新课标版数学（理）高三总复习：题组层级快练73

题组层级快练(七十三)1．若A32n＝10A3n，则n＝()A．1B．8C．9D．10答案B解析原式等价于2n(2n－1)(2n－2)＝10n(n－1)(n－2)，整理得n＝8.2．某班级要从4名男生，2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为()A．14B．24C．28D．48答案A解析共有C12C34＋C22C24＝8＋6＝14种．3．(2015·衡水中学模拟)某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位．该台晚会节目演出顺序的编排方案共有()A．36种B．42种C．48种D．54种答案B解析①甲位于第一位时有A44种；②甲位于第二位时有A13·A33种．∴共有24＋18＝42种．4．(2015·山东青岛理工大学附中月考)从5名男医生，4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有()A．70种B．80种C．100种D．140种答案A解析从9名医生中任选3名有C39＝84种，都是男医生和都是女医生的有C35＋C34＝14种，男、女医生都有的选法为84－14＝70种．5．有5名班委进行分工，其中A不适合做班长，B只适合做学习委员，则不同的分工方案种数为()A．18B．24C．60D．48答案A解析先安排A，共有C13种方案，再安排其他3位同学；共有A33种方案，由分步乘法计数原理知，共有C13A33＝18种方案．6．用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为()A．324B．328C．360D．648答案B解析首先应考虑“0”是特殊元素，当0排在末位时，有A29＝9×8＝72个，当0不排在末位时，有A14A18A18＝4×8×8＝256个，于是由分类加法计算原理，得符合题意的偶数共有72＋256＝328个．7．(2015·广东汕头模拟)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有()A．4种B．10种C．18种D．20种答案B解析分两类：第一类是取出1本画册，3本邮册，此时赠送方法有C14＝4种；第二类是取出2本画册，2本集邮册，此时赠送方法有C24＝6种，故赠送方法共有4＋6＝10种．8．(2015·北京顺义一模)将4名学生分配到甲、乙、丙3个实验室准备实验，每个实验室至少分配1名学生的不同分配方案共有()A．12种B．24种C．36种D．48种答案C解析先将4名学生分成三组，人数分别为2,1,1，共有C24＝6种，再将这三组分配到3个实验室，有A33＝6种，由分步乘法计数原理，不同分配方案共有6×6＝36种．9．(2015·山东日照一模)从8名女生和4名男生中，抽取3名学生参加某档电视节目，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为()A．224B．112C．56D．28答案B解析根据分层抽样，从12个人中抽取男生1人，女生2人，所以取2个女生1个男生的方法有C28C14＝112种，故选B.10．(2015·湖北八市联考)某航母在一次舰载机起降飞行训练中，有5架载机准备着舰．如果甲、乙2架必须相邻着舰，而丙、丁不能相邻着舰，那么不同的着舰方法的种数为()A．12B．18C．24D．48答案C解析“相邻”问题用捆绑法，“不相邻”问题用插空法，先安排丙、丁以外的三架，有A22×A22＝4种排法；此时产生三个空位，安排丙、丁，共有A23＝6种排法，所以不同的着舰方法有4×6＝24种．11．从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为()A．24B．18C．12D．6答案B解析若选0，则0只能在十位，此时组成的奇数的个数是A23；若选2，则2只能在十位或百位，此时组成的奇数的个数是2×A23＝12，根据分类加法计数原理得总个数为6＋12＝18.12．在航天员进行的一项太空实验中，先后要实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有()A．34种B．48种C．96种D．144种答案C解析本题是一个分步计数问题，由题意知程序A只能出现在第一步或最后一步，∴从第一个位置和最后一个位置中选一个位置把A排列，有A12＝2种结果．∵程序B和C在实施时必须相邻，∴把B和C看作一个元素，同除A外的3个元素排列，注意B和C之间还有一个排列，共有A44A22＝48种结果．根据分步计数原理知共有2×48＝96种结果，故选C.13．(2015·沧州七校联考)身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法种数共有()A．24B．28C．36D．48答案D解析分类计数原理，按红红之间有蓝无蓝两类来分．(1)当红红之间有蓝时，则有A22A24＝24种；(2)当红红之间无蓝时，则有C12A22C12C13＝24种．因此，这五个人排成一行，穿相同颜色衣服的人不能相邻，则有48种排法．故选D.14．安排7位工作人员在10月1日到10月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在10月1日和10月2日的不同的安排方法共有________种．答案2400解析共有A25A55＝2400种不同的安排方法．15．由0,1,2，…，9这十个数字组成的无重复数字的四位数中，个位数字与百位数字之差的绝对值等于8的个数为________个．答案210解析若个位数和百位数是0,8，则方法数是A22A28＝112；若个位数和百位数是1,9，则由于首位不能排0，则方法数是A22C17C17＝98，故总数是112＋98＝210.16．(2015·济南一模)某展室有9个展台，现有3件展品需要展出，要求每件展品独自占用1个展台，并且3件展品所选用的展台既不在两端又不相邻，则不同的展出方法有________种；若进一步要求3件展品所选用的展台之间间隔不超过2个展台，则不同的展出方法有________种．答案60,48解析依题意得，某展室有9个展台，现有3件展品需要展出，要求每件展品独自占用1个展台，并且3件展品所选用的展台既不在两端又不相邻，则不同的展出方法有A35＝60种(注：从六个空展台所形成的五个间隔中任选三个间隔将3件展品进行排列即可)；其中3件展品所选用的展台之间间隔超过两个展位的展出方法有2A33＝12种，因此要求3件展品所选用的展台之间间隔不超过两个展位的不同的展出方法有60－12＝48种．17．用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有________个．(用数字作答)答案14解析方法一：数字2只出现一次的四位数有C14＝4个；数字2出现两次的四位数有C24C22＝6个；数字2出现三次的四位数有C34＝4个．故总共有4＋6＋4＝14个．方法二：由数字2,3组成的四位数共有24＝16个，其中没有数字2的四位数只有1个，没有数字3的四位数只有1个，故符合条件的四位数共有16－2＝14个．18．甲、乙两人从4门课程中各选2门，求(1)甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有多少种？(2)甲、乙所选的课程中至少有一门不同的选法有多少种？答案(1)24(2)30解析(1)甲、乙两人从4门课程中各选2门，且甲、乙所选课程中恰有1门相同的选法种数共有C24C12C12＝24种．(2)甲、乙两人从4门课程中各选两门不同的选法种数为C24C24，又甲乙两人所选的两门课程都相同的选法种数为C24种，因此满足条件的不同选法种数为C24C24－C24＝30种．19．7名师生站成一排照相留念．其中老师1人，男生4人，女生2人，在下列情况中，各有不同站法多少种．(1)2名女生必须相邻；(2)4名男生互不相邻；(3)若4名男生身高都不相等，按从高到低的一种顺序站；(4)老师不站中间，女生不站两端．答案(1)1440(2)144(3)420(4)2112解析(1)2名女生站在一起有A22种站法，视为一个元素与其余5人全排，有A66种排法，∴有不同站法A22A66＝1440种．(2)先站老师和女生，有A33种站法，再在老师和女生站位的间隔(含两端)处插男生，每空一人，有插入方法A44种，∴共有不同站法A33A44＝144种．(3)7人全排列中，4名男生不考虑身高顺序的站法有A44种，而由高到低有从左到右，或从右到左的不同．∴共有不同站法2·A77A44＝420种．(4)中间和两侧是特殊位置可分类求解：①老师站两侧之一，另一侧由男生站，有A12A14A55种站法．②两侧全由男生站，老师站除两侧和正中间之外的另外4个位置之一，有A24A14A44种站法．∴共有不同站法A12A14A55＋A24A14A44＝960＋1152＝2112种．1．若三位正整数如“abc”满足ab，bc，则这样的三位数称为凸数(如120,121,352)，那么所有的三位凸数的个数为________．答案240解析a，b，c无重复数字时可组成凸数，A22C310－C29＝204个；a，b，c有重复数字时有C210－9＝36个，故共有240个．2．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是()A．54B．90C．126D．152答案C解析分两类：一类是安排两人开车，一类是安排一人开车，不同的安排方案为C23A33＋C13C24A33＝126种．3．(2013·北京)将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张．如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是________．答案96解析5张参观券分成4份，1份2张，另外3份各1张，且2张参观券连号，则有4种分法，把这4份参观券分给4人，则不同的分法种数是4A44＝96.4.如图，用四种不同颜色给图中A，B，C，D，E，F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法种数有________．(用数字作答)答案2645．现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为________．答案472解析分两种情况：①不取红色卡片，有C312－3C34种或C14C14C14＋C13C24C12C14种．②取红色卡片1张，有C14C212种或C14(3C24＋C23C14C14)种．所以不同的取法有C312－3C34＋C14C212＝472种．6．由0,1,3,5,7这五个数字组成的无重复数字且0与3不相邻的五位数的个数为________．答案54解析可采用排除法，不考虑0和3的要求，共有C14A44＝96个五位数，从中排除0和3相邻的情况．因为0不能作为首位，所以分两类，第一类首位是3，共有A33种，第二类首位不是3，共有C13A22A33种．∴0与3不相邻的五位数个数为96－A33－C13A22A33＝54.