中考数学全程复习方略 第二十六讲 与圆有关的位置关系课件

第二十六讲与圆有关的位置关系考点一点与圆的位置关系【主干必备】点与圆的位置关系1.设圆O的半径为r,点P到圆心的距离为OP=d.则:(1)点P在圆外⇔__________;dr(2)点P在圆上⇔__________;(3)点P在圆内⇔__________.d=rdr2.确定圆的条件:不在同一条直线上的三个点确定___________圆.一个【微点警示】(1)注意互逆:由点和圆的位置关系可以推得d与r的大小关系;反之,由d与r的大小关系也可以推得点和圆的位置关系.(2)注意条件:三个点确定一个圆的前提是这三个点不在同一直线上.【核心突破】例1(2018·泰安中考)如图,☉M的半径为2,圆心M的坐标为(3,4),点P是☉M上的任意一点,PA⊥PB,且PA,PB与x轴分别交于A,B两点,若点A,点B关于原点O对称,则AB的最小值为()CA.3B.4C.6D.8【明·技法】圆外一点到圆上各点的距离的最值(1)最短距离=圆外一点与圆心的距离-半径.(2)最长距离=圆外一点与圆心的距离+半径.【题组过关】1.(2019·上海金山区模拟)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=2,∠B=60°,☉A的半径为3,那么下列说法正确的是()DA.点B,点C都在☉A内B.点C在☉A内,点B在☉A外C.点B在☉A内,点C在☉A外D.点B,点C都在☉A外2.(易错警示题)在直角坐标平面内,点O是坐标原点,点A的坐标是(3,2),点B的坐标是(3,-4).如果以点O为圆心,r为半径的圆O与直线AB相交,且点A,B中有一点在圆O内,另一点在圆O外,那么r的值可以取()A.5B.4C.3D.2B3.(2019·江都区模拟)有一张矩形的纸片,AB=6cm,AD=8cm,若以A为圆心作圆,并且要使点B在☉A内,而点C在☉A外,☉A的半径r的取值范围是____________________.世纪金榜导学号6cmr10cm考点二直线与圆的位置关系【主干必备】设圆的半径为r,圆心到直线的距离为d.直线与圆的位置关系相离相切相交图形直线与圆的位置关系相离相切相交公共点个数______________________d与r的关系___________________012drd=rdr【微点警示】(1)注意互逆:由直线和圆的位置关系可以推得d与r的大小关系;反之,由d与r的大小关系也可以推得直线和圆的位置关系.(2)“d”的不同:点与圆的位置关系中,“d”是指两点之间的距离;直线与圆的位置关系中,“d”是指点与直线的距离.【核心突破】例2(2019·菏泽中考)如图,直线y=-3交x轴于点A,交y轴于点B,点P是x轴上一动点,以点P为圆心,以1个单位长度为半径作☉P,当☉P与直线AB相切时,点P的坐标是_____________.3x4717(0)(0)33，或，【明·技法】判断直线与圆位置关系的两种方法1.用直线与圆交点的个数来判断.2.用圆心到直线的距离与半径的大小来判断.【题组过关】1.(易错警示题)已知☉O的半径为4,直线l上有一点P与☉O的圆心的距离为4,则直线l与☉O的位置关系为()A.相离B.相切C.相交D.相切、相交均有可能D2.(2019·杭州上城区模拟)已知∠BAC=45°,一动点O在射线AB上运动(点O与点A不重合),设OA=x,如果半径为1的☉O与射线AC有公共点,那么x的取值范围是()A.0x≤1B.1≤xC.0x≤D.xC2223.(2019·玄武区模拟)直径为10cm的圆,若该圆的圆心到直线的距离为4cm,则该直线与圆的公共点个数为________.24.(2019·达州中考)如图,☉O是△ABC的外接圆,∠BAC的平分线交☉O于点D,交BC于点E,过点D作直线DF∥BC.世纪金榜导学号(1)判断直线DF与☉O的位置关系,并说明理由;(2)若AB=6,AE=,CE=,求BD的长.1235475【解析】(1)DF与☉O相切,理由:连接OD,∵∠BAC的平分线交☉O于点D,∴∠BAD=∠CAD,∴,∴OD⊥BC,∵DF∥BC,∴OD⊥DF,∴DF与☉O相切.BDCD＝(2)∵∠BAD=∠CAD,∠ADB=∠C,∴△ABD∽△AEC,∴,∴,∴BD=.ABBDAECE6BD1234755＝2213考点三切线的性质与判定【主干必备】1.切线的定义、性质与判定(1)定义:和圆有___________公共点的直线.(2)性质:圆的切线_____________过切点的半径.唯一垂直于(3)判定:经过半径的外端,并且___________于这条半径的直线是圆的切线.垂直2.切线长定理从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长___________,这一点和圆心的连线___________两条切线的夹角.相等平分【微点警示】(1)注意性质与判定的区别:知切线推得“垂直”是性质,知“垂直”推得切线是判定.(2)注意“切线长”的含义:圆的切线是直线,本无长度,“切线长”专指圆外一点和切点之间的线段的长度.【核心突破】例3(2019·菏泽中考)如图,BC是☉O的直径,CE是☉O的弦,过点E作☉O的切线,交CB的延长线于点G,过点B作BF⊥GE于点F,交CE的延长线于点A.(1)求证:∠ABG=2∠C.(2)若GF=3,GB=6,求☉O的半径.3【思路点拨】(1)连接OE,根据切线的性质得到OE⊥EG,推出OE∥AB,得到∠A=∠OEC,根据等腰三角形的性质得到∠OEC=∠C,求得∠A=∠C,根据三角形的外角的性质即可得到结论.(2)根据勾股定理得到BF==3,根据相似三角形的性质即可得到结论.22BGGF【自主解答】(1)连接OE,∵EG是☉O的切线,∴OE⊥EG,∵BF⊥GE,∴OE∥AB,∴∠A=∠OEC,∵OE=OC,∴∠OEC=∠C,∴∠A=∠C,∵∠ABG=∠A+∠C,∴∠ABG=2∠C.(2)略例4【原型题】(2019·凉山州中考)如图,点D是以AB为直径的☉O上一点,过点B作☉O的切线,交AD的延长线于点C,E是BC的中点,连接DE并延长与AB的延长线交于点F.(1)求证:DF是☉O的切线.(2)若OB=BF,EF=4,求AD的长.【自主解答】略【变形题】(变换条件、结论)如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的☉O交BC边于点D,交AC边于点E.过点D作☉O的切线,交AC于点F,交AB的延长线于点G,连接DE.(1)求证:BD=CD.(2)若∠G=40°,求∠AED的度数.【解析】(1)连接AD,∵AB为直径,∴∠ADB=90°,∴AD⊥BC,∵AB=AC,∴BD=CD.(2)略【明·技法】与圆的切线有关的三种辅助线(1)若已知直线与圆相切,先连接圆心和切点,根据切线性质得到直角,再作进一步的计算或推理,可简述为:见切线,连半径,得垂直.(2)若已知直线与圆的公共点,证该直线为圆的切线,则采用判定定理法,其基本思路是:当已知点在圆上时,连接过这点的半径,证明这条半径与直线垂直即可,可简述为:有公共点,连半径,证垂直,得切线.(3)若未知直线与圆的交点,证该直线为圆的切线,则采用数量关系法,其基本思路是:过圆心作直线的垂线段,证明垂线段的长等于圆的半径,可简述为:无公共点,作垂线,证半径,得切线.【题组过关】1.(2019·无锡中考)如图,PA是☉O的切线,切点为A,PO的延长线交☉O于点B,若∠P=40°,则∠B的度数为()BA.20°B.25°C.40°D.50°2.(2019·石家庄市桥西区模拟)如图,AB是☉O的直径,点P是☉O外一点,PO交☉O于点C,连接BC,PA.若∠P=40°,当∠B等于____________时,PA与☉O相切世纪金榜导学号()BA.20°B.25°C.30°D.40°3.(2019·菏泽东明县模拟)如图,PA,PB切☉O于点A,B,PA=10,CD切☉O于点E,交PA,PB于C,D两点,则△PCD的周长是()CA.10B.18C.20D.224.(2019·河南模拟)如图,已知AB是☉O的直径,AD,BD是半圆的弦,∠PDA=∠PBD,∠BDE=60°,若PD=,则PA的长为________.世纪金榜导学号315.(2019·天水中考)如图,AB,AC分别是☉O的直径和弦,OD⊥AC于点D.过点A作☉O的切线与OD的延长线交于点P,PC,AB的延长线交于点F.(1)求证:PC是☉O的切线.(2)若∠ABC=60°,AB=10,求线段CF的长.【解析】(1)连接OC,∵OD⊥AC,OD经过圆心O,∴AD=CD,∴△PDA≌△PDC,∴PA=PC.在△OAP和△OCP中,∵∴△OAP≌△OCP(SSS),∴∠OCP=∠OAP.∵PA是☉O的切线,∴∠OAP=90°,∴∠OCP=90°,即OC⊥PC,∴PC是☉O的切线.(2)略OAOC,PAPC,OPOP，考点四三角形的外接圆与内切圆【主干必备】外接圆定义:经过三角形的三个___________的圆.三角形的外心:三角形_____________的圆心,是三角形三条边的_________________的交点,到三角形_______________的距离相等.顶点外接圆垂直平分线三个顶点内切圆定义:与三角形各边都___________的圆.三角形的内心:三角形_____________的圆心,是三角形三条_______________的交点,到三角形___________的距离相等.相切内切圆角平分线三边【微点警示】(1)三角形外心与内心的位置:锐角三角形的外心在其内部,直角三角形的外心在其斜边上,钝角三角形的外心在其外部;而任意三角形的内心都在其内部.(2)等边三角形的外心与内心:等边三角形的外接圆与内切圆是同心圆,即等边三角形的外心与内心合二为一.【核心突破】例5(2018·长沙中考)如图,在△ABC中,AD是边BC上的中线,∠BAD=∠CAD,CE∥AD,CE交BA的延长线于点E,BC=8,AD=3.(1)求CE的长.(2)求证:△ABC为等腰三角形.(3)求△ABC的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离.【思路点拨】(1)证明AD为△BCE的中位线得到CE=2AD=6.(2)通过证明AC=AE得到AB=AC.(3)取△ABC的外心点P,内心点Q,连接BP,BQ,CQ,先利用勾股定理计算出AB=5,设☉P的半径为R,☉Q的半径为r,在Rt△PBD中利用勾股定理得到(R-3)2+42=R2,解得R=,则PD=,再利用面积法求出r=,即QD=,然后计算PD+QD即可.256764343【自主解答】略【明·技法】与三角形的外心与内心有关的解题技巧(1)连接外心与三角形各顶点,可得等腰三角形.(2)连接内心与三角形顶点的连线平分这个内角.【题组过关】1.(易错警示题)如图,点I是△ABC的内心,若∠AIB=125°,则∠C等于()BA.65°B.70°C.75°D.80°2.(2019·荆门中考)如图,△ABC的内心为I,连接AI并延长交△ABC的外接圆于D,则线段DI与DB的大小关系是世纪金榜导学号()AA.DI=DBB.DIDBC.DIDBD.不确定3.(2019·宿迁中考)直角三角形的两条直角边分别是5和12,则它的内切圆半径为________.世纪金榜导学号24.(2019·荆门中考)已知锐角△ABC的外接圆圆心为O,半径为R.(1)求证:=2R.(2)若在△ABC中∠A=45°,∠B=60°,AC=,求BC的长及sinC的值.ACsinB3【解析】(1)连接AO并延长交圆于D点,连接CD,∵AD为直径,∴∠ACD=90°,且∠ABC=∠ADC.在Rt△ACD中sin∠ABC=sin∠ADC=,∴=2R.ACACAD2RACsinB(2)由(1)知=2R,同理可得=2R.∴2R==2,∴BC=2R·sin∠BAC=2sin45°=,如图,作CE⊥AB,垂足为E,ACsinBABBCsinACBsinBAC3sin602∴BE=BC·cosB=cos60°=,AE=AC·cosA