新课标版数学（理）高三总复习：题组层级快练71

题组层级快练(七十一)1．设a0为常数，动点M(x，y)(y≠0)分别与两定点F1(－a,0)，F2(a,0)的连线的斜率之积为定值λ，若点M的轨迹是离心率为3的双曲线，则λ的值为()A．2B．－2C．3D.3答案A解析轨迹方程为yx＋a·yx－a＝λ，整理，得x2a2－y2λa2＝1(λ0)，c2＝a2(1＋λ)，1＋λ＝c2a2＝3，λ＝2，故选A.2．(2015·山东青岛一模)如图，从点M(x0,4)发出的光线，沿平行于抛物线y2＝8x的对称轴方向射向此抛物线上的点P，经抛物线反射后，穿过焦点射向抛物线上的点Q，再经抛物线反射后射向直线l：x－y－10＝0上的点N，经直线反射后又回到点M，则x0等于()A．5B．6C．7D．8答案B解析由题意可知，p＝4，F(2,0)，P(2,4)，Q(2，－4)，QN：y＝－4，直线QN，MN关于l：x－y－10＝0对称，即直线l平分直线QN，MN的夹角，所以直线MN垂直于x轴，解y＝－4，x－y－10＝0，得N(6，－4)，故x0等于6.故选B.3．(2014·江苏南通一模)在平面直角坐标系xOy中，已知定点F(1,0)，点P在y轴上运动，点M在x轴上，点N为平面内的动点，且满足PM→·PF→＝0，PM→＋PN→＝0.(1)求动点N的轨迹C的方程；(2)设点Q是直线l：x＝－1上任意一点，过点Q作轨迹C的两条切线QS，QT，切点分别为S，T，设切线QS，QT的斜率分别为k1，k2，直线QF的斜率为k0，求证：k1＋k2＝2k0.答案(1)y2＝4x(2)略解析(1)设点N(x，y)，M(a,0)，P(0，b)．由PM→＋PN→＝0可知，点P是MN的中点．所以a＋x2＝0，0＋y2＝b，即a＝－x，b＝y2.所以点M(－x,0)，P(0，y2)．所以PM→＝(－x，－y2)，PF→＝(1，－y2)．由PM→·PF→＝0，可得－x＋y24＝0，即y2＝4x.所以动点N的轨迹C的方程为y2＝4x.(2)设点Q(－1，t)，由于过点Q的直线y－t＝k(x＋1)与轨迹C：y2＝4x相切，联立方程y2＝4x，y－t＝kx＋1，整理，得k2x2＋2(k2＋kt－2)x＋(k＋t)2＝0.则Δ＝4(k2＋kt－2)2－4k2(k＋t)2＝0，化简得k2＋tk－1＝0.显然，k1，k2是关于k的方程k2＋tk－1＝0的两个根，所以k1＋k2＝－t.又k0＝－t2，故k1＋k2＝2k0.所以命题得证．4．(2015·北京海淀二模)已知椭圆G的离心率为22，其短轴两端点为A(0,1)，B(0，－1)．(1)求椭圆G的方程；(2)若C，D是椭圆G上关于y轴对称的两个不同点，直线AC，BD与x轴分别交于点M，N.判断以MN为直径的圆是否过点A，并说明理由．答案(1)x22＋y2＝1(2)不过点A解析(1)由已知可设椭圆G的方程为x2a2＋y21＝1(a1)．由e＝22，可得e2＝a2－1a2＝12，解得a2＝2.所以椭圆的标准方程为x22＋y2＝1.(2)方法一：设C(x0，y0)，且x0≠0，则D(－x0，y0)．因为A(0,1)，B(0，－1)，所以直线AC的方程为y＝y0－1x0x＋1.令y＝0，得xM＝－x0y0－1，所以M(－x0y0－1，0)．同理，直线BD的方程为y＝y0＋1－x0x－1，求得N(－x0y0＋1，0)．AM→＝(x01－y0，－1)，AN→＝(－x01＋y0，－1)，所以AM→·AN→＝－x201－y20＋1.由C(x0，y0)在椭圆G：x22＋y2＝1上，所以x20＝2(1－y20)．所以AM→·AN→＝－1≠0，所以∠MAN≠90°.所以以线段MN为直径的圆不过点A.方法二：因为C，D关于y轴对称，且B在y轴上，所以∠CBA＝∠DBA.因为N在x轴上，又A(0,1)，B(0，－1)关于x轴对称，所以∠NAB＝∠NBA＝∠CBA.所以BC∥AN，所以∠NAC＝180°－∠ACB.设C(x0，y0)，且x0≠0，则x20＝2(1－y20)．因为CA→·CB→＝(－x0,1－y0)·(－x0，－1－y0)＝x20＋(y20－1)＝12x200，所以∠ACB90°，所以∠NAC≠90°，所以以线段MN为直径的圆不过点A.5．(2015·广东清远调研)已知抛物线C1的焦点F与椭圆C2：x2＋4y23＝1的右焦点重合，抛物线的顶点在坐标原点．(1)求抛物线C1的方程；(2)设圆M过点A(1,0)，且圆心M在C1的轨迹上，BD是圆M在y轴上截得的弦，问弦长BD是否为定值？请说明理由．答案(1)y2＝2x(2)为定值2解析(1)∵抛物线C1的焦点与椭圆C2：x2＋4y23＝1的右焦点重合，∴抛物线C1的焦点坐标为F(12，0)．∵抛物线C1的顶点在坐标原点，∴抛物线C1的方程为y2＝2x.(2)∵圆心M在抛物线y2＝2x上，可设圆心M(a22，a)，半径r＝1－a222＋a2，则圆的方程为(x－a22)2＋(y－a)2＝(1－a22)2＋a2.令x＝0，得B(0,1＋a)，D(0，－1＋a)，∴|BD|＝2，∴弦长BD为定值．6．(2015·山东临沂质检)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)与双曲线x24－v＋y21－v＝1(1v4)有公共焦点，过椭圆C的右顶点B任意作直线l，设直线l交抛物线y2＝2x于P，Q两点，且OP⊥OQ.(1)求椭圆C的方程；(2)在椭圆C上，是否存在点R(m，n)，使得直线l：mx＋ny＝1与圆O：x2＋y2＝1相交于不同的两点M，N，且△OMN的面积最大？若存在，求出点R的坐标及对应的△OMN的面积；若不存在，请说明理由．答案(1)x24＋y2＝1(2)(233，±63)或(－233，±63)，S△OMN＝12解析(1)∵1v4，∴双曲线的焦点在x轴上．设F(±c,0)，则c2＝4－v＋v－1＝3.由椭圆C与双曲线共焦点，知a2－b2＝3.设直线l的方程为x＝ty＋a，代入y2＝2x并整理，得y2－2ty－2a＝0.则y1＋y2＝2t，y1y2＝－2a.∴OP→·OQ→＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋a)(ty2＋a)＋y1y2＝(t2＋1)y1y2＋at(y1＋y2)＋a2＝(t2＋1)(－2a)＋2at2＋a2＝a2－2a＝0.解得a＝2，b＝1.故椭圆C的方程为x24＋y2＝1.(2)方法一：假设存在点R(m，n)满足题意，则m24＋n2＝1，即m2＝4－4n2.设圆心到直线l的距离为d，则d1，且d＝|m×0＋n×0－1|m2＋n2＝1m2＋n2.又∵|MN|＝21－d2，∴S△OMN＝12|MN|×d＝12×21－d2×d＝1－d2×d≤1－d2＋d22＝12.当且仅当1－d2＝d，即d＝22时，S△OMN取得最大值12.由d＝1m2＋n2＝22，得m2＋n2＝2.联立m2＋n2＝2，m2＝4－4n2，得m2＝43，n2＝23.故存在点R满足题意，坐标为(233，63)或(233，－63)或(－233，63)或(－233，－63)，此时△OMN的面积为12.方法二：S△OMN＝12|OM|·|ON|sin∠MON，当∠MON＝90°时，S△MON取最大值12.此时O到l的距离d＝1m2＋n2＝22，∴m2＋n2＝2.又∵m24＋n2＝1，解得m2＝43，n2＝23.故存在点R的坐标为(233，63)或(233，－63)或(－233，63)或(－233，－63)，此时△OMN的面积为12.