明理由.(2)第四个月进馆人次为128×(1+0.5)3=432(人次),∵432500,∴校图书馆能接纳第四个月的进馆人次.