大学物理-力学中的动量

1.31.3动量动量MomentumMomentum§1冲量与动量定理1.冲量(Impulse)：力的时间积冲量=力×作用时间ΔtIK恒力)(12ttFI−=KKtFΔ=K单位：N·s变力∫=21dtttFIKKFG直角坐标系中∫=21dttxxtFIˆˆxyIIiIj=+∫=21dttyytFIG2.动量定理tpFddKK=ptFKKdd=微分形∫∫=2121ddppttptFGGKK12ppKK−=积分形12ppIKKK−=冲讨1)冲量是矢量，合外力冲量的方向与物体动量增量的方向一致。2pK1pKIK2)动量定理表明：物体动量的变化量与冲量相联系，物体动量之所以变化，是由于力的持续作用，即受到了力的冲量的结果。1221dPPtFIttKKKK−==∫因果xxttxxPPtFI1221d−==∫yyttyyPPtFI1221d−==∫3)直角系∫∫==2121ddttttptFIKKG12ppKK−=3.平均冲力AverageForcesFKtIFΔ=KK∫=21dtttFIKG一维:FFtOtitf定义：平均冲力例：一篮球质量0.58kg，从2.0m高度自由下落，到达地面后，以同样速率反弹，接触时间仅0.019s，求：篮球对地平均冲力解：篮球到达地面的速3.628.922=××==ghv（m/s）tmFFΔ=v2或（Nv忽略重)(vvmmp−−=Δvm2=y2108.3019.03.658.02×=××=jFˆ108.32×−=′K（N篮球对地平均冲F′K忽略重力是合理的么例：棒球重0.5kg，以72公里/小时的速度飞向击球手，击球手击球后，球以144公里/小时的速度与原方向成60°夹角飞出。如球与棒的接触时间为0.1秒，试估计棒球受到的平均冲力。解v1v2xtptIFΔΔ=Δ=KKKvKKΔ=Δmp)(12xxxmpvv−=Δ60)(12yyympvv−=Δ)60cos(12vv−°=m°=60sin2vm=0=17.32tpFΔΔ=KKjK1.032.17=jK2.173=(N)pKΔymmjpˆ32.17=ΔK(kg·m/s)例：一质量m=1.0×10-2kg的小球，从h1=0.256m的高处由静止下落到水平桌面上，反跳后的最大高度h2=0.196m。设小球与桌面的接触时间为τ，求：小球对桌面的冲量？若接触时间为(1)τ=0.01s，(2)τ=0.002s,试求小球对桌面平均冲力的大小。解mv1h1h2mgNmv2vKmΔ112gh=v222gh=vy(N–mg)τ=mv2–(–mv1)I=Nτ=mgτ+jghghmmgIˆ)]22([21++−=′τG小球和桌面碰撞时对桌面的冲量)22(21ghghm+设小球受到的平均冲力大小为Nτ=0.01sI=4.3×10－2τ=0.002sI=4.2×10－2小球自重（≈0.1N)可忽略.N=4.3(N)N=21.1(N)是小球重力的40多是小球重力的200多)22(21ghghmmgNI++==ττh1h2mgNy12(22)mghghNmgτ+=+解二：将动量定理应用于整个过h1h2mgNy设下落时间为t1,上升时间为t2,ght112=ght222=Nτ–mg(t1+τ+t2)=0I=Nτ=mg(t1+τ+t2))22(21ghghmg++=τ)22(21ghghmmg++=τ例：绳子跨过定滑轮，两端拴有质量为m和M的物体，Mm,M静止在地面，当m自由下落h后，绳子被拉紧，M刚好离开地面，求绳子刚拉紧时，m和M速度的值及M能上升的最大高度。Mmh解：（1）m自由下落h后速度gh20=vTmgmv0mvmΔpTMgMvMΔpm:tgmTmmpmΔ+=−=Δ)(0KKKKKvvytmgTmmmΔ−=+−)(0vvtgMTMpMΔ+==Δ)(M:KKKKv忽略重力，化简两tTmmmΔ=+−0vvtTMMΔ=vvm=vM=vTmgTMgyT–mg=m(–a)T–Mg=MagmMmMa+−−=0M匀减速运动0=v2＋2aHaH22v−=gmMmMmMghm)(2)(222−++=hmMm222−=aKaKghMmmMmm20+=+=vvtTmmmΔ=+−0vvtTMMΔ=vvm=vM=v（2）M能上升的最大高度一、内力与外力内力：系统内质点间的相互作用外力：系统外物体对系统内某质点的作用m1m21FG2FG12fK21fK2112ffKK−=二、质点系的牛顿第二定律tpfFdd1121KKK=+tpfFdd2212KKK=+)(dd2121pptFFKKKK+=+)(dd∑∑=iiptFKKtPFddGK=§2质点系的动量定理∑=iipPKG系统的动量。N个粒子组成的系统，外力，内力（即粒子之间的相互作用），则对第i粒子tpfFijiijiddGGG=+∑≠对所有粒子求和tptpfFNiiNiiNijiijNiidddd1111∑∑∑∑∑===≠===+GGGGFKfKFK=0PKtPFddKK=PtFIGGGΔ==∫d········ijipKiFKijfKjifK例：将一长为l、线密度为ρ的柔软绳子竖直悬起，令其一端着地。释放绳子，使之由静止自由下落。则绳子未落地的长度为y时,对地面的压力为多少？解：建坐标，地面为原点,整根绳子为研究对象0yly设它对地面的压力为N.tpglNdd=−ρtmd)(dv=tyd)(dvρ=)dddd(tytyvv+=ρ)(2yg−=vρ)(2ygglN−+=vρρygylgglNρρρ−−+=)(2)(3ylgN−=ρGN§3动量守恒定律(ConservationofMomentum)质点系所受合外力为零，总动量不随时间改变。常矢量==∑=NiipP1GG1.合外力为零，或外力与内力相比小很多2.合外力沿某一方向为零3.只适用于惯性系.4.比牛顿定律更普遍的最基本的定律.constpii=∑αPtFIGGGΔ==∫d例：水平光滑平面上有一小车，长度为l，质量为M。车上站一人，质量为m。人、车原来都静止。若人从车的一端走到另外一端，问人和车各移动了多少距离？解XxvKVK人与车在水平方向受外力为零，水平方向动量守恒VMmKK−=vvKKMmV−=VVKKKKK−=−=′vvv车地人地人对车vvvKKKMmMMm+=+=tltd0∫′=人对车vtMmMtd0∫+=vtxtd0∫=vlmMM+=lmMmxlX+=−=例：火箭在远离星球引力的星际空间加速飞行，因而不受任何外力的作用。设某一时刻火箭(包括箭体及携带的燃料)的质量为M，喷出的气体相对火箭的速率为u，且保持不变，求：火箭在任一时刻的速度。VMK,tVVmMGGd,d+−uKt+dtdm解初态动量xP0=MV箭地气箭气地VVV末态动量火箭P1=（M–dm）(V+dV)气体P2=dm(V+dV–u)KKK+=P0=P1+P2MV=（M–dm）(V+dV)+dm(V+dV–u)MV=MV–Vdm+MdV–dmdV+Vdm+dmdV–udmMdV=udmdm=–dMMdV=–udMMdV=–udMMMuVdd−=∫∫−=MMVVMMuV00d1d设t=0时，火箭速度为V0,质量为M0MMuVV00ln+=VMG,tVVmMGGd,d+−uKt+dtdmx计算火箭获得的推力tMuFdd−=′考虑dm火箭对它的推力tpFdd=tVuVVmd])d[(d−−+⋅=tmudd−=火箭获得的推力FF’MMuVV00ln+=多级火箭设整个火箭与第1级火箭燃料燃尽时的质量比为N1第1级火箭脱落后，火箭组与第2级火箭燃料燃尽时的质量比为N2···,且V0=0。11lnNuV=则1级火箭脱落时，火箭组的速率为第2级火箭脱落时，火箭组的速率为212lnNuVV+=21lnlnNuNu+=)ln(21NNu=第n级火箭脱落时，火箭组的速率为)ln(21nnNNNuV=(N11,N21,···Nn1)§§44质心质心(CenterofMass)(CenterofMass)对于N个粒子组成的系统，定义其质量中心mrmmrmrNiiiNiiNiii∑∑∑=====111cGGGmxmxNiii∑==1cmymyNiii∑==1cmzmzNiii∑==1c1.质心的定义xyzmiirKcrKO对于质量分布连续的系mmrr∫=dcGGmmxx∫=dcmmyy∫=dcmmzz∫=dcVmddρ=Smddσ=lmddλ=以下说法正确的是：A）质心是质点系中的一个特殊质点B）质心一定在质点系所占据的空间内C）质心是描述质点系运动时常用的特殊点D）对于一个质点系，其质心位置不变#mech007正确答案：C例：任意三角形的每个顶点有一质量m，求质心332121cxxmmxmxx+=+=3311cymmyy==xyo（x1，y1）x2例：求半径为R的半圆形铁丝的质心。(SemicircularHoop)Oxymmxx∫=dcmmyy∫=dc解dmmmxx∫=dclmddλ=lRmdπ=θmRR∫=π0dcosθθλ=0mmyy∫=dcmRR∫=π0dsinθθλmR22λ=RR=π2CθdπRRm=2.质心系0')(11c==−∑∑==NiiiNiiirmrrmGGGcrrriiGGG−=′01=′∑=NiiirmG01=′∑=NiiimvG质心系可能不是惯性系，但质心系特殊，动量守恒定律适用，而且，总动量为零。cvvvGGG−=′ii质心系中质点mi的速度（零动量参照系）质心在其中静止的平动参照系。y'x'xyzmiirKir′KCOO'crKz'3.质心运动定律∑==NiipP1GGtPFddGG=→camFGG=trmtrmddd)(dccGG==mrmrNiii∑==1cGG质点系的动量等于它的总质量与质心速度的乘trmtrmNiiiNiiidddd11∑∑====GGcvGGmp=例：一枚炮弹发射的初速度为v0,发射角为θ，在它飞行的最高点炸裂为质量均为m的两块。一部分炸裂后竖直下落，另一部分继续向前飞行。求这两部分的着地点。（忽略空气阻力）解gxθ2sin20cv=gx22sin201θv=212211cmmxmxmx++=221xx+=gx22sin3202θv=xyx1xCx2O例：水平光滑面上，质量为m1和m2，速度分别为v1和v2的两质点碰撞后合为一体。求碰撞后二者的共同速度。在质心系中观察，两者运动如何？m1m2C1vG2vG解212211cmmmm++==vvvvGGGGc11vvvGGG−=′)(21212vvGG−+=mmmc22vvvGGG−=′)(21211vvGG−+−=mmm02211=′+′vvGGmm2vG12−GGvv质心系中，观察到两个质点相向运动。