新课标版数学（理）高三总复习：题组层级快练65

题组层级快练(六十五)1．直线l过点(2，0)且与双曲线x2－y2＝2仅有一个公共点，这样的直线有()A．1条B．2条C．3条D．4条答案C解析该点为双曲线的顶点，与双曲线相切的直线有一条，与渐近线平行的直线有两条，共3条．2．若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两点，则k的取值范围是()A．(－153，153)B．(0，153)C．(－153，0)D．(－153，－1)答案D3．已知F1，F2是双曲线x22－y2＝1的左、右焦点，P，Q为右支上的两点，直线PQ过F2且倾斜角为α，则|PF1|＋|QF1|－|PQ|的值为()A．8B．22C．42D．随α的大小而变化答案C解析由双曲线定义知：|PF1|＋|QF1|－|PQ|＝|PF1|＋|QF1|－(|PF2|＋|QF2|)＝(|PF1|－|PF2|)＋(|QF1|－|QF2|)＝4a＝42.4．已知A，B，P是双曲线x2a2－y2b2＝1上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积kPA·kPB＝23，则该双曲线的离心率为()A.22B.62C.2D.153答案D解析设A(x1，y1)，P(x2，y2)，根据对称性，B(－x1，－y1)，因为A，P在双曲线上，所以x21a2－y21b2＝1，x22a2－y22b2＝1.两式相减，得kPA·kPB＝b2a2＝23.所以e2＝a2＋b2a2＝53.故e＝153.5．(2015·四川绵阳第二次诊断考试)圆C的圆心在y轴正半轴上，且与x轴相切，被双曲线x2－y23＝1的渐近线截得的弦长为3，则圆C的方程为()A．x2＋(y－1)2＝1B．x2＋(y－3)2＝3C．x2＋(y－32)2＝34D．x2＋(y－2)2＝4答案A解析设圆心(0，b)，(b0)，半径为b，双曲线渐近线方程为y＝±3x，圆心到渐近线的距离为d＝b2.由勾股定理，得(b2)2＋(32)2＝b2，∴b＝1.所以圆C的方程为x2＋(y－1)2＝1.6.(2015·天津河西质量调研)如图所示，F1，F2是双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左、右两个分支分别交于B，A，若△ABF2为等边三角形，则该双曲线的离心率为()A.233B.3C．4D.7答案D解析设等边三角形的边长为x，则根据双曲线定义得|AF1|－|AF2|＝2a，|BF2|－|BF1|＝2a，∴x＋|BF1|－x＝2a，x－|BF1|＝2a，∴|BF1|＝2a，x＝4a.在△AF1F2中，|AF1|＝6a，|AF2|＝4a，|F1F2|＝2c，∠F1AF2＝60°，由余弦定理，得4c2＝36a2＋16a2－2×6a×4acos60°.∴c2＝7a2，即e＝7.7．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线平行于直线l：y＝2x＋10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为()A.x25－y220＝1B.x220－y25＝1C.3x225－3y2100＝1D.3x2100－3y225＝1答案A解析由题意可知，双曲线的其中一条渐近线y＝bax与直线y＝2x＋10平行，所以ba＝2且左焦点为(－5,0)，所以a2＋b2＝c2＝25，解得a2＝5，b2＝20，故双曲线方程为x25－y220＝1.选A.8．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F(7，0)，直线y＝x－1与其相交于M，N两点，MN中点的横坐标为－23，则此双曲线的方程是()A.x23－y24＝1B.x24－y23＝1C.x25－y22＝1D.x22－y25＝1答案D解析设双曲线方程x2a2－y2b2＝1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，∴x21a2－y21b2＝1，①x22a2－y22b2＝1.②①－②，得y1－y2x1－x2＝b2a2·x1＋x2y1＋y2.∴1＝b2a2·－23－53，∴5a2＝2b2.又a2＋b2＝7，∴a2＝2，b2＝5，故选D.9．(2015·东北三校一模)已知双曲线x29－y216＝1，过其右焦点F的直线交双曲线于P，Q两点，PQ的垂直平分线交x轴于点M，则|MF||PQ|的值为()A.53B.56C.54D.58答案B解析依题意，将直线PQ特殊化为x轴，于是有点P(－3,0)，Q(3,0)，M(0,0)，F(5,0)，|MP||PQ|＝56.10．过双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左焦点F(－c,0)(c0)，作圆x2＋y2＝a24的切线，切点为E，延长FE交曲线右支于点P，若OE→＝12(OF→＋OP→)，则双曲线的离心率为________．答案102解析圆x2＋y2＝a24的半径为a2，由OE→＝12(OF→＋OP→)知，E是FP的中点，设F′(c,0)，由于O是FF′的中点，所以OE⊥PF，|OE|＝12|PF′|⇒|PF′|＝2|OE|＝a.由双曲线定义，|FP|＝3a，因为FP是圆的切线，切点为E，所以FP⊥OE，从而∠FPF′＝90°.由勾股定理，得|FP|2＋|F′P|2＝|FF′|2⇒9a2＋a2＝4c2⇒e＝102.11．双曲线C：x2－y2＝1的渐近线方程为________；若双曲线C的右顶点为A，过A的直线l与双曲线C的两条渐近线交于P，Q两点，且PA→＝2AQ→，则直线l的斜率为_______．答案x±y＝0，±3解析双曲线C：x2－y2＝1的渐近线方程为x2－y2＝0，即y＝±x；双曲线C的右顶点A(1,0)，设l：x＝my＋1，联立方程，得x＝my＋1，x2－y2＝0，消去x，得(m2－1)y2＋2my＋1＝0(*)，方程(*)的根为P，Q两点的纵坐标，设P(xP，yP)，∵PA→＝2AQ→，∴yP＝－2yQ.又yP＋yQ＝2m1－m2，yPyQ＝1m2－1，解得m＝±13，直线l的斜率为1m，即为3或－3.12．已知曲线x2a－y2b＝1(ab≠0，且a≠b)与直线x＋y－1＝0相交于P，Q两点，且OP→·OQ→＝0(O为原点)，则1a－1b的值为________．答案2解析将y＝1－x代入x2a－y2b＝1，得(b－a)x2＋2ax－(a＋ab)＝0.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝2aa－b，x1x2＝a＋aba－b.OP→·OQ→＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(1－x1)(1－x2)＝2x1x2－(x1＋x2)＋1.所以2a＋2aba－b－2aa－b＋1＝0.即2a＋2ab－2a＋a－b＝0.即b－a＝2ab，所以1a－1b＝2.13．求两条渐近线为x＋2y＝0和x－2y＝0且截直线x－y－3＝0所得的弦长为833的双曲线的方程．答案x24－y2＝1解析渐近线方程为y＝±12x，可设双曲线方程为x24m－y2m＝1，则x24m－y2m＝1，x－y－3＝0.可得3x2－24x＋36＋4m＝0，∴x1＋x2＝8，x1x2＝36＋4m3.由弦长公式|AB|＝1＋k2·x1＋x22－4x1x2，得|AB|＝2·48－16m3.又∵|AB|＝833，∴m＝1.∴双曲线方程为x24－y2＝1.14．设双曲线C：x2a2－y2＝1(a0)与直线l：x＋y＝1相交于两个不同点A，B.(1)求双曲线C的离心率e的取值范围；(2)设直线l与y轴的交点为P，且PA→＝512PB→，求实数a的值．答案(1)(62，2)∪(2，＋∞)(2)1713解析(1)由C与l相交于两个不同的点，故知方程组x2a2－y2＝1，x＋y＝1，有两个不同的实数解．消去y并整理，得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0.①所以1－a2≠0，4a4＋8a21－a20，解得0a2且a≠1.双曲线的离心率e＝1＋a2a＝1a2＋1.∵0a2且a≠1，∴e62且e≠2.即离心率e的取值范围为(62，2)∪(2，＋∞)．(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(0,1)，∵PA→＝512PB→，∴(x1，y1－1)＝512(x2，y2－1)，由此得x1＝512x2.由于x1，x2都是方程①的根，且1－a2≠0，所以x1＋x2＝1712x2＝－2a21－a2，x1x2＝512x22＝－2a21－a2.消去x2，得－2a21－a2＝28960.注意a0，得a＝1713.15．(2015·河南安阳调研)已知圆C1：(x＋62)2＋y2＝258，圆C2：(x－62)2＋y2＝18，动圆P与已知两圆都外切．(1)求动圆的圆心P的轨迹E的方程；(2)直线l：y＝kx＋1与点P的轨迹E交于不同的两点A，B，AB的中垂线与y轴交于点N，求点N的纵坐标的取值范围．答案(1)2x2－y2＝1(x0)(2)(－∞，－32)解析(1)已知两圆的圆心、半径分别为C1(－62，0)，r1＝524；C2(62，0)，r2＝24.设动圆P的半径为r，由题意知|PC1|＝r＋524，|PC2|＝r＋24，则|PC1|－|PC2|＝2|C1C2|＝6.所以点P在以C1，C2为焦点的双曲线右支上，其中2a＝2，2c＝6，所以b2＝1.故轨迹E的方程为2x2－y2＝1(x0)．(2)将直线y＝kx＋1代入双曲线方程，并整理，得(k2－2)x2＋2kx＋2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(x0，y0)，依题意，直线l与双曲线的右支交于不同两点，故k2－2≠0，Δ＝2k2－8k2－20，x1＋x2＝－2kk2－20，x1x2＝2k2－20.所以－2k－2.且x0＝－kk2－2，y0＝kx0＋1＝－2k2－2，则AB的中垂线方程为y＋2k2－2＝－1k(x＋kk2－2)．令x＝0，得yN＝32－k2.∵－2k－2，∴yN－32.已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为M(－12，－15)，则E的方程为()A.x23－y26＝1B.x24－y25＝1C.x26－y23＝1D.x25－y24＝1答案B解析由已知易得l的斜率为k＝kFM＝1.设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x21a2－y21b2＝1，x22a2－y22b2＝1，两式相减并结合x1＋x2＝－24，y1＋y2＝－30，得y1－y2x1－x2＝4b25a2，从而4b25a2＝1，即4b2＝5a2.又a2＋b2＝9，解得a2＝4，b2＝5，故选B.