高二数学数列练习题(含答案)

高二《数列》专题1．nS与na的关系：11(1)(1)nnnSnaSSn，已知nS求na，应分1n时1a；2n时，na=两步，最后考虑1a是否满足后面的na.2.等差等比数列等差数列等比数列定义1nnaad（2n）*1()nnaqnNa通项dnaan)1(1，(),()nmaanmdnm，中项如果,,aAb成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项．2abA。等差中项的设法：如果,,aGb成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．等比中项的设法：aq，a，aq前n项和)(21nnaanS，dnnnaSn2)1(1性质*(,,,,)mnpqaaaamnpqNmnpq若2mpq，则若qpnm，则2*2,,(,,,)mpqmpqaaapqnmN若则有nS、2nnSS、32nnSS为等差数列nS、2nnSS、32nnSS为等比数列函数看数列12221()()22nnadnadAnBddsnanAnBn111(1)11nnnnnnaaqAqqaasqAAqqqq判定方法（1）定义法：证明)(*1Nnaann为一个常数；（2）等差中项：证明*11(2Nnaaannn，)2n（3）通项公式:(,naknbkb为常数)(*Nn)（4）2nsAnBn(,AB为常数)(*nN)（1）定义法：证明)(*1Nnaann为一个常数（2）中项：证明21nnaa*1(,2)nanNn（3）通项公式：(,nnacqcq均是不为0常数）（4）nnsAqA(,Aq为常数，A0,q0,1）3.数列通项公式求法。（1）定义法（利用等差、等比数列的定义）；（2）累加法（3）累乘法（nnncaa1型）；(4)利用公式11(1)(1)nnnSnaSSn；(5)构造法（bkaann1型）(6)倒数法等4.数列求和（1）公式法；（2）分组求和法；（3）错位相减法；（4）裂项求和法；（5）倒序相加法。5.nS的最值问题：在等差数列na中,有关nS的最值问题——常用邻项变号法求解：(1)当0,01da时，满足001mmaa的项数m使得mS取最大值.(2)当0,01da时，满足001mmaa的项数m使得mS取最小值。也可以直接表示nS，利用二次函数配方求最值。在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。6.数列的实际应用现实生活中涉及到银行利率、企业股金、产品利润、人口增长、工作效率、图形面积、等实际问题，常考虑用数列的知识来解决.训练题一、选择题1.已知等差数列na的前三项依次为1a、1a、23a，则2011是这个数列的(B)A.第1006项B.第1007项C.第1008项D.第1009项2.在等比数列}{na中，485756aaaa，则10S等于（A）A．1023B．1024C．511D．5123．若{an}为等差数列，且a7－2a4＝－1，a3＝0，则公差d＝()A．－2B．－12C.12D．2由等差中项的定义结合已知条件可知2a4＝a5＋a3，∴2d＝a7－a5＝－1，即d＝－12.故选B.4.已知等差数列{an}的公差为正数，且a3·a7=－12,a4+a6=－4,则S20为(A)A.180B.－180C.90D.－905.（2010青岛市）已知na为等差数列,若951aaa,则28cos()aa的值为（A）A．21B．23C．21D．236．在等比数列{an}中，若a3a5a7a9a11＝243，则a29a11的值为()A．9B．1C．2D．3解析由等比数列性质可知a3a5a7a9a11＝a57＝243，所以得a7＝3，又a29a11＝a7a11a11＝a7，故选D.7．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＋a5＝12S5，且a9＝20，则S11＝()A．260B．220C．130D．110解析∵S5＝a1＋a52×5，又∵12S5＝a1＋a5，∴a1＋a5＝0.∴a3＝0，∴S11＝a1＋a112×11＝a3＋a92×11＝0＋202×11＝110，故选D.8各项均不为零的等差数列{an}中，若a2n－an－1－an＋1＝0(n∈N*，n≥2)，则S2009等于()A．0B．2C．2009D．4018解析各项均不为零的等差数列{an}，由于a2n－an－1－an＋1＝0(n∈N*，n≥2)，则a2n－2an＝0，an＝2，S2009＝4018，故选D.9．数列{an}是等比数列且an0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，那么a3＋a5的值等于()A．5B．10C．15D．20解析由于a2a4＝a23，a4a6＝a25，所以a2·a4＋2a3·a5＋a4·a6＝a23＋2a3a5＋a25＝(a3＋a5)2＝25.所以a3＋a5＝±5.又an0，所以a3＋a5＝5.所以选A.10.首项为1，公差不为0的等差数列{an}中，a3，a4，a6是一个等比数列的前三项，则这个等比数列的第四项是()A．8B．－8C．－6D．不确定答案B解析a24＝a3·a6⇒(1＋3d)2＝(1＋2d)·(1＋5d)⇒d(d＋1)＝0⇒d＝－1，∴a3＝－1，a4＝－2，∴q＝2.∴a6＝a4·q＝－4，第四项为a6·q＝－8.11.在△ABC中，tanA是以-4为第三项，4为第七项的等差数列的公差，tanB是以31为第三项，9为第六项的等比数列的公比，则这个三角形是(B)A.钝角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.非等腰的直角三角形12、（2009澄海）记等差数列na的前项和为ns，若103ss，且公差不为0，则当ns取最大值时，n（)CA．4或5B．5或6C．6或7D．7或813．在等差数列{an}中，前n项和为Sn，且S2011＝－2011，a1007＝3，则S2012的值为()A．1006B．－2012C．2012D．－1006答案C解析方法一设等差数列的首项为a1，公差为d，根据题意可得，S2011＝2011a1＋2011×2011－12d＝－2011，a1007＝a1＋1006d＝3，即a1＋1005d＝－1，a1＋1006d＝3，解得a1＝－4021，d＝4.所以，S2012＝2012a1＋2012×2012－12d＝2012×(－4021)＋2012×2011×2＝2012×(4022－4021)＝2012.方法二由S2011＝2011a1＋a20112＝2011a1006＝－2011，解得a1006＝－1，则S2012＝2012a1＋a20122＝2012a1006＋a10072＝2012×－1＋32＝2012.14．设函数f(x)满足f(n＋1)＝2fn＋n2(n∈N*)，且f(1)＝2，则f(20)＝(B)A．95B．97C．105D．192解析f(n＋1)＝f(n)＋n2，∴f20＝f19＋192，f19＝f18＋182，……f2＝f1＋12.累加，得f(20)＝f(1)＋(12＋22＋…＋192)＝f(1)＋19×204＝97.15.已知数列na的前n项和nS满足1)1log2nSn（，则通项公式为（B）A.)(2*NnannB.)2(2)1(3nnannC.)(2*1NnannD.以上都不正确16.一种细胞每3分钟分裂一次，一个分裂成两个，如果把一个这种细胞放入某个容器内，恰好一小时充满该容器，如果开始把2个这种细胞放入该容器内，则细胞充满该容器的时间为（D）A．15分钟B．30分钟C．45分钟D．57分钟二、填空题1、等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2=1,a3=3,则S4=8.2.（2008·广东理，2）记等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=21，S4=20，则S6=.483..（2010广州一模）．在等比数列na中，11a，公比2q，若64na，则n的值为．74.（2008·海南、宁夏理，4）设等比数列{an}的公比q=2,前n项和为Sn,则24aS=.2155.等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若SnTn＝2n3n＋1，则a100b100＝________.答案199299解析a100b100＝a1＋a1992b1＋b1992＝S199T199＝1992996、数列na的前n项和记为11,1,211nnnSaaSn则na的通项公式解：（Ⅰ）由121nnaS可得1212nnaSn，两式相减得112,32nnnnnaaaaan又21213aS∴213aa故na是首项为1，公比为3得等比数列∴13nna7．已知各项都为正数的等比数列{an}中，a2·a4＝4，a1＋a2＋a3＝14，则满足an·an＋1·an＋219的最大正整数n的值为________．答案4解析设等比数列{an}的公比为q，其中q0，依题意得a23＝a2·a4＝4.又a30，因此a3＝a1q2＝2，a1＋a2＝a1＋a1q＝12，由此解得q＝12，a1＝8，an＝8×(12)n－1＝24－n，an·an＋1·an＋2＝29－3n.由于2－3＝1819，因此要使29－3n19，只要9－3n≥－3，即n≤4，于是满足an·an＋1·an＋219的最大正整数n的值为4.8．等比数列{an}的首项为a1＝1，前n项和为Sn，若S10S5＝3132，则公比q等于________．答案－12解析因为S10S5＝3132，所以S10－S5S5＝31－3232＝－132，即q5＝(－12)5，所以q＝－12.三、解答题1（2010山东理数）（18）（本小题满分12分）已知等差数列na满足：37a，5726aa，na的前n项和为nS．（Ⅰ）求na及nS；（Ⅱ）令bn=211na(nN*)，求数列nb的前n项和nT．1【解析】（Ⅰ）设等差数列na的公差为d，因为37a，5726aa，所以有112721026adad，解得13,2ad，所以321)=2n+1nan（；nS=n(n-1)3n+22=2n+2n。（Ⅱ）由（Ⅰ）知2n+1na，所以bn=211na=21=2n+1)1（114n(n+1)=111(-)4nn+1，所以nT=111111(1-+++-)4223nn+1=11(1-)=4n+1n4(n+1)，即数列nb的前n项和nT=n4(n+1)。2．（全国新课标理17）已知等比数列{}na的各项均为正数，且212326231,9aaaaa．（I）求数列{}na的通项公式．（II）设31323logloglognnbaaa，求数列1{}nb的前n项和．2解：（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，由23269aaa得32349aa所以219q．由条件可知c0，故13q．由12231aa得12231aaq，所以113a．故数列{an}的通项式为an=13n．（Ⅱ）31323nloglog...lognbaaa(12...)(1)2nnn故12112()(1)1nbnnnn12111111112...2((1)()...())22311nnbbbnnn所以数列1{}nb的前n项和为21nn3.(本小题满分12分)已知{an}是各项均为正数的等比数列，且a1＋a2＝2(1a1＋1a2)，a3＋a4＋a5＝64(1a3＋1a4＋1a5)．(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝(an＋1an)2，求数列{bn}的前n项和Tn.解析(1)设{an}的公比为q，则an＝a