中考数学全程复习方略 第二十讲 矩形 菱形 正方形课件

第二十讲矩形、菱形、正方形考点一矩形的性质与判定【主干必备】性质除具有平行四边形的性质外,还有:1.矩形的四个角都是__________2.矩形的对角线__________3.既是_____________图形,又是轴对称图形判定1.有一个角是_________的平行四边形2.对角线_________的平行四边形3.有三个角是_________的四边形直角相等中心对称直角相等直角【微点警示】(1)矩形的分割:矩形被对角线所分成的四个三角形都是等腰三角形,它们相对的两个全等,它们的面积都相等.(2)判定的思路:若起点是四边形,需加上三个角是直角才得到矩形;若起点是平行四边形,加上一个角是直角或对角线相等便得到矩形.【核心突破】例1(2019·青岛中考)如图,在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,点E,F分别为OB,OD的中点,延长AE至G,使EG=AE,连接CG.(1)求证:△ABE≌△CDF.(2)当AB与AC满足什么数量关系时,四边形EGCF是矩形?请说明理由.【思路点拨】(1)由平行四边形的性质得出AB=CD,AB∥CD,OB=OD,OA=OC,由平行线的性质得出∠ABE=∠CDF,证出BE=DF,由SAS证明△ABE≌△CDF即可.(2)证出AB=OA,由等腰三角形的性质得出AG⊥OB,∠OEG=90°,同理:CF⊥OD,得出EG∥CF,由三角形中位线定理得出OE∥CG,所以EF∥CG,得出四边形EGCF是平行四边形,即可得出结论.【自主解答】略【明·技法】矩形判定方法的选择技巧(1)若易证得四边形是平行四边形,则再证一角为直角或对角线相等,即可证得其是矩形.(2)三个角是直角的四边形是矩形.(3)有两条对角线相等的四边形不一定是矩形,必须加上“平行四边形”这个条件,它才是矩形.(4)对角线相等且互相平分的四边形是矩形.【题组过关】1.(2019·临沂中考)如图,在平行四边形ABCD中,M,N是BD上两点,BM=DN,连接AM,MC,CN,NA,添加一个条件,使四边形AMCN是矩形,这个条件是()AA.OM=ACB.MB=MOC.BD⊥ACD.∠AMB=∠CND122.如图,延长矩形ABCD的边BC至点E,使CE=CA,连接AE,如果∠ACB=40°,则∠E的值是()A.18°B.19°C.20°D.40°C3.(2019·昆明西山区模拟)如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,∠AOB=60°,AC=4cm,则矩形ABCD的面积为世纪金榜导学号()BA.12cm2B.4cm2C.8cm2D.6cm2334.(2019·甘肃中考)如图,在矩形ABCD中,AB=10,AD=6,E为BC上一点,把△CDE沿DE折叠,使点C落在AB边上的F处,则CE的长为______.1035.(2019·怀化中考)已知:如图,在▱ABCD中,AE⊥BC,CF⊥AD,E,F分别为垂足.世纪金榜导学号(1)求证:△ABE≌△CDF.(2)求证:四边形AECF是矩形.【证明】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠B=∠D,AB=CD,AD∥BC,∵AE⊥BC,CF⊥AD,∴∠AEB=∠AEC=∠CFD=∠AFC=90°,在△ABE和△CDF中,∴△ABE≌△CDF(AAS).BD,AEBCFD,ABCD，(2)∵AD∥BC,∴∠EAF=∠AEB=90°,∴∠EAF=∠AEC=∠AFC=90°,∴四边形AECF是矩形.考点二菱形的性质与判定【主干必备】性质除具有平行四边形的性质外,还有:1.菱形的四条边都__________2.菱形的两条对角线互相_________,并且每一条对角线平分______________3.菱形的面积等于两条对角线乘积的__________4.既是_____________图形,又是轴对称图形相等垂直一组对角一半中心对称判定1.有一组邻边_________的平行四边形2.对角线互相_________的平行四边形3.四条边都_________的四边形相等垂直相等【微点警示】(1)菱形的分割:菱形被对角线所分成的四个三角形都是直角三角形,它们四个都全等.(2)判定的思路:若起点是四边形,需加上四条边都相等才得到菱形;若起点是平行四边形,加上一组邻边相等或对角线互相垂直便得到菱形.【核心突破】例2(2019·兰州中考)如图,AC=8,分别以A,C为圆心,以长度5为半径作弧,两条弧分别相交于点B和D.依次连接A,B,C,D,连接BD交AC于点O.(1)判断四边形ABCD的形状并说明理由.(2)求BD的长.【思路点拨】(1)利用作法得到四边相等,从而可判断四边形ABCD的形状.(2)根据菱形的性质得OA=OC=4,OB=OD,AC⊥BD,然后利用勾股定理计算出OB,从而得到BD的长.【自主解答】略【明·技法】菱形判定方法的选择(1)若四边形(或可证)为平行四边形,则再证一组邻边相等或对角线互相垂直.(2)若相等的边较多(或容易证出)时,可证四条边相等.【题组过关】1.(2019·天津中考)如图,四边形ABCD为菱形,A,B两点的坐标分别是(2,0),(0,1),点C,D在坐标轴上,则菱形ABCD的周长等于()CA.B.4C.4D.205352.如图,四边形ABCD为平行四边形,延长AD到E,使DE=AD,连接EB,EC,DB,添加一个条件能使四边形DBCE成为菱形的是()BA.AB=BEB.AB⊥BEC.∠ADB=90°D.CE⊥DE3.(2019·北部湾中考)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,过点A作AH⊥BC于点H,已知BO=4,S菱形ABCD=24,则AH=______.世纪金榜导学号2454.(生活情境题)如图,把两张宽度都是3cm的纸条交错地叠在一起,相交成角α.则重叠部分的面积为__________.世纪金榜导学号29cmsin5.(2019·枣庄中考)如图,BD是菱形ABCD的对角线,∠CBD=75°,(1)请用尺规作图法,作AB的垂直平分线EF,垂足为E,交AD于F.(不要求写作法,保留作图痕迹)(2)在(1)的条件下,连接BF,求∠DBF的度数.【解析】(1)略(2)∵四边形ABCD是菱形,∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=75°,DC∥AB,∠A=∠C.∴∠ABC=150°,∠ABC+∠C=180°,∴∠C=∠A=30°,∵EF垂直平分线段AB,∴AF=FB,∴∠A=∠FBA=30°,∴∠DBF=∠ABD-∠FBE=45°.12考点三正方形的性质与判定【主干必备】性质1.正方形的四条边都_________.2.正方形的四个角都是_________.3.正方形的两条对角线_________且互相_____________,每一条对角线平分一组对角.4.既是_________________,又是轴对称图形.相等直角相等垂直平分中心对称图形判定1.有一组邻边_________并且有一个角是_________的平行四边形2.有一组邻边_________的矩形3.有一个角是_________的菱形4.对角线相等且垂直的平行四边形相等直角相等直角【微点警示】(1)正方形的分割:正方形被对角线所分成的四个三角形都是等腰直角三角形,它们四个都全等.(2)判定的思路:若起点是平行四边形,需加上邻边相等和一个直角,或者加上对角线相等且垂直才得到正方形;若起点是矩形,加上一组邻边相等便得到正方形;若起点是菱形,加上一个直角便得到正方形.【核心突破】例3【原型题】(2018·聊城中考)如图,正方形ABCD中,E是BC上的一点,连接AE,过点B作BH⊥AE,垂足为点H,延长BH交CD于点F,连接AF.(1)求证:AE=BF.(2)若正方形边长是5,BE=2,求AF的长.【思路点拨】(1)利用正方形的性质证明△ABE≌△BCF,进而得到对应边AE=BF.(2)借助△ABE≌△BCF,求出DF的值,然后在Rt△ADF中使用勾股定理求得AF的值.【自主解答】(1)∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC,∠ABC=∠C=90°,∵作BH⊥AE,垂足为点H,∴∠BAE=∠CBF.在△ABE和△BCF中,∴△ABE≌△BCF(ASA),∴AE=BF.(2)略ABCC90ABBCBAECBF，，，【变形题1】(变换结论)如图,正方形ABCD中,E是BC上的一点,连接AE,过B点作BH⊥AE,垂足为点H,延长BH交CD于点F,连接AF.若正方形边长是5,BE=2,求FH的长.【解析】在Rt△ABE中,∵AB=5,BE=2,∴AE=∵S△ABE=∴BH=∵BF=AE=∴FH=BF-BH=225229，AEBHABBE22，5210292929，29，1929.29【变形题2】(变换条件、结论)如图,正方形ABCD中,E是BC上的一点,连接AE,过B点作BH⊥AE,垂足为点H,延长BH交CD于点F,连接BD,交AE于点N,连接AC,分别交BD,BF于点O,M,连接HO,求证:HO平分∠AHF.略【明·技法】正方形判定及性质的应用技巧(1)判定的两种思路:证明一个四边形是正方形,可以先判定为矩形,再证邻边相等或对角线互相垂直;或先判定为菱形,再证一个角是直角或对角线相等.(2)性质的兼容并蓄:正方形既是特殊的矩形又是特殊的菱形,具有它们所有的性质.(3)易得全等三角形:正方形被两条对角线分割为四个全等的等腰直角三角形,在正方形中对称画出分割线,很容易得到另外的全等三角形.【题组过关】1.(2019·枣庄中考)如图,点E是正方形ABCD的边DC上一点,把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置.若四边形AECF的面积为20,DE=2,则AE的长为()DA.4B.2C.6D.2562.(易错警示题)满足下列条件的四边形是正方形的是()A.对角线互相垂直平分的平行四边形B.对角线互相平分且相等的矩形C.对角线互相垂直平分的菱形D.对角线互相垂直平分且相等的四边形D3.如图,在边长为3的正方形ABCD中,点E是BC边上的点,EC=2,∠AEP=90°,且EP交正方形外角的平分线CP于点P,则PC的长为______.24.(2019·滁州模拟)如图,在正方形ABCD中,AC,BD相交于点O,E,F分别为BC,CD上的两点,BE=CF,AE,BF分别交BD,AC于M,N两点,连接OE,OF.下列结论:①AE=BF;②AE⊥BF;③CE+CF=BD;④S四边形OECF=S正方形ABCD,其中正确的序号是_____________.世纪金榜导学号2214①②③④5.(2019·河北模拟)如图,点E是正方形ABCD对角线AC上一点,EF⊥AB,EG⊥BC,垂足分别为F,G,若正方形ABCD的周长是40cm.世纪金榜导学号(1)求证:四边形BFEG是矩形.(2)求四边形EFBG的周长.(3)当AF的长为多少时,四边形BFEG是正方形?略