中考数学全程复习方略 第十八讲 等腰三角形 直角三角形课件

第十八讲等腰三角形、直角三角形考点一等腰(等边)三角形的性质与判定【主干必备】1.等腰三角形定义有___________相等的三角形两边性质轴对称性等腰三角形是轴对称图形,_________________________________________________________是它的对称轴定理(1)等腰三角形的两个底角___________(简称:_________________)(2)等腰三角形顶角_____________、底边上的中线和底边上的_________相互重合(简称“三线合一”)底边上的中线(或底边上的高或顶角平分线)所在的直线相等等边对等角平分线高判定如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也___________(简写为“_________________”)相等等角对等边2.等边三角形定义___________相等的三角形性质(1)等边三角形的三个内角都___________,并且每一个角都等于___________(2)等边三角形是轴对称图形,并且有_________条对称轴(3)等边三角形每边上的中线,该边上的高线,该边所对角的角平分线互相重合三边相等60°三判定(1)三个角都___________的三角形(2)有一个角是60°的___________三角形相等等腰【微点警示】(1)注意等腰三角形边的分类讨论:已知等腰三角形的两条边时,此两边可能是一底边一腰,也可能是两个腰,但要符合三角形的三边关系.(2)注意等腰三角形角的分类讨论:已知等腰三角形的一个角时,若此角≥90°,则它是顶角;若此角90°,则它可能是顶角,也可能是底角.【核心突破】例1(2019·重庆中考A卷)如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC边上的中点,连接AD,BE平分∠ABC交AC于点E,过点E作EF∥BC交AB于点F.(1)若∠C=36°,求∠BAD的度数.(2)求证:FB=FE.【思路点拨】(1)利用等腰三角形的性质求出∠ABC,再利用等腰三角形的三线合一的性质证明∠ADB=90°,即可解决问题.(2)先证明∠FBE=∠FEB,再利用“等角对等边”解决问题.【自主解答】略【明·技法】等腰三角形中的分类讨论1.已知等腰三角形的两边(a,b),求周长(c)时,分两种情况:(1)若a为腰,b为底时,则周长c=2a+b.(2)若b为腰,a为底时,则周长c=2b+a.2.已知等腰三角形的周长(c)和一边(a),求另一边时,分两种情况:(1)若已知边(a)为腰:则第三边为c-2a;(2)若已知边(a)为底:则另两边为(c-a).12【题组过关】1.(2019·驻马店正阳模拟)如图,在△ABC中,AB=AC,若以点B为圆心,BC长为半径作弧,交AC于点E,则下列结论一定正确的是()A.AE=BEB.BE是∠ABC的平分线C.∠BAC=∠EBCD.AE=BCC2.(2019·襄阳模拟)如图,△ABC是等边三角形,DE∥BC,若AB=5,BD=3,则△ADE的周长为()A.2B.6C.9D.15B3.(易错警示题)(2019·兰州中考)在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,则∠B=_________°.世纪金榜导学号704.(2019·武汉江汉区期末)如图,在△ABC中,BO平分∠ABC,CO平分∠ACB,MN经过点O,与AB,AC相交于点M,N,且MN∥BC.若AB=7,AC=6,那么△AMN的周长是_________.135.(2019·温州鹿城区模拟)如图,在△ABC中,AB=AC,CD是∠ACB的平分线,DE∥BC,交AC于点E.世纪金榜导学号(1)求证:DE=CE.(2)若∠CDE=35°,求∠A的度数.略考点二线段的垂直平分线的性质与判定【主干必备】1.定义:经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线.2.性质:线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离___________.相等3.判定:与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的_________________上.垂直平分线【微点警示】(1)用定义判定线段垂直平分线的两个条件:一是垂直,二是平分.(2)用判定方法判定线段垂直平分线的必备:证明有两点在线段的垂直平分线上,才能“根据两点确定一条直线”得到线段的垂直平分线.【核心突破】例2(2019·长沙中考)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,分别以点A和点B为圆心,大于AB的长为半径作弧,两弧相交于M,N两点,作直线MN,交BC于点D,连接AD,则∠CAD的度数是()A.20°B.30°C.45°D.60°B12【明·技法】线段垂直平分线的应用特征(1)线段垂直平分线中的两组相等线段.①线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等;②被垂直平分的线段,被分为两条相等线段.(2)证题时,经常把垂直平分线上的点和线段的端点连接起来,利用垂直平分线上的点和线段两端点的距离相等来证题.【题组过关】1.(2019·南充中考)如图,在△ABC中,AB的垂直平分线交AB于点D,交BC于点E,若BC=6,AC=5,则△ACE的周长为()A.8B.11C.16D.17B2.如图,已知线段AB,分别以A,B为圆心,大于AB为半径作弧,连接弧的交点得到直线l,在直线l上取一点C,使得∠CAB=25°,延长AC至点M,则∠BCM的度数为___________.1250°3.(2019·淮安模拟)如图,在△ABC中,边AB,AC的垂直平分线ED,GF分别交AB,AC于点E,G,交BC于点D,F,连接AD,AF,若∠DAF=40°,求∠BAC的度数.世纪金榜导学号略考点三直角三角形的性质与判定【主干必备】性质(1)直角三角形的两个锐角___________(2)在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的___________(3)在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的___________互余一半一半判定(1)定义法:有一个角是___________的三角形(2)两个内角___________的三角形直角互余【微点警示】(1)一条边等于另一条边的一半且有30°角的三角形:①直角三角形;②一条直角边等于斜边的一半,①②缺一不可.(2)一条边上的中线等于这条边的一半的三角形:这个三角形一定是直角三角形.【核心突破】例3(1)(2018·淄博中考)如图,在Rt△ABC中,CM平分∠ACB交AB于点M,过点M作MN∥BC交AC于点N,且MN平分∠AMC,若AN=1,则BC的长为()A.4B.6C.4D.8B3(2)(2018·徐州中考)如图,Rt△ABC中,∠ABC=90°,D为AC的中点,若∠C=55°,则∠ABD=_________°.35【明·技法】直角三角形性质的四个应用1.在一个题目中,若直角三角形较多,可考虑利用等面积的方法求线段的长度.2.可利用直角三角形两锐角互余,根据同(等)角的余角相等证明两个锐角相等.3.在直角三角形中,有30°锐角可考虑30°角所对直角边等于斜边的一半.4.在直角三角形中,若有斜边中点,可考虑直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.【题组过关】1.某商场一楼与二楼之间的手扶电梯如图所示.其中AB,CD分别表示一楼、二楼地面的水平线,∠ABC=150°,BC的长是8m,则乘电梯从点B到点C上升的高度h是()DA.4mB.8mC.mD.4m38332.如图,△ABC中,AB=AC=13,BC=10,AD平分∠BAC交BC于点D,点E为AC的中点,连接DE,则△CDE的周长为()A.16.5B.18C.23D.26B3.(2019·黄石中考)如图,在△ABC中,∠B=50°,CD⊥AB于点D,∠BCD和∠BDC的平分线相交于点E,F为边AC的中点,CD=CF,则∠ACD+∠CED=()世纪金榜导学号A.125°B.145°C.175°D.190°C考点四勾股定理及其逆定理【主干必备】1.勾股定理:如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么______________.2.勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a,b,c满足______________,那么这个三角形是直角三角形.a2+b2=c2a2+b2=c2【微点警示】(1)勾股定理应用的前提:只能在同一个直角三角形中,才能运用该定理求边长.(2)勾股定理的几种变式:在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,则a2=c2-b2=(c+b)(c-b),b2=c2-a2=(c+a)(c-a),.222222cab,acb,bca【核心突破】例4【原型题】(2018·黄冈中考)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD为AB边上的高,CE为AB边上的中线,AD=2,CE=5,则CD=()A.2B.3C.4D.2C【变形题】(变换结论)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD为AB边上的高,CE为AB边上的中线,AD=2,CE=5,则BC=________.45例5【原型题】(2018·东营中考)如图所示,圆柱的高AB=3,底面直径BC=3,现有一只蚂蚁想从A处沿圆柱表面爬到对角C处捕食,则它爬行的最短距离是()22A.31B3234CD.312．．C【变形题】(变换条件)没有上盖的圆柱盒高为10cm,底面周长为32cm,点A距离下底面3cm.一只位于圆柱盒外表面点A处的蚂蚁想爬到盒内表面对侧中点B处捕食,则它爬行的最短距离是_________cm.20例6(2018·杭州中考)折叠矩形纸片ABCD时,发现可以进行如下操作:①把△ADE翻折,点A落在DC边上的点F处,折痕为DE,点E在AB边上;②把纸片展开并铺平;③把△CDG翻折,点C落在线段AE上的点H处,折痕为DG,点G在BC边上,若AB=AD+2,EH=1,则AD=__________.323【思路点拨】设AD=x,则AB=x+2,利用折叠的性质得DF=AD,EA=EF,∠DFE=∠A=90°,则可判断四边形AEFD为正方形,所以AE=AD=x,再根据折叠的性质得DH=DC=x+2,则AH=AE-HE=x-1,然后根据勾股定理得到x2+(x-1)2=(x+2)2,再解方程求出x即可.【明·技法】勾股定理常见的应用与技巧1.已知直角三角形的任意两个边长,可直接利用勾股定理求得第三条边长.2.立体图形表面的最短路径问题,可将立体图形展开,构造直角三角形后利用勾股定理求解.3.折叠问题中求解线段长度问题,常常将某些条件汇集到一个直角三角形中,再根据勾股定理列方程求解.【题组过关】1.(2019·洛阳洛龙区期中)由线段a,b,c组成的三角形不是直角三角形的是()A.a2-b2=c2D53B.a,b1,c44C.a2b3c7＝＝，＝，＝D.∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶52.(传统数学文化题)我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一幅弦图,后人称其为“赵爽弦图”,“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形构成的大正方形,如图,若其中AE=5,BE=12,则EF的长是________.世纪金榜导学号723.(2019·宿迁中考)如图,∠MAN=60°,若△ABC的顶点B在射线AM上,且AB=2,点C在射线AN上运动,当△ABC是锐角三角形时,BC的取值范围是______________.3BC23＜＜4.(2019·巴中中考)如图,等腰直角三角板如图放置.直角顶点C在直线m上,分别过点A,B作AE⊥直线m于点E,BD⊥直线m于点D.世纪金榜导学号(1)求证:EC=BD.(2)若设△AEC三边分别为a,b,c,利用此图证明勾股定理.【解析】(1)∵∠ACB=90°,∴∠ACE+∠BCD=90°.∵∠ACE+∠CAE=90°,∴∠CAE=∠BCD.在△AEC与△CDB中,∴△CAE≌△BCD(AAS).∴EC=BD.CEABDC,CAEBCD,ACCB,(2)略考点五命题与定理【主干必备】1.真假命题:如果题设成立,结论______________