新课标版数学（理）高三总复习：题组层级快练67

题组层级快练(六十七)1．(2014·新课标全国Ⅱ理)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为()A.334B.938C.6332D.94答案D解析先求直线AB的方程，将其与抛物线的方程联立组成方程组化简，再利用根与系数的关系求解．由已知得焦点坐标为F(34，0)，因此直线AB的方程为y＝33(x－34)，即4x－43y－3＝0.方法一：联立抛物线方程化简，得4y2－123y－9＝0.故|yA－yB|＝yA＋yB2－4yAyB＝6.因此S△OAB＝12|OF||yA－yB|＝12×34×6＝94.方法二：联立方程，得x2－212x＋916＝0，故xA＋xB＝212.根据抛物线的定义有|AB|＝xA＋xB＋p＝212＋32＝12，原点到直线AB的距离为h＝|－3|42＋－432＝38.因此S△OAB＝12|AB|·h＝94.另解：|AB|＝2psin2θ＝3122＝12，S△ABO＝12·|OF|·|AB|·sinθ＝12·34·12·12＝94.2．设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A为抛物线上一点，若OA→·AF→＝－4，则点A的坐标为()A．(2，±22)B．(1，±2)C．(1,2)D．(2,22)答案B解析设A(x0，y0)，F(1,0)，OA→＝(x0，y0)，AF→＝(1－x0，－y0)，OA→·AF→＝x0(1－x0)－y20＝－4.∵y20＝4x0，∴x0－x20－4x0＋4＝0⇒x20＋3x0－4＝0，x1＝1，x2＝－4(舍)．∴x0＝1，y0＝±2.3．已知抛物线C：y2＝8x与点M(－2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若MA→·MB→＝0，则k＝()A.12B.22C.2D．2答案D解析由题意知抛物线C的焦点坐标为(2,0)，则直线AB的方程为y＝k(x－2)，将其代入y2＝8x，得k2x2－4(k2＋2)x＋4k2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4k2＋2k2，x1x2＝4.①由y1＝kx1－2，y2＝kx2－2⇒y1＋y2＝kx1＋x2－4k，y1y2＝k2[x1x2－2x1＋x2＋4].②③∵MA→·MB→＝0，∴(x1＋2，y1－2)·(x2＋2，y2－2)＝0.∴(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－2)(y2－2)＝0，即x1x2＋2(x1＋x2)＋4＋y1y2－2(y1＋y2)＋4＝0.④由①②③④式，解得k＝2.故选D.4.(2015·河南豫东、豫北十所名校)如图所示，过抛物线x2＝2py(p0)的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝4＋22，则p的值为()A．1B．2C.52D．3答案B解析过B作准线的垂线BB′，则|BB′|＝|BF|，由|BC|＝2|BF|，得直线l的倾斜角为45°.设A(x0，y0)，由|AF|＝4＋22，得x0－p2＝22|AF|＝2＋22.∴(2＋22)＋p＝4＋22，∴p＝2.5．(2015·江西重点中学盟校联考)已知抛物线C：y＝x2－2，过原点的动直线l交抛物线C于A，B两点，P是AB的中点，设动点P(x，y)，则4x－y的最大值是()A．2B．－2C．4D．－4答案A解析设直线l的方程为y＝kx，与抛物线C的方程y＝x2－2联立，消去y，得x2－kx－2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝k，所以x＝k2，y＝k22，所以4x－y＝2k－k22＝－12(k－2)2＋2.故当k＝2时，4x－y取最大值2.6.(2015·湖南益阳模拟)如图所示，已知直线l：y＝k(x＋1)(k0)与抛物线C：y2＝4x相交于A，B两点，且A，B两点在抛物线C准线上的射影分别是M，N，若|AM|＝2|BN|，则k的值是()A.13B.23C.223D．22答案C解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程组y2＝4x，y＝kx＋1，消去x，得ky2－4y＋4k＝0.①因为直线与抛物线相交，所以有Δ＝42－4×k×4k＝16(1－k2)0.(*)y1，y2是方程①的两个根，所以有y1＋y2＝4k，y1·y2＝4.②③又因为|AM|＝2|BN|，所以y1＝2y2.④解由②③④组成的方程组，得k＝223.把k＝223代入(*)式检验，不等式成立．所以k＝223，故选C.7．设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若FA→＋FB→＋FC→＝0，则|FA→|＋|FB→|＋|FC→|＝()A．9B．6C．4D．3答案B解析焦点F坐标为(1,0)，设A，B，C坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)．∴FA→＝(x1－1，y1)，FB→＝(x2－1，y2)，FC→＝(x3－1，y3)．∵FA→＋FB→＋FC→＝0，∴x1－1＋x2－1＋x3－1＝0.∴x1＋x2＋x3＝3.∴|FA→|＋|FB→|＋|FC→|＝x1－12＋y21＋x2－12＋y22＋x3－12＋y23＝x1＋12＋x2＋12＋x3＋12＝x1＋1＋x2＋1＋x3＋1＝6.8．已知抛物线y2＝4x，过点P(4,0)的直线与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则y21＋y22的最小值是________．答案32解析设直线方程为x＝ky＋4，与抛物线联立得y2－4ky－16＝0，∴y1＋y2＝4k，y1y2＝－16.∴y21＋y22＝(y1＋y2)2－2y1y2＝16k2＋32.故最小值为32.9.如图所示，直线l：y＝x＋b与抛物线C：x2＝4y相切于点A.(1)求实数b的值；(2)求以点A为圆心，且与抛物C的准线相切的圆的方程．答案(1)－1(2)(x－2)2＋(y－1)2＝4解析(1)由y＝x＋b，x2＝4y，得x2－4x－4b＝0.(*)因为直线l与抛物线C相切，所以Δ＝(－4)2－4×(－4b)＝0，解得b＝－1.(2)由(1)可知b＝－1，故方程(*)为x2－4x＋4＝0，解得x＝2.将其代入x2＝4y，得y＝1.故点A(2,1)．因为圆A与抛物线C的准线相切，所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y＝－1的距离，即r＝|1－(－1)|＝2.所以圆A的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.10.如图所示，斜率为1的直线过抛物线y2＝2px(p0)的焦点F，与抛物线交于A，B两点，M为抛物线弧AB上的动点．(1)若|AB|＝8，求抛物线的方程；(2)求S△ABM的最大值．答案(1)y2＝4x(2)2p2解析(1)由条件知lAB：y＝x－p2，与y2＝2px联立，消去y，得x2－3px＋14p2＝0，则x1＋x2＝3p.由抛物线定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝4p.又因为|AB|＝8，即p＝2，则抛物线的方程为y2＝4x.(2)方法一：由(1)知|AB|＝4p，且lAB：y＝x－p2，设M(y202p，y0)，则M到AB的距离为d＝|y202p－y0－p2|2.因为点M在直线AB的上方，所以y202p－y0－p20，则d＝|y202p－y0－p2|2＝－y202p＋y0＋p22＝－y20＋2py0＋p222p＝－y0－p2＋2p222p.当y0＝p时，dmax＝22p.故S△ABM的最大值为12×4p×22p＝2p2.方法二：由(1)知|AB|＝4p，且lAB：y＝x－p2，设与直线AB平行且于抛物线相切的直线方程为y＝x＋m，代入抛物线方程，得x2＋2(m－p)x＋m2＝0.由Δ＝4(m－p)2－4m2＝0，得m＝p2.与直线AB平行且与抛物线相切的直线方程为y＝x＋p2，两直线间的距离为d＝|p2＋p2|2＝22p，故S△ABM的最大值为12×4p×22p＝2p2.11．(2015·广东百所高中联考)已知抛物线C：y2＝2px(p0)的焦点为F，点K(－1,0)为直线l与抛物线C准线的交点，直线l与抛的线C相交于A，B两点．(1)求抛物线C的方程；(2)设FA→·FB→＝89，求直线l的方程．答案(1)y2＝4x(2)3x－4y＋3＝0或3x＋4y＋3＝0解析(1)依题意知－p2＝－1，解得p＝2.所以抛物线C的方程为y2＝4x.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，且设直线l的方程为x＝my－1(m≠0)．将x＝my－1代入y2＝4x，并整理，得y2－4my＋4＝0.由Δ0，得m21，从而y1＋y2＝4m，y1y2＝4.所以x1＋x2＝(my1－1)＋(my2－1)＝4m2－2，x1x2＝(my1－1)(my2－1)＝m2y1y2－m(y1＋y2)＋1＝1.因为FA→＝(x1－1，y1)，FB→＝(x2－1，y2)，FA→·FB→＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋4＝8－4m2，故8－4m2＝89，解得m＝±43满足m21.所以直线l的方程为x＝±43y－1.即3x－4y＋3＝0或3x＋4y＋3＝0.12．(2015·山东莱芜期末)已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点F(0，c)(c0)到直线y＝2x的距离是510.(1)求抛物线C的方程；(2)若直线y＝kx＋1(k≠0)与抛物线C交于A，B两点，设线段AB的中垂线与y轴交于点P(0，b)，求实数b的取值范围．答案(1)x2＝2y(2)b∈(2，＋∞)解析(1)由题意，c5＝510，故c＝12.所以抛物线C的方程为x2＝2y.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由y＝kx＋1，x2＝2y，得x2－2kx－2＝0.所以Δ＝4k2＋80.所以x1＋x2＝2k，所以线段AB的中点坐标为(k，k2＋1)．线段AB的中垂线方程为y＝－1k(x－k)＋k2＋1，即y＝－1kx＋k2＋2.令x＝0，得b＝k2＋2.所以b∈(2，＋∞)．1．平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1,0)的距离和到直线x＝－1的距离相等，若机器人接触不到过点P(－1，0)且斜率为k的直线，则k的取值范围是________．答案(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析由题意可知机器人的轨迹为一抛物线，其轨迹方程为y2＝4x，过点P(－1,0)且斜率为k的直线方程为y＝k(x＋1)，由题意知直线与抛物线无交点，联立消去y，得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0，则Δ＝(2k2－4)2－4k40，所以k21，得k1或k－1.2．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|＝3，则△AOB的面积为()A.22B.2C.322D．22答案C解析由题意，抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为l：x＝－1，可得A点的横坐标为2，不妨设A(2,22)，则直线AB的方程为y＝22(x－1)，与y2＝4x联立得2x2－5x＋2＝0，可得B(12，－2)，所以S△AOB＝S△AOF＋S△BOF＝12×1×|yA－yB|＝322.