正弦定理(用).ppt

课标领航本章概述本章内容与已学过的关于三角形的定性研究的结论相联系，与平面几何中的三角知识以及三角函数的知识相联系，同时也体现了向量及其运算的应用．高考中以正、余弦定理为框架，以三角形为主要依托，来考查三角形的边角转化、三角形形状的判定、三角形内的三角函数求值及三角恒等式的证明、立体几何中的空间角及解析几何中有关角等问题．要特别关注利用正弦定理、余弦定理来解实际问题．因为本章知识在现实生活中有广泛的应用，通过本章的学习，能提高学生的数学建模能力.必修5第1章解三角形本章的中心内容是解三角形．主要包括正弦定理和余弦定理、应用举例与实习作业三部分内容，教材以直角三角形为例引出正弦定理，然后利用向量方法证明了正弦定理、余弦定理，余弦定理揭示了任意三角形边、角之间的客观规律，是解三角形的重要工具．本章学习要求是：(1)在已有知识的基础上，通过对任意三角形边角关系的探究，发现并掌握三角形中的边长与角之间的数量关系,并可以运用它们解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．(2)掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．(3)从处理解三角形的实际应用问题中，获得综合运用解三角形的知识和方法，解决实际问题的经验，发展创新意识.在学习本章内容时，要注意以下几个方面：1.重视数学思想方法的运用．解三角形作为几何度量问题,要突出几何背景，注意数形结合思想的运用，具体解题时,要注意函数与方程思想的运用．2.加强新旧知识的联系．本章知识与初中学习的三角形的边、角关系有密切联系．同时，要注意与三角函数、平面向量等知识的联系，将新知识融入已有的知识体系，从而提高综合运用知识的能力．学法指导3.提高数学建模能力．利用解三角形解决相关的实际问题，关键是读懂题意，找出量与量之间的关系，根据题意作出示意图，将实际问题抽象成解三角形模型．4.通过本章学习，使学生掌握正弦定理、余弦定理，并能够运用正弦定理和余弦定理等知识解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.正弦定理及应用问题1：如图，江阴长江大桥全长2200m，在北桥墩处A测得火车北渡口C与南桥墩B的张角为75o，在火车北渡口C处测得大桥南北桥墩的张角为45o，试求BC的距离。北桥墩AB南桥墩C火车北渡口750450创设情景ABC750450问题2：△ABC中，根据刚才的求法写出A、C、a、c的关系式。并由此猜想与B、b的关系式再给予证明。探究1:上述关系式对钝角三角形、直角三角形是否适用？ABCDsinsinacACsinbBabcsinA=sinB=sinC=。cacb直角三角形:已知一锐角和一边，求其余元素。1Aasin所以c=Bbsinc=Ccsinc=CBAcabCcBbAa：sinsinsin结论猜想：对钝三角形此结论是否成立？探索研究正弦定理及应用sinsinsinabcABC　正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即还有别的证法？abcOBCAD方法二：设三角形ABC的外接圆圆心为O，则如图所示，∠Ａ＝∠ＤRCDDaAa2sinsin=2R同理:BbsinCcsin=2RRCcBbAa2sinsinsin即:连CO交圆与D，连BD.二、正弦定理的证明正弦定理及应用RCcBbAa2sinsinsin　正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即还有别的证法？方法三：用向量知识证明正弦定理向量的数量积的定义cos||||baba中两向量的夹角是余弦关系而非正弦关系，这两者之间能否转化呢？可用由诱导公式：sinθ=cos(90θ)转化。这一转化产生了新角90θ，为了方便证明，就需要添加垂直于三角形一边的单位向量j。jACB这时j与垂直，j与的夹角为90A，j与的夹角为90C，这就为构造j与的数量积打下了基础.(图中的三角形为锐角三角形)CB、AB、ACCBABAC1、在锐角三角形中证明正弦定理ABCBAC则有j与的夹角为，j与的夹角为.由向量的加法可知：A90CBC90AB怎样建立三角形中边和角间的关系？ABjCBACj)()90cos()90cos(90cosAABjCCBjACj　　AcCasinsin　即CcAasinsin同理，过C作单位向量j垂直于，可得CBCcBbsinsinCcBbAasinsinsin　　在锐角中，过A作单位向量j垂直于，jACBACABCbac2、在钝角三角形中证明正弦定理ABCBAC则有j与的夹角为，j与的夹角为.又向量的加法可知：90ACBC90AB同样可证得：CcBbAasinsinsin　在钝角中，不妨设A为钝角，过A作单位向量j垂直于，ACABCjACBacbABjCBACj)()90cos()90cos(90cosAABjCCBjACj　　AcCasinsin　即CcAasinsin同理，过C作单位向量j垂直于，可得CBCcBbsinsin分析：∵BACDabcaABCahS21而BCADhasin∴BacSABCsin21方法四：用等面积法证明正弦定理又CbBcsinsinAcCasinsin∴BacAbcCabSABCsin21sin21sin21小结：正弦定理及应用RCcBbAa2sinsinsin　正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即其中R为三角形外接圆的半径在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即为外接圆半径RRCcBbAa2sinsinsin变式:AaCcCcBbBbAasinsin;sinsin;sinsin1cbaCBA::sin:sin:sin21114)sinsinsin222ABCSabCbcAacB32sin,2sin,c2sinaRAbRBRC）小结：正弦定理及应用RCcBbAa2sinsinsin　正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即正弦定理可以解什么类型的三角形问题？2、已知两边和其中一边的对角，可以求出三角形的其他的边和角。其中R为三角形外接圆的半径1、已知两角和任意一边，可以求出其他两边和一角。三、正弦定理的应用例题讲解例1在中，已知，求b（保留两个有效数字）.ABC30,45,10CAc解：∵且CcBbsinsin105)(180CAB1930sin105sin10sinsinCBcb　例⒉在△ABC中，已知a＝2，b＝，A＝45°，求B和c。22变式1：在△ABC中，已知a＝4，b＝，A＝45°，求B和c。22变式2：在△ABC中，已知a＝，b＝，A＝45°，求B和c。2221变式3、在△ABC中，已知a＝20，b＝28，A＝40°，求B（精确到1°）和c（保留两个有效数字）。变式3：在△ABC中，已知a＝20，b＝28，A＝40°，求B（精确到1°）和c（保留两个有效数字）。解：∵,8999.02040sin28aAsinbBsin∴B1＝64°，B2＝116°，当B1＝64°时，C1＝180°－（B1＋A）＝180°－（64°＋40°）＝76°∴.3040sin76sin20AsinCsinac11当B2＝116°时，C2＝180°－（B2＋A）＝180°－（116°＋40°）＝24°.1340sin24sin20AsinCsinac22∴变式:4、在△ABC中，已知a=28，b=20，A=120º，求B（精确到1º）和（保留两个有效数字）。baCBA120º•深化探究：已知两边和其中一边的对角解三角形，有两解、一解或无解的情形，怎样判断解的个数？判断满足下列的三角形的个数:(1)b=11,a=20,B=30o(2)c=54,b=39,C=120o(3)b=26,c=15,C=30o(4)a=2,b=6,A=30o两解一解两解无解三角形面积公式s=AbcBacCabsin21sin21sin21三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦的积的一半。。和面积求中，、已知在例ScCBaABC,30,45),13(2300AbBaDAbBaCBbAaBBbAaAABCcoscossinsincoscossinsin(),例4、、、、一定成立的是中、在三角形的值。求中、在任一三角形)sin(sin)sin(sin)sin(sin,例5BAcACbCBaABC四、练习练习：ABC1、在中，若，则是()A．等腰三角形B．等腰直角三角形C．直角三角形D．等边三有形2cos2cos2cosCcBbAaABCD五、小结1、正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即RCcBbAa2sinsinsin　2、正弦定理能解什么类型的三角形问题。课后反思正弦定理的推导整整一节课，练习基本题型，判断解的个数是难点。每种推导方法的切入有些生硬，学生想不到，如何更好的铺垫台阶?其实正弦定理、余弦定理就是研究边角之间的关系，让学生自己探究有哪些情况可以解三角形，如何解？推导公式，公式的作用，公式的应用5.9正弦定理、余弦定理回忆一下直角三角形的边角关系?ABCcba222cbaAcasinBcbsinAbatan90BA两等式间有联系吗？cBbAasinsin1sinCCcBbAasinsinsin这就是我们今天要学习的正弦定理，事实上定理对任意三角形均成立．下面我们来证明正弦定理对任意三角形均成立。一、复习与引入（1）A为锐角AbaBCAB2baB1CabsinAabAbaBCa≥bbsinAa=(一解）(两解）(一解）（2）A为直角或钝角ab(一解）baABCbaCBAab(一解）