大学物理课件-振动2

§3简谐振动的动力学方程一、简谐振动的动力学定义与方程对于简谐振动xtx222ddω−=xmtxmF222ddω−==做简谐振动的物体所受合外力与它对原点（平衡位置）的位移成正比，方向相反。kxF−=kxtxm−=22dd0dd22=+xmktx)cos(ϕω+=tAxmk=2ω0dd222=+xtxω)cos(ϕω+=tAxmk=ω固有角频率kmTππ22==ω固有周期简谐振动的动力学定义：所受外力与对平衡位置的位移成正比且方向相反。运动方程：xtx222ddω−=二、简谐振动实例1.谐振子:2.弹簧振子做简谐振动的物体。简振系统：谐振子连同对它施加恢复力的物体组成的振动系统。xOx由质量可以忽略的弹簧和一个刚体所组成的系统。平衡位置kxF−=ma=22ddtxm=0dd22=+xmktxmk=2ω0dd222=+xtxω0dd222=+xtxωx=Acos(ωt+ϕ0)xOxv=–Aωsin(ωt+ϕ0)设：t=0时，x=x0,v=v0则x0=Acosϕ0v0=–Aωsinϕ0222020Ax=+ωv000tanxωϕv−=22020ωv+=xA)arctan(000xωϕv−=22020ωv+=xA)arctan(000xωϕv−=讨论：F角频率:mk=ωω由谐振系统本身决定，固有频率。弹簧的弹性系数k越大，角频率越大；物体的质量m越大，角频率越小。固有周期:kmTππ22==ωF振幅:22020ωv+=xAkmx2020v+=)2121(22020vmkxk+=kEA02=由初始机械能E0与k决定。F初相ϕ0:由初始条件及ω决定。初始机械能E03.单摆θmgTθftft=–mgsinθsinθ≈θθ5°取逆时针方向为角位移的正向.相对于平衡位置：θ右正，左负.ft=–mgθ=matθga−=ttaddtv=tlddθ=vθθgtl−=22dd0dd22=+θθlgt─简谐振动)cos(00ϕωθθ+=tlg=ωglTπ2=4.复摆（物理摆）mgθM=–mghsinθ≈–mghθ重力矩由刚体定轴转动定律M=–mghθ22ddtJJθβ==0dd22=+θθJmghtθ=θmaxcos(ωt+ϕ0)mghJTπ2=Jmgh=ω─简谐振动解法二：机械能守恒常数=′+−221cosωθJmgh0ddddsin=′′+tJtmghωωθθsinθ∼θ022=+tJmghddθθ022=+θθJmghtdd对时间求导得：mgθEp=0设t时刻棒与竖直线的夹角为θtddθω=′Jmgh=ωω'：角速度角频率─简谐振动例：边长l=0.25m，密度ρ=800kg/m3的木块浮在大水槽的表面上。将木块完全压入水中，然后放手。不计水的阻力，问木块将如何运动？木块运动方程如何？（水的密度ρ’=1000kg/m3)解：t=0xxabOC取水面上一点O为原点，建如图坐标系，设木块处于平衡位置时，C点位于水面处xCOx平衡时重力P＝浮力F，ρρ′=sbgslgρρ′=lb100080025.0×==0.20(m)a=l－b=0.25－0.20=0.05(m)ρρ′=bl平衡位置t=0xxabOCxCOxt时刻gxbsFρ′−=)(glsgxbsPFρρ−′−=−)(gxsPFρ′−=−22ddtxm=22ddtxslρ=022=′+xlgtxρρddρρ′=bl0dd22=+xbgtx─简谐振动平衡位置0dd22=+xbgtxbg=ωrad/s72.08.9==s9.0π2==ωTx=Acos(7t+ϕ0)初始条件:t=0,x0=–a=–0.05,v0=0.xOAA=0.05ϕ0=πx=0.05cos(7t+π)恢复力：重力和浮力的合力。准弹性力。t=0xxabOC§4简谐振动系统的能量一、动能Ekx=Acos(ωt+ϕ0)txdd=v=–Aωsin(ωt+ϕ0)2k21vmE=)(sin210222ϕωω+=tmA二、势能EpxOxkm221kxE=p)(cos21022ϕω+=tkAmk=ω2ωmk=)(cos210222ϕωω+=tmA三、系统的机械能EE=Ek+Ep)(sin210222ϕωω+=tmA)(cos210222ϕωω++tmA2221ωmA=221kA=2m21vmE=─势能最大值─动能最大值机械能守恒txTOtOpEkE2AE∝A2可做为谐振强度的标志。221kAxEPEK势能曲线经典粒子AxA+≤≤−微观粒子隧道效应结论:对于简谐振动系统,机械能守恒。四、平均动能与平均势能1.平均动能kE∫=TtETE01dkk∫+=TttmAT00222d)(sin211ϕωω∫+=TttkAT0022d)(sin211ϕωcxxxx+−=∫2sin4121dsin2)(d)(sin000222ϕωϕωω++=∫TttTkATTkAωω2122=241kA=241kAE=k2.平均势能pE∫=TtETE01dpp∫+=TttkAT0022d)(cos211ϕω241kA=∫=TtETE01dpp∫−=TtEET0kd)(1kEE−=224121kAkA−=241kA=tOpEkE221kA241kA结论：EEE21==pkF适用于其它简谐振动。F对于弹簧振子例：物体A，m=1kg放在倾角θ=30°的光滑斜面上，通过绳子跨过定滑轮与倔强系数k=49N/m的轻弹簧相联，如图。将物体由弹簧尚未形变的位置由静止释放并开始计时，试写出物体的振动方程。（忽略滑轮质量）解：Aθ1.以A为研究对象，分析受力.mgTNθ平衡位置0sinklTmg==θkmglθsin0=m1.0495.08.91=××=2.建坐标系AOxx平衡位置为坐标原点初始位置00lx−=l03.列方程AθmgTNθAOxxl022ddsintxmTmg=−θ220dd)(sintxmlxkmg=+−θ0sindd022=−++θmgklkxtxm00dd22=+xmktx749===mkωx=Acos(7t+ϕ0)x=Acos(7t+ϕ0)4.由初始条件00lx−=00=v22020ωv+=xA000tanxωϕv−=0l==0.1(m)=0π=0ϕx=0.1cos(7t+π)注意：F平衡位置与初始位置的区别.F弹簧伸长量与物体坐标值的区别.Fmk=ω与角度θ无关，与弹簧振子水平或竖直放置无关.若滑轮质量不可忽略不计。设滑轮质量为M，半径为r。AθmgT1NθAOxxl0T1T2A：221ddsintxmTmg=−θB：βJrTrT=−21221MrJ=ra=β)(02lxkT+=22220dddd21)(sintxmtxMlxkmg=−+−θ22dd1txr=22220dddd21)(sintxmtxMlxkmg=−+−θ0dd)21(22=++kxtxMm0)21(dd22=++xMmktxA仍做简谐振动7.51214921=+=+=mMkω初始条件不变00lx−=00=vx=0.1cos(5.7t+π)例：倔强系数为k的轻弹簧，下端挂质量为M的盘子。一质量为m的物体从离盘h的高度自由下落入盘中，与盘粘在一起运动。求:(1)运动周期。(2)取平衡位置为原点，位移向下为正，并以振动开始时做为计时零点，求振幅、初相及振动方程。h解：（1）周期mMk+=ωωπ2=TkmM+=π2（2）振幅mMm自由下落h高度的速度大小gh2=v与M碰撞后vv′+=)(mMm初速度vvv)(0mMm+=′=ghmMm2)(+=Mmt=0hOyλ1λ2y0空盘1λkMg=kMg=1λm落入后平衡位置2)(λkgmM=+kgmM)(2+=λ)(120λλ−−=ykMg=kgmM)(+−kmg−=22020ωv+=yA)/()/(2)(222MmkmMghmgkm+++−=gMmkhgkm)(21++=初相、振动方程y=Acos(ωt+ϕ0)000tanyωϕv−=)()()/(2gkmMmkmMghm−++−=gMmkh)(2+=gMmkhgkmy)(21++=))(2tan)(cos(1gMmkhtMmk+++−Example:Awheelisfreetorotateaboutitsfixedaxle,aspringisattachedtooneofitsspokesadistancerfromaxle.AssumingthatthewheelisahoopofmassmandradiusR,springconstantk.a)obtaintheangularfrequencyofsmalloscillationsofthissystem;b)findangularfrequencyforr=Randr=0.22total2121kxJE+′=ωSolution:(a)22mRkr=ωmkRr=0dddd=+′′txkxtJωωω′==rtxvddθrx≈22ddddttθω=′222d0dkrtJθθ+=2JmR=22ddtJkxrθ=−Forasmallangulardisplacement,θrx≈222d0dkrtJθθ+=Jkr2=ωNettorqueduetothespringstretchedanamountofxfromitsnormallengthτ=–kxr2mRJ=UsingNewton’ssecondlawforrotationalmotion,gives(b)Ifr=Rtheresultofpart(a)reducestomk=ωAndifr=0thenω=0(thespringexertsnorestoringtorqueonthewheelsothatitisnotbroughtbacktowardsitsequilibriumposition.)22mRkr=ωmkRr=小结运动学研究动力学研究谐振的能量特征谐振动的研究1.振动方程(解析法)2.振动曲线3.相量图法1.动力学方程(解析法)2.动力学判据4.A、ω、ϕ的确定孤立系统振子的1.动能及其平均值2.势能及其平均值3.机械能