大学物理-力学中的刚体2

—力矩的空间积累效应§§66定轴转动中的功和能定轴转动中的功和能WorkandEnergyinRotationalMotionWorkandEnergyinRotationalMotion一、力矩的功αωrFWKKdd⋅=rFKdcosα=rKdθαdcosdrFW=D90=+ϕαθϕdsinrF=θdM=M:力对转轴的力矩。θddMW=有限角位移的功：∫=21dθθθMW力矩的功率：tWPdd=tMddθ=ωM=dθ轴OFKrKϕ二、定轴转动动能定理1.动能KineticEnergyofRotationβJM=tJddω=θωωddJ=θddMW=ωωdJ=∫=21dθθθMW∫=21dωωωωJ21222121ωωJJ−=定义：2K21ωJE=─刚体的转动动能.1K2KEEW−=外合外力矩对刚体的功等于转动动能的增量.2.动能定理tJddddθθω=讨论：™注意它与质点系动能定理的区别K2K1WEE=−外12KKEEWW−=+外内™对非定轴转动的刚体不成立2K12EJω=™转动动能（一般质点系）2K12iiEm=∑v∑=2)(21ωiirm∑=22)(21ωiirm2K12EJω=三、定轴转动的功能原理质点系功能原理对刚体仍成立：刚体重力势能：若只有保守内力做功，则机械能为常量。×ChchiEp=0Δmi∑Δ=iighmEP∑Δ=mhmmgiicmgh=mW外＋W内非＝（Ek2+Ep2）–（Ek1+Ep1）例:均匀直杆质量为m，长为l，初始水平静止，轴光滑。求：杆下摆θ角后，角速度ω和轴对杆的作用力。解：杆和地球组成的系统只有重力作功，故机械能守恒初始：，Ek10=令EP10=末态：ABO轴4lθωC由平行轴定理2comdJJ+=22)41(121lmml+=2487ml=lg7sin62θω=θsin42plmgE−=0sin4212o=−θωlmgJ2k212OEJω=.4lAO=CONKNlNtmgθθalatω、β应用质心运动定理：CamgmNKKK=+lK向cllmaNmg=+−θsincttmaNmg=+θcostK向2c4ωlal=θsin76g=c4tlaβ=lg7sin62θω=βJM=θcos4mglM=CONKNlNtmgθθalatω、βc4tlaβ=lgl7cos124θ⋅=7cos3θg=cllmaNmg=+−θsincttmaNmg=+θcosθsin76gacl=2487mlJo=JM=β2487cos4mlmglθ=lg7cos12θ=θsin713mgNl=θcos74mgNt−=lmgNˆsin713θ=Ktmgˆcos74θ−cllmaNmg=+−θsincttmaNmg=+θcos)cot134(tantan11θα−−==ltNN16sin15372+=θmgN§§77刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律一、角动量定理tLMddKK=LtMzdd=2211ddtLztLMtL=∫∫1221dLLtMttz−=∫tLMzdd=o21R2R1ω2ωo1例两平行圆柱在水平面内转动，202,2101,1,;,求：接触且无相对滑动时两者的角速度值分别为多少？ωωRmRm.o1m1R1.o2R2m210ω20ωo1.o2.1ω2ω由角动量定理解：分别以m1,m2为研究对象，f1f2设：f1=f2=f，以顺时针方向为正m1对o1轴：211110111121dRmJ,JJtfR=−=−∫ωωo21R2R1ω2ωf1f2m2对o2轴：222220222221dRmJ,JJtfR=−−=−∫ωω接触点：2211RRωω=联立各式解得：()()221202210112121202210111RmmRmRmRmmRmRm+−=+−=ωωωωωω二、角动量守恒定律ConservationofAngularMomentum设刚体沿定轴z轴转动，将角动量定理沿此轴投影zzttzLLtM1221d−=∫若Mz=0ωzzzILL==12若刚体所受的对某一轴的合外力矩为零，则它对这一固定轴的角动量保持不变。例如:茹可夫斯基凳常平架回转仪例：一匀质细杆可绕O点在竖直面内转动，其质量为M，长度为l,起始时静止于垂直位置。现有一质量为m的泥团以速度v与竖直方向成30°角方向击中细杆中央并粘住，求：细杆开始摆动时的角速度。30°mvKM,l碰撞前后杆+泥团系统的角动量守恒。泥团：oL解：初态：细杆角动量为零K大小：rKαsinrpLo=D150sin2vml=方向：末态：mLK大小：方向：v′×=KKmrLmω2,2llr=′=vD90sin22mllLmω=ωml42=O30°mvKM,lrKωmlLm42=杆的角动量：方向：MLK大小：ωJLM=ω231Ml=omMLLL=+D150sin2vmlωml42=ω231Ml+lMmm)43(3+=vω角动量守恒例：宇宙飞船对其中心轴的转动惯量为J=2×103kgm2，正以ω=0.2rad/s的角速度绕中心轴旋转，宇航员想用两个切向的控制喷管使飞船停止旋转，每个喷管的位置与轴线的距离都是r=1.5m，两喷管的喷气流量恒定，为α=2kg/s,废气相对飞船周边的速率u=50m/s,问：喷管应喷射多长时间才能使飞船停止转动？ωr解：2dm2dm废气质量飞船质量，故起始角动量为ωJL=0方向如图0LK设dt内喷出的气体质量为dm，其角动量为：)(ddv+=urmLmωr=v喷气速度u=50m/sv(0.3m/s)urmLmdd=方向如图mLKu设飞船停止转动时共喷出气体的质量为mωr2dm2dm0LKmLKurmLmdd=urmurmLLmm===∫∫dd角动量守恒，停转时0mLL=urmJ=ωurJmω=所需时间t，αmt=αωurJ=67.25.15022.01023=××××=(S)例：转台（M，R），人(m),轴的阻力不计，若人沿转台跑一圈，问：相对地面来说，人和转台各转了多少度？解：人与转台组成的系统角动量守恒ωω’ωω′′−=JJ022,21mRJMRJ=′=JJ′=′ωωMm2=ωω′=Mm2xxθΘt=0t∫∫′=TTtMmt00d2dωωθMmΘ2=θ−=π2ΘmMM2π2+=θmMmΘ2π4+=平动刚体定轴转动trddKK=vtddθω=taddvKK=22ddtrK=tddωβKK=22ddddttθωβ==∫=VmrJd2mAnalogybetweentranslationalandrotationalmotionamFKK=βKKJM=vKKmp=∑Δ=iiimpvKKprLKKK×=ωKKJL=平动刚体定轴转动tpFddKK=tmd)(dvK=tLMddKK=tJd)(dωK=动量守恒合外力为零，动量守恒角动量守恒合外力矩为零，角动量守恒AnalogybetweentranslationalandrotationalmotionrFWKKdd⋅=θddMW=2k21vmE=2k21ωJE=12KKEEWW−=+外内K2K1WEE=−外平动刚体定轴转动Analogybetweentranslationalandrotationalmotion§§88进动进动（（Precession)Precession)rLGmgtMLddGG=一、进动现象高速自旋的物体的轴在空间转动的现象。二、解释LGLGdLLGGd+M=rmgOMLLdd=ΘLtMd=进动角速度ΩLMt==ddΘΩLGLGdLLGGd+dΘ不“屈服”于外力矩作用，稳定对称轴的方向，提高稳定性。()↓Ω→↑↑↑ω,zJL高速（ωΩ）情况取近似:LJLzOGGG=≈ωrLGmgOz陀螺ΩmgφΩθOωKKJL=LK自旋角动量ΩK进动角速度tddφθ变化：章动（忽略）陀螺炮弹fGΩΩmg炮筒内壁上的来复线如图所示，一静止的均匀细棒，长为L、质量为M，可绕通过棒的端点且垂直于棒长的光滑固定轴O在光滑的水平桌面内转动，一质量为m、速率为v的子弹在水平面内沿与棒垂直射向棒的自由端，并以v/2的速率从棒中穿出，则此时棒的角速度为(a)mMLv(b)32mMLv(c)53mMLv(d)74mMLv答案:(b)vv/2O#mechrb2