大学物理-力学中的功和能2

§§33一对力的功一对力的功KKABEEWW−=+内外系统内力总是成对出现.2211dddrfrfWGGGG⋅+⋅=一对力所做的功，等于其中一个物体所受的力沿两物体相对移动的路径所做的功。A1A2B1B2OGr1Gr2Gr211fG2fG1drG212122d)(drfrrfGGGGG⋅=−⋅=212ddrfWGG⋅=一对力21ffGG−=2drG例:内力与相对位移总垂直，故内力所做的功总和为零。讨论：212ddrfW1.若力与相对位移垂直，则这一对力的功为零。GG⋅=一对力RMmA1A2B1B2OGr1Gr2Gr21Gf1Gf21drG2drG2.一对力所做的功与参考系的选择无关。§4保守力Conservativeforce例：计算一对万有引力的功。m1m2AB解：rKrKdrrmmGfˆ221−=K∫∫⋅−=⋅=BABAABrrrmmGrfWKKKdˆd221rdϕcosddˆrrrKK=⋅ϕrd=∫−=BAABrrmmGWd221ABrmGmrmGm2121−=rArB结论：一对万有引力的功与路径无关，只决定于质点始末的相对位置。m1m2沿闭合路径万有引力的功为零。0d)(=⋅=∫LrfWKK万有引力是保守力。定义1：若一对力的功与路径的形状无关，只决定于相互作用质点的始末位置，这样的力叫保守力。定义2：若，则这个力为保守力。0d)(=⋅∫LrfKK保守力：万有引力、重力、弹簧的弹力、静电力。非保守力：称为耗散力(dissipativeforce)，如摩擦力。§5势能PotentialEnergyABrmGmrmGmW2121−=定义：保守力的功等于系统势能的减少。WAB=EPA－EPB=－ΔEPF势能是研究一对保守力的功时引入的，它属于以保守力作用的整个系统，它实质上是相互作用能。F势能是个相对值，要确定质点系在任一给定位形的势能，需选择势能零点。例如：选EPB=0,则EPA=WAB系统在任一位形的势能等于它从此位形改变到EP=0时保守力的功。任两点间的势能差是确定的。F只有保守力才能定义势能。F势能是一个与质点在系统中位置有关的能量，可被看做动能的储备能。保守力做正功，势能减少;反之势能增加。1.万有引力势能：ABABrmGmrmGmW2121−==EPA－EPB以无限远处为势能的零点rmGmE21p−=引力势能曲线Epr0令EB=0，如果rB→∞。2.重力势能：以地面为重力势能零点。重力势能曲线Eph0EP=mghEP=mghmghU=rFUGGdd⋅−=)ˆdˆd(ˆ)(jyixjmg+⋅−−=ymgd=mgyUU+=0U0=0aty=0.∫∫=yUUymgU0dd0mgyU=重力势能的推导xyOmgmgrGd3.弹力势能：自然伸长为零点2P21kxE=EPx0弹力势能曲线2P21kxE=xxfsfExdddP⋅−=⋅−=GGxkxxkxdd)(=−−=∫∫==xxkxEE0PPddxO初态末态fx4.由势能求保守力abFGlGdθlFGGd⋅=lFdcosθ=lFld=lEFlddp−=保守力沿某一给定方向的分量等于此保守力相应的势能函数沿l方向空间变化率的负值。FllG–dEp=Wab例：万有引力势能)(dd21rmGmrFr−−=221rmGm−=例：弹簧的弹性势能2p21kxE=)21(dd2kxxFx−=kx−=引力势能曲线Epr0rmGmE21p−=),,(ppzyxEE=xEFx∂∂−=pyEFy∂∂−=pzEFz∂∂−=pkFjFiFFzyxˆˆˆ++=G)ˆˆˆ(pppkzEjyEixE∂∂+∂∂+∂∂−=pEF−∇=G三维直角坐标系中，rFEGGddp⋅−=)ddd(zFyFxFzyx++−=rEp0r0r12r0双原子分子势能曲线斜率0，f0，引力.lEFlddp−=EP2P21kxE=0xExample:Thepotentialenergyforaconservativeforceactingona2.00-kgparticleisshowninthefigure.Forwhatvaluesofxistheforce(a)zero;(b)directedleftward;(c)directedrightward;(d)whatvaluesofxareequilibriumpositions?iFFxˆ=G024－2－4U(J)Solution:246810x(m)x=4m(a)x=8m(b)0x4m8mx10m(c)4mx8m(d)x=4m,x=8m§6机械能守恒定律(ConservationofMechanicalEnergy)ABEEWWKK−=+内外将内力分为两部分ABEE−=++内保内非外BABAEEWPP−=→内保)()(PPKKBAABEEEEWW−−−=+内非外)()(PKPKAABBEEEEWW+−+=+内非外机械能PKEEE+=)()(PPKKBAABEEEEWW−−−=+内非外ABEEWW−=+内非外若W外+W内非为零，即只有保守内力做功，质点系机械能守恒。功能原理例：质量为m的小球，系在绳子一端，绳子的另一端固定在O点，绳子长为l,将小球以速率v0从A点沿水平方向抛出，使小球在竖直面内做圆周运动（不计空气阻力），求证：gl5)1(0≥vgl5)2(0=v设求：小球在θ=60°C点时，绳子的张力。mOABCθv0解：（1）机械能守恒BBAAmghmmghm+=+222121vvlhhAB2=−glB4202−=vvTBPlmmgTBB2v=+)5(20gllmTB−=v0≥BTgl50≥vmOABCθv0TBPTcPccAAmghmmghm+=+222121vv)cos1(θ+=−lhhAClmmgTCC2cosv=+θglA50==vvθ=60°mgTc23=例：某惯性系中有两个质点A、B，质量分别为m1、m2，它们之间只受万有引力作用。开始时两质点相距l0，质点A静止，质点B沿连线方向的初速度为v0。为使质点B维持速度v0不变，可对质点B沿连线方向施一变力F，试求：（1）两质点的最大间距，及间距为最大时的F值,（2）从开始时刻到间距最大的过程中，变力F作的功（相对惯性系）。0202lGmv（G为引力常数）l0FGv0m1m2AB解：以m2为S’系S’SfG0vGm1FGfGm2l0FGv0m1m2ABS’S解：（1）以m2为S’系fG0vGm1FGfGmax2102120121lmmGlmmGm−=−v机械能守恒020022max22llGmGmlv−=max221221lmmGrmmGF==2201220024)2(GmlmlGmv−=l0FGv0m1m2ABS（2）S系中当l=lmax时，m1的速度v=v0由动能定理，对（m1+m2）202202121)(21vvmmmWWfF−+=+一对∫⋅=max0dllfrfWGG一对fGvGm1rrmmGlldmax0221∫−=021max21lmmGlmmG−=202202121)(21vvmmmWWfF−+=+一对021max21lmmGlmmGWf−=一对202202121)(21vvmmmWF−+=021max21lmmGlmmG+−20121vm=021max21lmmGlmmG+−质点力学小结提纲一.质点力学线索框图（见下页）二.解题的基本方法与步骤1.用牛顿定律解题2.用功能、动量、角动量及守恒定律解题三.总结自己在哪些方面、哪些问题上较中学有所提高四.专题小结（例如角动量、质心…）要搞清各规律的内容、来源、适用对象、成立条件、对参考系的依赖关系。牛Ⅲ力系FG∫=tFIdGG时间积累∫⋅=rFWGGd空间积累转动效应FrMGGG×=质点牛ⅡvGGmP=PIGGΔ=牛ⅢPIGGΔ=外0=外FGCPGG=质点牛Ⅱ21k2Em=vkEWΔ=一对力0d)(=⋅∫LlfGG保系EWWΔ=+内外=1pE∫⋅)0()1(drfGG保pEWΔ−=保系CE=0d=外W0d=内WPrLGGG×=tLMddGG=质点牛Ⅲ系tLMddGG=外0=外MGCLGG=pkEEE+=内非外WW+EΔ=