【走向高考】2016高考数学二轮复习 第一部分 微专题强化练 专题24 填空题解题技能训练(含解析)

【走向高考】（全国通用）2016高考数学二轮复习第一部分微专题强化练专题24填空题解题技能训练（含解析）一、填空题1．(文)(2014·石家庄市质检)如下图所示，某几何体的正视图是平行四边形，侧视图和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为________．[答案]93[解析]由三视图可知，该几何体是斜四棱柱，四棱柱底面是矩形，长3，宽3，四棱柱的高h＝22－12＝3，∴体积V＝3×3×3＝93.(理)(2015·商丘市二模)已知△ABC的三个顶点在以O为球心的球面上，且∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，球心O到平面ABC的距离为1，则球O的表面积为________．[答案]12π[解析]由已知得：BC＝22，球O的半径R＝22＋1＝3，故其表面积S＝4πR2＝4π·(3)2＝12π.[方法点拨]直接法对于计算型试题，多通过直接计算得出结果、解题时，直接从题设条件出发，利用有关性质和结论等，通过巧妙变形，简化计算过程，灵活运用有关运算规律和技巧合理转化、简捷灵活的求解．用直接法求解填空题，要根据题目的要求灵活处理，多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化从而得到结果．2．(文)(2015·新课标Ⅰ理，14)一个圆经过椭圆x216＋y24＝1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．[答案](x－32)2＋y2＝254[解析]考查椭圆的几何性质；圆的标准方程．∵圆心在x轴的正半轴上，故设圆心为(a,0)，a0，则半径为4－a，∵此圆过椭圆的三个顶点A(0,2)，B(0，－2)，C(4,0)，∴(4－a)2＝a2＋22，解得a＝32或a＝－32(舍去)，故圆的方程为(x－32)2＋y2＝254.(理)(2014·中原名校联考)已知椭圆x24＋y23＝1，A、C分别是椭圆的上、下顶点，B是左顶点，F为左焦点，直线AB与FC相交于点D，则∠BDF的余弦值是________．[答案]714[解析]由条件知A(0，3)，B(－2,0)，C(0，－3)，F(－1,0)，直线AB：3x－2y＋23＝0，CF：3x＋y＋3＝0，∴D(－43，33)，DB→＝(－23，－33)，DF→＝(13，－33)，cos∠BDF＝DB→·DF→|DB→|·|DF→|＝714.3．(文)设0a1a2,0b1b2，且a1＋a2＝b1＋b2＝1，则下列代数式中值最大的是________(填序号)．①a1b1＋a2b2②a1a2＋b1b2③a1b2＋a2b1④12[答案]①[解析]取a1＝13，b1＝14，则a1b1＋a2b2＝112＋12＝71212，a1a2＋b1b2＝5914412，a1b2＋a2b1＝51212，故最大的是a1b1＋a2b2.(理)已知函数y＝f(x)，对任意的两个不相等的实数x1，x2，都有f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)成立，且f(0)≠0，则f(－2014)·f(－2013)·…·f(2013)·f(2014)的值是________．[答案]1[解析]f(x)为抽象函数，只知满足条件f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)，且f(0)≠0，故可取满足此条件的特殊函数来求解．令f(x)＝2x，则对任意的两个不相等的实数x1，x2，都有f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)成立，f(0)＝20＝1，f(－2014)·f(2014)＝f(0)＝1，f(－2013)·f(2013)＝f(0)＝1，…，所以f(－2014)·f(－2013)·…·f(2013)·f(2014)＝1.[方法点拨]特殊值法当填空题的已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以从题中变化的不定量中选取符合条件的某个特殊值(特殊函数、特殊角、特殊数列、特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等)进行处理，从而得出探求的结论．求值或比较大小等问题的求解均可利用特殊值法，但此种方法仅限于求解结论只有一种的填空题，对于开放性的问题或者有多种答案的填空题，则不能使用该种方法求解．试一试解答下题：如图，在△ABC中，点M是BC的中点，过点M的直线与直线AB、AC分别交于不同的两点P、Q，若AP→＝λAB→，AQ→＝μAC→，则1λ＋1μ＝________.[答案]2[解析]由题意可知，1λ＋1μ的值与点P、Q的位置无关，而当直线BC与直线PQ重合时，有λ＝μ＝1，所以1λ＋1μ＝2.4．△ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高相交于点H，若OH→＝m(OA→＋OB→＋OC→)，则实数m＝________.[答案]1[解析]如图在Rt△ABC中，外接圆圆心O为斜边AB的中点，垂心H即为C点，由已知OH→＝m(OA→＋OB→＋OC→)＝mOC→，则m＝1.5．(文)(2014·大纲理，15)直线l1和l2是圆x2＋y2＝2的两条切线，若l1与l2的交点为(1,3)，则l1与l2的夹角的正切值等于________．[答案]43[解析]设l1、l2与⊙O分别相切于B、C，则∠OAB＝∠OAC，|OA|＝10，圆半径为2，∴|AB|＝OA2－OB2＝22，∴tan∠OAB＝OBAB＝12，∴所夹角的正切值tan∠CAB＝2tan∠OAB1－tan2∠OAB＝2×121－14＝43.(理)(2014·辽宁理，15)已知椭圆C：x29＋y24＝1，点M与C的焦点不重合．若M关于C的焦点的对称点分别为A、B，线段MN的中点在C上，则|AN|＋|BN|＝________.[答案]12[解析]如图．设MN与椭圆的交点为D，由中位线定理．|AN|＋|BN|＝2(|DF1|＋|DF2|)由椭圆的定义知|DF1|＋|DF2|＝2a＝6.∴|AN|＋|BN|＝12.[方法点拨]数形结合法对于一些含有几何背景的填空题，若能根据题目中的条件，作出符合题意的图形，并通过对图形的直观分析、判断，即可快速得出正确结果．这类问题的几何意义一般较为明显，如一次函数的斜率和截距、向量的夹角、解析几何中两点间距离等，求解的关键是明确几何含义，准确规范地作出相应的图形．1．数形结合法适用于给出图形的问题，或容易作出图象的函数问题，或表达式具有明显几何意义的解析几何问题等．2．应用时要注意：①作图要尽量准确；②抓准图形与变量间的对应关系．请练习下题：向量OB→＝(1,0)，OA→＝(3＋cosθ，1＋sinθ)，则OA→与OB→夹角的取值范围是________．[答案][0，π3][解析]依题意在坐标系中B(1,0)、A(3＋cosθ，1＋sinθ)，点A在圆(x－3)2＋(y－1)2＝1的圆周上运动，如图，当A点为切点M时，OA→与OB→的夹角取最大值，容易求得为π3；当A点为切点N时，夹角取最小值0，故取值范围是[0，π3]．6．不等式4－x2－kx＋1≤0的解集非空，则k的取值范围为________．[答案](－∞，－12]∪[12，＋∞)[解析]由4－x2－kx＋1≤0，得4－x2≤kx－1，设f(x)＝4－x2，g(x)＝kx－1，显然函数f(x)和g(x)的定义域都为[－2,2]．令y＝4－x2，两边平方得x2＋y2＝4，故函数f(x)的图象是以原点O为圆心，2为半径的圆在x轴上及其上方的部分．而函数g(x)的图象是直线l：y＝kx－1在[－2,2]内的部分，该直线过点C(0，－1)，斜率为k.如图，作出函数f(x)，g(x)的图象，不等式的解集非空，即直线l和半圆有公共点，可知k的几何意义就是半圆上的点与点C(0，－1)连线的斜率．由图可知A(－2,0)，B(2,0)，故kAC＝0－－－2－0＝－12，kBC＝0－－2－0＝12.要使直线和半圆有公共点，则k≥12或k≤－12.所以k的取值范围为(－∞，－12]∪[12，＋∞)．7．(2015·商丘市二模)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ac＝b2－a2，A＝π6，则B＝________.[答案]π3[解析]由余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc＝c2＋ac2bc＝a＋c2b＝32，∴a＋c＝3b，由正弦定理得：sinA＋sinC＝3sinB，又C＝5π6－B，∴sinA＋sin5π6－B＝3sinB，即12＋12cosB＋32sinB＝3sinB，即12cosB－32sinB＝cosB＋π3＝－12，∴B＋π3＝2π3，B＝π3.8．a＝ln12012－12012，b＝ln12013－12013，c＝ln12014－12014，则a、b、c的大小关系为________．[答案]abc[解析]令f(x)＝lnx－x，则f′(x)＝1x－1＝1－xx.当0x1时，f′(x)0，即函数f(x)在(0,1)上是增函数．∵11201212013120140，∴abc.[方法点拨]构造法用构造法解填空题的关键是由条件和结论的特殊性构造出数学模型，从而简化推导与运算过程．构造法是建立在观察分析、联想类比的基础之上的．首先应观察已知条件形式上的特点，然后联想、类比已学过的知识及各种数学结论、数学模型，深刻地了解问题及问题的几何背景或代数背景，从而构造几何、函数、向量等具体的数学模型，达到快速解题的目的．构造法实质上是化归与转化思想在解题中的应用，需要根据已知条件和所要解决的问题确定构造的方向，通过构造新的模型，从而转化为自己熟悉的问题．常见的构造法有：构造函数(如用导数研究函数的性质中经常要构造函数)、构造方程、构造不等式、构造数列、立体几何中的补形构造等等．试一试解答下题：如图，已知球O的球面上有四点A、B、C、D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝2，则球O的体积等于________．[答案]6π[解析]如图，以DA、AB、BC为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O的半径为R，则正方体的体对角线长即为球O的直径，所以|CD|＝22＋22＋22＝2R，所以R＝62，故球O的体积V＝4πR33＝6π.9．(文)设(x－3)2＋(y－3)2＝6，则yx的最大值为________．[答案]3＋22[解析]设yx＝k，则可转化为直线kx－y＝0与圆(x－3)2＋(y－3)2＝6有公共点时k的取值范围，用代数法(Δ≥0)或几何法(d≤r)解决．(理)已知P(x，y)是椭圆x216＋y29＝1上的一个动点，则x＋y的最大值是________．[答案]5[解析]令x＋y＝t，则问题转化为直线x＋y＝t与椭圆有公共点时，t的取值范围问题．由x216＋y29＝1y＝－x＋t消去y得，25x2－32tx＋16t2－144＝0，∴Δ＝(－32t)2－100(16t2－144)＝－576t2＋14400≥0，∴－5≤t≤5，∴x＋y的最大值为5.10．(文)已知a、b是正实数，且满足ab＝a＋b＋3，则a＋b的取值范围是________．[答案][6，＋∞)[解析]∵a、b是正实数且ab＝a＋b＋3，故a、b可视为一元二次方程x2－mx＋m＋3＝0的两个根，其中a＋b＝m，ab＝m＋3，要使方程有两个正根，应有Δ＝m2－4m－12≥0，m0，m＋30.解得m≥6，即a＋b≥6，故a＋b的取值范围是[6，＋∞)．[点评]还可以利用基本不等式将ab≤a＋b22代入条件式中，视a＋b为变量构造一元二次不等式解答．(理)已知x0，比较x与ln(1＋x)的大小，结果为________．[答案]xln(1＋x)[解析]解法一：令x＝1，则有1ln2，∴xln(1＋x)．解法二：令f(x)＝x－ln(x＋1)．∵x0，f′(x)＝1－11＋x＝x1＋x0，又因为函数f(x)在x＝0处连续，∴f(x)在[0，＋∞)上是增函数．从而当x0时，f(x)＝x－ln(1＋x)f(0)＝0.∴xln(1＋x)．解法三：在同一坐标系中画出函数y＝x与y＝ln(1＋x)的图象，可见x0时，xln(1＋x)．11．在三棱锥O－ABC中，三条棱OA、O