大学物理-力学中的角动量

1.41.4角动量角动量AngularMomentumofaParticleprLGGG×=αsinrmLv=α方向：大小:惯性系中具有动量的质点对某一固定点的角动量为：pKpKrKOLK1.4.1质点的角动量右手螺旋法则。垂直于位矢和动量确定的平面。单位：kg⋅m2/syzxzpypL−=zxyxpzpL−=xyzypxpL−=直角坐标系中Oxy123αβγExampleParticles1,2,and3haveequalmassesandequalspeeds.TheangularmomentumwithrespecttotheoriginforthesethreemassesisA)thesameforeachparticle.B)greatestforparticle1.C)greatestforparticle2.D)greatestforparticle3.E)leastforparticle2.Ans:C例：一质点质量为1200kg，沿y=20m的直线以15m/s的速率在xOy平面内运动，方向沿x轴负向。求它对坐标系原点O的角动量。xyOϕvGrG20m解1：L=rmvsinϕ=ymvL=3.6×105kg·m2/skLˆ106.35×=G(kg·m2/s)解2：prLGGG×=)ˆ()ˆˆ(ijyixmv×+=kmyˆv−=kˆ)15(120020−××−=O例：一质点在xy平面内绕O点作逆时针圆周运动。已知圆的半径为r，质点的质量为m，角速度的大小为ω。求它对于圆心的角动量。vGrGxOy解：prLGGG×=kmrˆv=kmrˆ2ω=ωG2mr=例：一质量为m的质点在xOy平面内以角速度ω沿圆心位于O点、半径为r的圆周运动，方向如图所示。求：该质点相对于O点正下方O′点的角动量在z轴上的分量Lz。OvGrGr′GdGO′解：prLGGG×′=′vGGG×+=)(drmvvzGGGG×+×=dmrmrvkvˆˆmdrm−=rk2Gωωmdmr−=ˆω2mrLz=质点相对于z轴上的各个点的角动量不同质点相对于z轴上的各点的角动量沿z轴的分量相同L′G定义：力对于固定点O的力矩MG方向:右手定则FrMGGG×=大小:αsinrFM=Fd=d:力臂GrFGαOdFGMG单位:N·myzxzFyFM−=zxyxFzFM−=xyzyFxFM−=直角坐标系中tprptrtLddddddGGGGG×+×=tLMddGG=1.4.2角动量定律FrpGGGG×+×=vFrMGGG×=合力矩：prLGGG×=角动量定律FrGG×=1.质点的角动量定律2.2.质点系的质点系的角动量定理角动量定理∑≠+×=jiijiiifFrM)(GGGG内力矩∑∑≠×=ijiijifrM)(inGGKjijijifrfrGGGG×+×∑∑∑=×==iiiiiiiLtFrMM)(ddGGGGG········ijOipGirKjrKiFKijfKjifKijjifrrGGG×−=)(为零0in=MKtLMddKG=tLiddG=合外力矩)(ijjijifrfrGGGG−×+×=1.4.3角动量守恒定律(ConservationofAngularMomentum)0=M常矢量=LGαsinrmLv=是常量，得到了开普勒第二定律。行星受力方向与矢径在一条直线（中心力），故角动量守恒。tLMddGG=1dssin22drmtα=A:阴影面积合外力矩为零，质点系总角动量守恒。mαGLvGGrdsαsinddrtsm=d2dAmt=考虑行星做椭圆运动时，对于恒星O点的角动量ddAtO例：两个小球固定在长为a的轻质细杆两端，静止于光滑水平面内。杆可在水平面内绕过其中点的轴自由转动。一泥球以水平速度v0，垂直于杆的方向与一个小球碰撞，碰后二者粘在一起。设两小球和泥球的质量均为m，求碰撞后杆转动的角速度。Om1m2m3v’1v’2v’3ω解：相对于杆中点，小球+泥球+杆系统的合外力矩为零，系统的角动量守恒。323222111023vvvv′+′+′=rmrmrmrmω2321a=′=′=′vvvmmmm===213221arr==a320v=ω1r思考：系统的动量是否守恒？G2rGv0∑×=iiiprLGGGiirrr′+=GGGcccprLLKKKK×+=∑′=iiLG∑×=iiiirmvKKiivvv′+=KKKc∑′+×′+=iiiirrm)()(ccvvKKKKiiiiiiirmrmmrmrvvvv′×′+×′+′×+×=∑∑∑KKKKKKKKcccc)()(cLK零零pK质心系：z'y'x'xyzmiirKir′KCOO'crK0ddc=×PtrGKccprLLKKKK×+=d)(dddddcctprtLtLKKKK×+=ptrtprtLKKKKK×+×+ddddddccc=tprtLtLddddddccKKKK×+=MG=∑×=iiFrMKKKiiFrrKKK×+′=∑)(ctprFriiddcKKKK×+×′=∑cMK∑∑×+×′=iiiFrFrKKKKc质心系中：tLMddccKK=