大学物理-力学中的运动学

力力学学MechanicsMechanics力学的研究对象：物体机械运动的规律及其应用。机械运动：物体位置随时间的变化。运动学运动学（Kinematics)：从几何的观点研究物体位置随时间的变化，不管这种变化发生的原因。动力学动力学（Dynamics)：研究物体的运动和物体间相互作用的联系，阐明物体运动状态发生变化的原因。静力学静力学(StaticEquilibrium)：研究物体在相互作用下的平衡问题。可看作动力学的一部分。第一章质点力学1.1质点运动学1.2牛顿运动定律及其应用1.3动量1.4角动量1.5功和能质点(PointMass)：有一定质量但没有大小和形状的物体。理想模型质点质点刚体刚体完全弹性体理想流体原则：物体本身的几何尺度远远小于它所涉及的空间范围。参照系(referenceframes)：坐标系(coordinatesystems)：物质参照系的数学抽象。直角坐标系,极坐标系,球坐标系…1.1.1位置矢量和位移一、位置矢量（位矢矢径）PositionVector1.定义Oxyz方向：描述了质点相对于坐标轴的方位。3.特点P（x，y，z）2.作用描述质点的位置。大小r：P点到O点的距离。①矢量性：大小、方向、加法遵从平行四边形法则。②相对性③瞬时性rGrG坐标原点O到P的有向线段,单位：m。1.1质点的运动kzjyixrˆˆˆ++=K4.直角系中的解析表达式rxK=αcosα：位矢与x轴的夹角OxyzP（x，y，z）αβγ222zyxrr++==KryK=βcosrzK=γcosiˆjˆkˆ1coscoscos222=++γβαxyzOβ：位矢与y轴的夹角γ：位矢与z轴的夹角二、运动函数（方程）定义：质点坐标随时间变化的函数关系。)(trrKK=)(txx=)(tyy=)(tzz=例如：某质点的运动方程为:tx6πsin3=ty6πcos3=t=0t=3st=6st=9s注意运动方程与轨道方程的区别.轨道：质点在空间走过的路径。轨道方程：物体经过的轨道的数学表达式。f(x,y,z)=0xy它是坐标间的关系，一般不含t。2223=+yx三、位移DisplacementOxyzABBrK)()(trttrrKKK−Δ+=Δt时刻A点位矢t+Δt时刻B点位矢定义位移：从质点的初始位置到终止位置的有向线段。直角坐标系中：jyixrˆˆΔ+Δ=ΔK)()(txttxx−Δ+=Δ)()(tyttyy−Δ+=Δ22)()(yxrΔ+Δ=ΔKxyΔΔ=θtanθ：位移与x轴的夹角.位移的大小：位移的方向：ArGBrGrGΔrGΔArK单位：米(m)讨论1.位移与路程的区别OxyzAArKBBrK2.Δt→0rGΔΔssrdd=GrrΔ≠ΔG(a)Δr表示位移的大小(b)rGΔ表示位移的大小(c)Δr表示位矢的增量(d)Δr表示位矢模的增量正确答案:(b),(d)3.区分两个量：rrΔΔandGACBOrArBOC＝OArGΔABrrr−=Δ#mech001trΔΔ=GGv1.平均速度(AverageVelocity)2.瞬时速度(InstantaneousVelocity)ttrttrtΔ−Δ+=→Δ)()(lim0GGGvxyzP2P1O1.1.2速度Velocitytrtrtddlim0GGG=ΔΔ=→Δv速度的方向：沿该时刻质点所在处轨道的切线方向，指向运动的前方。平均速度方向：与一致。平均速度单位:m/s。单位:m/s。1vG2vGrGΔvGrKΔ3.速率vspeed速度的大小叫做速率。trddKG==vvtrtrttΔΔ=ΔΔ=→Δ→ΔKK00limlimtsdd=vxyzP2P1OrKΔΔs1vG2vG质点的速率等于其通过路程对时间的变化率。kjiktzjtyitxzyxˆˆˆˆddˆddˆddvvvvv++=++=KK速度是各分速度之矢量和。222zyxvvvvv++==K速率4.直角坐标系中⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===tztytxzyxddddddvvv作用：精确地描述质点运动的快慢。特点：矢量性、相对性、瞬时性。trddKK=v例：一质点在XY平面内，依规律，沿2tx=3203xy=作曲线运动。(SI)求：1)质点从第2秒末到第4秒末的位移。2)质点从第2秒末到第4秒末时间间隔内的平均速度。3)t=2s和第t=4s时的速度。解：1)3203xy=是轨道方程运动方程2tx=3206ty=jyyixxˆ)(ˆ)(1212−+−=jyixrˆˆΔ+Δ=ΔG2)平均速度trΔΔ=GGv24ˆ6.12ˆ12−+=jijiˆ3.6ˆ6+=(m/s)jyyixxˆ)(ˆ)(1212−+−=jiˆ)24(3201ˆ)24(6622−+−=jyixrˆˆΔ+Δ=ΔGjiˆ6.12ˆ12+=(m)rGΔyx3203xy=2tx=3)t=2s时的速度运动方程2tx=3206ty=jtittrˆ320ˆ)(62+=G56ˆˆ2320ttij=+Gv(t)jtitˆ1603ˆ25+=t=2sjitˆ6.0ˆ42+==vGttrtd)(d)(GG=v(m/s)yx速度的方向？1.1.3加速度Acceleration1.平均加速度averageaccelerationttt-ttaΔΔ=ΔΔ+=vvvGGGG)()(2.瞬时加速度InstantaneousAccelerationxyP2P10z)(tvK)(ttΔ+vK)(trK)(ttrΔ+K)(ttΔ+vK)(tvK令Δt→0tatΔΔ=→ΔvGG0limvKΔ22ddrt=K单位:m/s2单位:m/s2ddt=Gvktjtitazyxˆddˆddˆddvvv++=Gkajaiaazyxˆˆˆ++=G3.直角坐标系中vvvddd,,dddyzxxyzaaattt===222222ddd,,dddxyzxyzaaattt===kzjyixrˆˆˆ++=KtrddGG=vktzjtyitxˆddˆddˆdd++=22ddddtrtaKGK==vktjtitzyxˆddˆddˆddvvv++=ktzjtyitxˆddˆddˆdd222222++=速度等于位矢对时间的变化率。加速度等于速度对时间的变化率。位矢(m)速度(m/s)加速度(m/s2))()(trttrr小结：直角坐标系中KKK−Δ+=Δ位移(m)ˆˆxiyj=Δ+Δ已知某质点的运动方程为x=x(t),y=y(t)，且。则该质点速度和加速度的大小为22rxy=+trdd=v22ddtra=tytxyxdd,dd==vv22yxvvv+=2222dd,ddtyatxayx==22yxaaa+=(a)(b)(c)(d)正确答案：(c),(d)。#mech002例：一质点运动轨迹为抛物线02242=+−=−=zttytxxxy22−−=分析：x=–4m，t=2s解：txxdd=vtyydd=v)m/s(37422=+=yxvvv)m/s(2442jitKKG−−==vt2−=t=2svx=－4m/stt443+−=t=2svy=–24m/sy求：x=–4m时(t0)粒子的速度、速率、加速度。(SI)44,2−=−=yxaa2dddd22−===txtaxxv02242=+−=−=zttytx22ddddtytayy==v4122+−=tt=2stxxdd=vtyydd=vt2−=tt443+−=22244(m/s)taij==−−KKKjtiaˆ)412(ˆ22+−+−=Gy粒子的运动方向？s例：匀速拉小船，如图。求：船靠岸的速度。解：l22hls−=ddst0ddv−=tltlhlldd22122−=Oˆxsi=−Gxtllsdddd=dˆdsit=−Gvh0v022ˆlilh=−Gvv例：如图所示，跨过定滑轮C的不可伸长的绳子，一端挂有重物B，另一端A被人拉着沿水平方向匀速前进，速率v0=1m/s，A点离地面的高度保持h=1.5m。运动开始时，重物在地面上B0处，绳子AC在铅直位置，滑轮离地面高度H=10m，其半径忽略不计，求(1)重物上升的运动方程；(2)t时刻重物的速度、加速度；(3)重物到达滑轮处所需时间。BCAB0DxHhv0tH－h＋x解：(1)设重物距地面地高度为x.t=0时刻AC=H－ht时刻AC=H－h＋xDC=AC=H－hAD=v0t(H－h＋x)2=(H－h)2+(v0t)2x=[(H－h)2+(v0t)2]1/2－(H－h)xBCAB0DxHhv0tH－h＋xx=[(H－h)2+(v0t)2]1/2－(H－h)5.85.822−+=tx(2)txdd=v322222)5.8(5.81dd+−+==ttttav(3)5.85.81022−+=ts)(4.16270==t225.8+=tt3222)5.8(5.8+=taBOO′xx′y′ySS′uK0rKΔr′ΔKPrKΔ0rrr1.1.41.1.4相对运动相对运动有两个相对平动参照系，t=0时，两原点重合。S′相对S平动，速度为GGGΔΔΔ+′=uGGG+′=vv伽利略速度变换ssspps′′+=vvvGGGtrtrtrtttΔΔ+Δ′Δ=ΔΔ→Δ→Δ→Δ0000limlimlimGGGuK一、相对速度(RelativeVelocity)0aaaGGG+′=ssspps′′+=vvvGGGa0=0aa′=GG二、相对加速度(RelativeAcceleration)BOO′xx′y′ySS′uK0rKΔr′ΔKPrKΔ几点说明：1.以上结论是在绝对时空观下得出的：只有假定“长度的测量不依赖于参考系”0rrrGGGΔ+′Δ=Δ只有假定“时间的测量不依赖于参考系”绝对时空观只在uc时才成立。uGGG+′=vv0aaaKGG+′=和才能给出位移关系式：（空间的绝对性），（时间的绝对性），才能进一步给出关系式：2.不可将速度的合成与分解和伽利略速度变速度的合成是在一个参考系中，总能成立；伽利略速度变换则应用于两个参考系之间，3.只适用于相对运动为平动的情形。aaa′+=GGG0换关系相混。只在uc时才成立。例：一人骑车向东而行，当速度为10m/s时感到有南风，速度增加到15m/s时，感到有东南风，求风的速度。解：xeastynorth10m/s南风人地风人风地vvvGGG+=风地vK45°jiKKG510+=风地v2.1151022=+=风地v(m/s)ϕ105tan=ϕϕ=27°15m/sOCD1.1.5匀加速运动MotionWithConstantAccelerationaG为常矢量),(00vGGr初始条件初始条件给定.taddvGG=taddGG=v∫∫=tta0dd0GGGGvvvtaGGG+=0vvtaxxx+=0vvtayyy+=0vv20021tatrrGGGG++=vtrddGG=v∫∫+=trrttar00d)(d0GGGGGvtaGGG+=0vv20021tatxxxx++=v20021tatyyyy++=v1.匀加速直线运动MotioninonedimensionwithConstantAccelerationGa0vG为常矢量，和在一条直线上只用一维描述20021attxx++=vtaddv=txxddddv=xddvv=vvdd=xa∫∫=vvvv00ddxxxa)()(210202xxa−=−vv)(20202xxa−=−vv00=x若ax2202=−vvat+=0vv2.抛体运动ProjectileMotion典型的匀加速运动，gaGG=ax=0ay=–g运动叠加和运动的独立性运动平面在内。θθsin,cos0000vvvv==yx初始条件x0=y0=0),(0gGGv0xyθvyvxXY(x,y)v0xv0y0vGvG20021tatrrGGGG++=v20021sincosgttytx−==θθvvgtyx−==θθsincos00vvvvθθ222cos2tan0vgxxy−=taGGG+=0vv轨道方程：——抛物线位矢：速度：OxyθvyvxXY(x,y)v0xv0y0vGvG1.1.71.1.7圆周运动