（安徽专版）2020年中考数学复习 第三单元 函数及其图象 第12课时 二次函数的图象与性质课件

第12课时二次函数的图象与性质【考情分析】考点二次函数表达式的确定二次函数的图象和性质二次函数与一元二次方程年份20172016201420192017201520192015题号22(2)2222149102210题型解答题解答题解答题填空题选择题选择题解答题选择题分值4分12分12分5分4分4分12分4分热度预测★★★★★★★★★★★★★★★★考点一二次函数的概念考点聚焦一般地,形如①(a,b,c是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数.【温馨提示】函数y=ax2+bx+c未必是二次函数,当②时,y=ax2+bx+c是二次函数.y=ax2+bx+ca≠0考点二二次函数的图象与性质函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)a0a0图象开口方向开口③,并向上无限延伸开口④,并向下无限延伸向下向上(续表)函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)a0a0对称轴直线⑤顶点坐标⑥x=-𝒃𝟐𝒂-𝒃𝟐𝒂,𝟒𝒂𝒄-𝒃𝟐𝟒𝒂(续表)函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)a0a0增减性在对称轴的左侧,即当x-b2a时,y随x的增大而⑦;在对称轴的右侧,即当x-b2a时,y随x的增大而⑧,简记为“左减右增”在对称轴的左侧,即当x-b2a时,y随x的增大而⑨;在对称轴的右侧,即当x-b2a时,y随x的增大而⑩,简记为“左增右减”增大减小增大减小(续表)函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)a0a0最值二次项系数a的特性常数项c的意义c是抛物线与y轴交点的纵坐标,即x=0时,y=c抛物线有最低点,当x=-b2a时,y有最⑪值,y最小值=4ac-b24a抛物线有最高点,当x=-b2a时,y有最⑫值,y最大值=4ac-b24a𝑎的大小决定抛物线的开口大小,𝑎越大,抛物线的开口越小;𝑎越小,抛物线的开口越大小大考点三二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)的图象与系数的关系y下上项目字母字母的符号图象的特征aa0开口向⑬a0开口向⑭bb=0对称轴为⑮轴ab0(b与a同号)对称轴在y轴⑯侧ab0(b与a异号)对称轴在y轴⑰侧左右(续表)项目字母字母的符号图象的特征cc=0经过点⑱c0与y轴⑲相交c0与y轴⑳相交b2-4acb2-4ac=0与x轴有唯一交点(顶点)b2-4ac0与x轴有㉑个不同的交点b2-4ac0与x轴没有交点(0,0)正半轴负半轴两(续表)项目字母字母的符号图象的特征特殊关系当x=1时,y=a+b+c当x=-1时,y=㉒若a+b+c0,则当x=1时,y0若a-b+c0,则当x=㉓时,y0a-b+c-1【温馨提示】特别地,对于不等号两边都有字母的,先将右边的字母移到左边,合并同类项化为一般形式后,再用上面的方法判断.考点四二次函数图象的平移将抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)用配方法化成y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式,而任意抛物线y=a(x-h)2+k均可由抛物线y=ax2平移得到,具体平移方法如下:图12-1考点五二次函数的表示及解析式的求法1.二次函数的三种表示方法(1)一般式:㉔.(2)顶点式:y=a(x-h)2+k(a≠0),其中二次函数图象的顶点坐标是㉕.(3)两点式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),其图象与x轴的交点的坐标为㉖.三种表达式之间的关系:顶点式一般式两点式y=ax2+bx+c(a≠0)(h,k)(x1,0),(x2,0)2.二次函数解析式的确定用待定系数法求二次函数的解析式时,注意解析式的设法,常见情况如下:条件设法顶点在原点y=ax2(a≠0)顶点在y轴上y=ax2+c(a≠0,y轴为对称轴)顶点在x轴上y=a(x-h)2(a≠0,直线x=h是对称轴)抛物线过原点y=ax2+bx(a≠0)顶点(h,k)y=a(x-h)2+k(a≠0)抛物线与x轴的交点为(x1,0),(x2,0)y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)考点六二次函数与一元二次方程、不等式的关系1.二次函数与一元二次方程的关系抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数判别式b2-4ac的正负方程ax2+bx+c=0的实数根个数2个b2-4ac0两个㉗的实数根1个b2-4ac=0两个㉘的实数根没有b2-4ac0㉙实数根不相等相等没有2.二次函数与不等式的关系(1)ax2+bx+c0的解集函数y=ax2+bx+c的图象位于x轴上方的部分对应的点的横坐标的取值范围.(2)ax2+bx+c0的解集函数y=ax2+bx+c的图象位于㉚的部分对应的点的横坐标的取值范围.x轴下方题组一必会题对点演练1.关于二次函数y=-(x+1)2+2的图象,下列判断正确的是()A.图象开口向上B.图象的对称轴是直线x=1C.图象有最低点D.图象的顶点坐标为(-1,2)D[答案]D2.点P1(-1,y1),P2(3,y2),P3(5,y3)均在二次函数y=-x2+2x+c的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是()A.y3y2y1B.y3y1=y2C.y1y2y3D.y1=y2y3[解析]∵-𝑏2𝑎=-22×(-1)=1,∴x=-1时的函数值与x=3时的函数值相等,即y1=y2.又∵a=-10,∴当x1时,y随x的增大而减小,∴y2y3.故选D.3.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图12-2所示,则下列结论中正确的是()A.a0B.c0C.3是方程ax2+bx+c=0的一个根D.当x1时,y随x的增大而减小C图12-2[答案]C[解析]∵二次函数y=ax2-2ax+c的图象经过点(-1,0),∴方程ax2-2ax+c=0一定有一个解为x=-1,∵抛物线y=ax2-2ax+c的对称轴为直线x=1,∴二次函数y=ax2-2ax+c的图象与x轴的另一个交点为(3,0),∴方程ax2-2ax+c=0的解为x1=-1,x2=3.故选C.4.若二次函数y=ax2-2ax+c的图象经过点(-1,0),则方程ax2-2ax+c=0的解为()A.x1=-3,x2=-1B.x1=1,x2=3C.x1=-1,x2=3D.x1=-3,x2=1[答案]9[解析]二次函数y=x2-6x+c的图象与x轴只有一个公共点,说明Δ=b2-4ac=0,即(-6)2-4×1·c=0,所以c=9.5.若二次函数y=x2-6x+c的图象与x轴只有一个公共点,则实数c=.[答案]y=2(x+2)2-2[解析]抛物线y=2(x-1)2+2向左平移3个单位,再向下平移4个单位得到y=2(x-1+3)2+2-4=2(x+2)2-2.故得到的抛物线的解析式为y=2(x+2)2-2.6.将抛物线y=2(x-1)2+2向左平移3个单位,再向下平移4个单位,那么得到的抛物线的表达式为.题组二易错题【失分点】考虑二次函数的增减性时,要关注自变量的取值与对称轴的位置.7.已知二次函数y=-(x-h)2(h为常数),当自变量x的值满足2≤x≤5时,与其对应的函数值y的最大值为-1,则h的值为()A.3或6B.1或6C.1或3D.4或6[答案]B[解析]二次函数y=-(x-h)2,当x=h时,有最大值0,而当自变量x的值满足2≤x≤5时,与其对应的函数值y的最大值为-1,故h2或h5.当h2,2≤x≤5时,y随x的增大而减小,故当x=2时,y有最大值,此时-(2-h)2=-1,解得:h1=1,h2=3(舍去),此时h=1;当h5,2≤x≤5时,y随x的增大而增大,故当x=5时,y有最大值,此时-(5-h)2=-1,解得:h1=6,h2=4(舍去),此时h=6.综上可知,h=1或6,故选B.[答案]m≤48.已知二次函数y=x2-mx+1中,当x2时,y随x的增大而增大,则m的取值范围为.[解析]由已知条件知在对称轴x=𝑚2的右边时,y随x的增大而增大,而x2时,y随x的增大而增大,说明直线x=𝑚2不在直线x=2的右边,即𝑚2≤2,∴m≤4.考向一二次函数的图象与性质例1对于抛物线y=-12(x+1)2+3,下列结论:①抛物线的开口向下;②对称轴为直线x=1;③顶点坐标为(-1,3);④x-1时,y随x的增大而减小.其中正确结论的个数为()A.1B.2C.3D.4[答案]C[解析]由-120,得抛物线开口向下,①正确;根据抛物线的函数表达式,得对称轴为直线x=-1,顶点坐标为(-1,3),②错误,③正确;由-120,知当x-1时,y随x的增大而减小,④正确.故选C.|考向精练|1.[2015·安徽10题]如图12-3,一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c的图象相交于P,Q两点,则函数y=ax2+(b-1)x+c的图象可能为()图12-3图12-4[答案]A[解析]解法一:由已知的函数图象知,一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c的图象有两个不同的交点,得ax2+bx+c=x,即ax2+(b-1)x+c=0有两个不相等的实数根,所以函数y=ax2+(b-1)x+c的图象与x轴有两个不同的交点,排除C;又当x=0时,y=c0,即函数y=ax2+(b-1)x+c的图象与y轴的交点位于y轴的正半轴,排除D;又由二次函数y2=ax2+bx+c的图象知a0,-𝑏2𝑎0,所以-𝑏-12𝑎=-𝑏2𝑎+12𝑎0,函数y=ax2+(b-1)x+c的图象的对称轴位于y轴右侧,排除B,故选A.解法二:由于一次函数y1=x的图象与二次函数y2=ax2+bx+c的图象有两个不同的交点,且都位于第一象限,所以方程ax2+bx+c=x,即ax2+(b-1)x+c=0有两个不相等的正实数根,所以函数y=ax2+(b-1)x+c的图象与x轴有两个不同的交点,且都在x轴的正半轴上,故选A.2.二次函数y=x2+x+c的图象与x轴有两个交点A(x1,0),B(x2,0),且x1x2,点P(m,n)是图象上一点,那么下列判断正确的是()A.当n0时,m0B.当n0时,mx2C.当n0时,x1mx2D.当n0时,mx1[答案]C[解析]∵a=10,∴开口向上,∵抛物线的对称轴为x=-𝑏2𝑎=-12×1=-12,二次函数y=x2+x+c的图象与x轴的两个交点A(x1,0),B(x2,0),且x1x2,无法确定x1与x2的正负情况,∴当n0时,如图,x1mx2,但m的正负无法确定,故A错误,C正确;当n0时,mx1或mx2,故B,D错误,故选择C.3.[2019·嘉兴]小飞研究二次函数y=-(x-m)2-m+1(m为常数)性质时有如下结论:①这个函数图象的顶点始终在直线y=-x+1上;②存在一个m的值,使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形;③点A(x1,y1)与点B(x2,y2)在函数图象上,若x1x2,x1+x22m,则y1y2;④当-1x2时,y随x的增大而增大,则m的取值范围为m≥2.其中错误结论的序号是()A.①B.②C.③D.④[答案]C[解析]二次函数y=-(x-m)2-m+1(m为常数),①∵顶点坐标为(m,-m+1),且当x=m时,y=-m+1,∴这个函数图象的顶点始终在直线y=-x+1上,故结论①正确;②假设存在一个m的值,使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形,令y=0,得-(x-m)2-m+1=0,其中m1,解得:x1=m--𝑚+1,x2=m+-𝑚+1,∵顶点坐标为(m,-m+1),且顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形,∴|-m+1|=|m-(m--𝑚+1)|,解得m=0或m=1(舍去),∴存在m=0,使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形,故结论②正确;③∵x1+x22m,∴𝑥1+𝑥22m.∵二次函数y=-(x-m)2-m+1(m为常数)图象的对称轴为直线x=m,∴点A离对称轴的距离小于点B离对称轴的距离,∵x1x2,且-10,∴y1y2,故结论③错误;④当-