第三版实变函数论课后答案

1.证明：BAAB的充要条件是AB.证明：若BAAB，则ABAAB，故AB成立.反之，若AB，则BAABABB，又xB，若xA，则xBAA，若xA，则xBABAA.总有xBAA.故BBAA，从而有BAAB。证毕2.证明cABAB.证明：xAB，从而,xAxB，故,cxAxB，从而xAB，所以cABAB.另一方面，cxAB，必有,cxAxB，故,xAxB，从而xAB，所以cABAB.综合上两个包含式得cABAB.证毕3.证明定理4中的（3）（4），定理6（DeMorgan公式）中的第二式和定理9.证明：定理4中的（3）：若AB（），则AB.证：若xA，则对任意的，有xA，所以AB（）成立知xAB，故xB，这说明AB.定理4中的（4）：()()()ABAB.证：若()xAB，则有'，使''()()()xABAB.反过来，若()()xAB则xA或者xB.不妨设xA，则有'使'''()xAABAB.故()()()ABAB.综上所述有()()()ABAB.定理6中第二式()ccAA.证：()cxA，则xA，故存在'，'xA所以'ccxAA从而有()ccAA.反过来，若cxA，则'使'cxA，故'xA，xA，从而()cxA()ccAA.证毕定理9：若集合序列12,,,,nAAA单调上升，即1nnAA（相应地1nnAA）对一切n都成立，则1limnnnA（相应地）1limnnnA.证明：若1nnAA对nN成立，则imimAA.故从定理8知11liminfnimnmimmAAA另一方面,mn，令miimSA，从1mmAA对mN成立知11111()()mimimiimimimimimSAAAAAAS.故定理8表明1111limsupliminfnimmnnnmimmmAASSAA故1limlimsupliminfnnnmnnnmAAAA.4.证明ABBABB的充要条件是B.证：充分性若B，则ABBAAAAA必要性若ABBABB，而B则存在xB.所以xABBABB即所以,xABxB这与xB矛盾，所以xB.4.设1,2,3,4,1,2,3,4SA,求FA.又如果1;1,2,3,,Snn01;An为奇数,1111,,,,321Ai,问01,FAFA是什么.解:若1,2,3,4,1,2,3,4SA,则,1,2,3,4,1,2,3,4FA.若011111;1,2,3,,;1,,,,3521SnAnni为奇数,则从1111111,,,,,,,3521242cii,易知111111,,1,,,,,,,,3521242FASii.1111,,,,321Ai.令11;1,2,,;1,2,212BiCiii.1,FASAKABKCKA为的子集，或.证明:因为111,,,,,321ABi的任何子集1FA.所以有1BFA,而cBC,故1CFA,又1FA.任取B的一子集A,1AAFA,且1ACFA.显SA,故只用证A的确是一个域.(1),ccSSA,且B的子集A,若K,则,cKAAAC(BA是B的子集,故ccAACFA)又B的子集A,ccccACACAB.显然是B的子集,所以ccACABA.又若nA为B的子集1,2,3,,nnKC或.则111nnnnnnnAKAKAK.这里1nnAAB是B的子集.1nnKKC或.所以1nnnAKA.若nA中除B的子集外,还有S,则1nnnAKSA.若nA中有,不影响1nnAB.故A是域,且1FAA.证毕.6.对于S的子集A，定义A的示性函数为10AxAxxA证明：（1）liminfliminfnnAAxx（2）limsuplimsupnnAAxx证明：xS，若liminfnAxx则liminf1nAx。且只有有限个n，使得nxA所以00n使得0nn时nxA从而有1nAx故liminfliminf1nnAAxx若liminfnAxx，则liminf0nAx且有无限个.1,2,3,4knNk故lim0kAkx所以liminfliminf0nnAAxx.故（1）成立.（2）的证明：xS，若limsupnAxx则liminf1nAx.且有无穷个.1,2,3,4knNk使得knxA，1nkA所以lim1kAkx注意到01kAx所以limsuplimsup1nnAAxx.若limsupnAxx，则limsup0nAx且只有有限个n使得nxA所以00n使得0nn时nxA，0nAx所以limsuplimsup0nnAAxx.所以（2）也成立.也可以这样证（2）：注意nAR1cAAxx.limsuplimsupliminfliminf11liminf1limsuplimsup1limsupccnncccnncncncnnAAAAAAAAxxxxxxxx.7.设f(x)是定义于E上的实函数，a为一常数，证明（1）11;;nExfxaExfxan（2）11;;nExfxaExfxan.证明：（1）0;xExfxa我们有0fxa，故存在nN使01fxan（因为01,nfxan使）所以011;nxExfxan.从而有11;;nExfxaExfxan；反过来：若011;nxExfxan，则0000111,,;1;;nnnfxaanxExfxaExfxaExfxan使所以（1）成立.下证（2）0;xExfxa我们有000111;1;nfxaanNnxExfxanNnxExfxan所以故从而有11;;nExfxaExfxan反过来，若011;nxExfxan8.若实函数序列nfx在E上收敛于fx，则对于任意常数a都有1111;liminf;liminf;kkExfxaExfxaExfxakk证明：先证第一个等式由定理8知111111liminf;;11liminf;;nimimnikkmimExfxaExfxakkExfxaExfxakk所以0;xExfxa我们有01fxaak对kN成立。又条件,limnnxEfxfx，有00limnnfxfx故对kN，mmk，使得im时，，这表明011111;1;;ikmimikmimxExfxakExfxaExfxak所以.反过来0111;ikmimxExfxak，我们知对kN，mmk，使得im时，01ifxak.令i，得01fxak再令k，得0fxa，所以0;xExfxa，从而故（1）成立。下证第二个等式，一样有11111liminf;;nikkmimExfxaExfxakk，0;xExfxa我们有0fxa故对kN，mmk，im时，0000111iifxfxfxfxakkk,即.011111;1;;ikmimikmimxExfxakExfxaExfxak因为所以.反过来0111;ikmimxExfxak，我们知对kN，mmk，使得im时，01ifxak，令i，，利用条件00limiifxfx，有01fxak，再令k，得0fxa，所以0;xExfxa，所以111;;ikmimExfxaExfxak故（2）得证。注意：实际上有：对E撒谎能够任何实函数列nfx有111;lim;ninkmimxfxfxExfxfxk.习题二（p18）1.用解析式给出1,1和,之间的一个11对应。解：1,1x，令tan2xx，则,x，且'22012xx，故严格单调于1,1，1limx，所以tan2xx为1,1和,之间的一个11对应。2.证明只需ab就有,~0,1ab。证明：,xab，令xaxxb，则0,1x，且显然为11对应。2.证明平面上的任何不带圆周的圆上的点所作成的点集是和整个平面上的点所作成对等的，进而证明平面上的任何非空的开集（开集的定义见数学分析或本书第二章）中的点所作成的点集和整个平面上的点所作成的点集对等。证明：平面上一个开圆第三j节习题1.证明平面上坐标为有理数的点构成一可数集合。证明：将全体有理数排成一列12,nrrr，则平面上的有理点1,;,jjQQrsrQsQA，其中,;1,2,jijArrin为可列集，故作为可数个jA的并1jjQQA为可数集。（