新课标版数学（理）高三总复习：题组层级快练75

题组层级快练(七十五)1．(2015·东北三校一联)在(x2－1x)5的二项展开式中，第二项的系数为()A．10B．－10C．5D．－5答案D解析展开式中的第二项为T2＝C15(x2)5－1(－1x)1，所以其系数为－C15＝－5.2．(2015·河北唐山一模)(3x－2x)8二项展开式中的常数项为()A．56B．－56C．112D．－112答案C解析∵Tr＋1＝Cr8(3x)8－r(－2x)r＝Cr8(－2)rx83－43r，∴令83－43r＝0，即r＝2.∴常数项为C28(－2)2＝112，选C.3．在(x2－13x)n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是()A．－7B．7C．－28D．28答案B解析由题意知n＝8，Tr＋1＝Cr8·(x2)8－r·(－13x)r＝(－1)r·Cr8·x8－r28－r·1xr3＝(－1)r·Cr8·x8－r－r328－r，由8－r－r3＝0，得r＝6.∴T7＝C68·122＝7，即展开式中的常数项为T7＝7.4．在(x＋1)(2x＋1)…(nx＋1)(n∈N*)的展开式中一次项系数为()A．C2nB．C2n＋1C．Cn－1nD.12C3n＋1答案B解析1＋2＋3＋…＋n＝n·n＋12＝C2n＋1.5．若(x＋ax)(2x－1x)5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式的常数项为()A．－40B．－20C．20D．40答案D解析令x＝1，得(1＋a)(2－1)5＝2，∴a＝1.∴(2x－1x)5的通项为Tr＋1＝Cr5·(2x)5－r·(－1x)r＝(－1)r·25－r·Cr5·x5－2r.令5－2r＝1，得r＝2.令5－2r＝－1，得r＝3.∴展开式的常数项为(－1)2×23·C25＋(－1)3·22·C35＝80－40＝40.6．(2015·人大附中期末)若(x2－1ax)9(a∈R)的展开式中x9的系数是－212，则0asinxdx的值为()A．1－cos2B．2－cos1C．cos2－1D．1＋cos2答案A解析由题意得Tr＋1＝Cr9·(x2)9－r·(－1)r·(1ax)r＝(－1)r·Cr9·x18－3r·1ar，令18－3r＝9，得r＝3，所以－C39·1a3＝－212，解得a＝2.所以0asinxdx＝(－cosx)|20＝－cos2＋cos0＝1－cos2.7．(2015·安徽合肥二检)(x2－x＋1)10展开式中x3项的系数为()A．－210B．210C．30D．－30答案A解析由题意，得(x2－x＋1)10＝[x(x－1)＋1]10＝C010[x(x－1)]0·110＋C110[x(x－1)]1·19＋C210[x(x－1)]2·18＋C310[x(x－1)]3·17＋…＋C1010[x(x－1)]10·10＝C010＋C110x(x－1)＋C210x2(x－1)2＋C310x3(x－1)3＋…＋C1010x10(x－1)10，x3出现在C210x2(x－1)2＋C310x3(x－1)3＝C210x2(x2－2x＋1)＋C310x3(x3－3x2＋3x－1)中，所以x3前的系数为C210(－2)＋C310(－1)＝－90－120＝－210，故选A.8．(2015·天津河西二模)已知(1＋x)10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10，则a8＝()A．－180B．180C．45D．－45答案B解析因为(1＋x)10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10，所以[2－(1－x)]10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10，所以a8＝C81022(－1)8＝180.9．(2015·山东潍坊一模)设k＝0π(sinx－cosx)dx，若(1－kx)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，则a1＋a2＋a3＋…＋a8＝()A．－1B．0C．1D．256答案B解析∵k＝0π(sinx－cosx)dx＝(－cosx－sinx)|π0＝2，∴(1－2x)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8.令x＝0，得a0＝1；令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a8＝1.∴a1＋a2＋a3＋…＋a8＝0.10．(2014·浙江理)在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0，3)＝()A．45B．60C．120D．210答案C解析由题意知f(3,0)＝C36C04，f(2,1)＝C26C14，f(1,2)＝C16C24，f(0,3)＝C06C34，因此f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝120，选C.11．(2015·四川绵阳二诊)若(x－ax2)6展开式的常数项是60，则常数a的值为________．答案4解析(x－ax2)6展开式的常数项是C26x4(－ax2)2＝15a＝60，∴a＝4.12．(2015·上海十三校二联)－1＋3C111－9C211＋27C311－…－310C1011＋311除以5的余数是________．答案3解析－1＋3C111－9C211＋27C311－…－310C1011＋311＝(－1＋3)11＝211＝2048＝2045＋3，它除以5余数为3.13．若(x－a2x)8的展开式中常数项为1120，则展开式中各项系数之和为________．答案1解析(x－a2x)8的展开式的通项为Tr＋1＝Cr8x8－r(－a2)rx－r＝Cr8(－a2)rx8－2r，令8－2r＝0，解得r＝4，所以C48(－a2)4＝1120，所以a2＝2，故(x－a2x)8＝(x－2x)8.令x＝1，得展开式中各项系数之和为(1－2)8＝1.14．设(x－1)21＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a21x21，则a10＋a11＝________.答案0解析Tr＋1＝Cr21x21－r(－1)r，∴a10＝C1121(－1)11，a11＝C1021(－1)10，∴a10＋a11＝0.15．(2014·高考调研原创题)若(cosφ＋x)5的展开式中x3的系数为2，则sin(2φ＋π2)＝________.答案－35解析由二项式定理，得x3的系数为C35cos2φ＝2，得cos2φ＝15.故sin(2φ＋π2)＝cos2φ＝2cos2φ－1＝－35.16．(2015·扬州中学月考)设函数f(x，n)＝(1＋x)n(n∈N*)．(1)求f(x,6)的展开式中系数最大的项；(2)若f(i，n)＝32i(i为虚数单位)，求C1n－C3n＋C5n－C7n＋C9n.答案(1)20x3(2)32解析(1)展开式中系数最大的项是第4项T4＝C36x3＝20x3.(2)由已知(1＋i)n＝32i，两边取模，得(2)n＝32，所以n＝10.所以C1n－C3n＋C5n－C7n＋C9n＝C110－C310＋C510－C710＋C910.而(1＋i)10＝C010＋C110i＋C210i2＋…＋C910i9＋C1010i10＝(C010－C210＋C410－C610＋C810－C1010)＋(C110－C310＋C510－C710＋C910)i＝32i，所以C110－C310＋C510－C710＋C910＝32.17．设f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n的展开式中x的系数是19(m，n∈N*)．(1)求f(x)展开式中x2的系数的最小值；(2)对f(x)展开式中x2的系数取最小值时m，n，求f(x)展开式中x7的系数．答案(1)81(2)156解析(1)由题意知C1m＋C1n＝19，∴m＋n＝19，∴m＝19－n.x2的系数为C2m＋C2n＝C219－n＋C2n＝12(19－n)(18－n)＋12n(n－1)＝n2－19n＋171＝(n－192)2＋3234，∵n∈N*，∴n＝9或n＝10时，x2的系数取最小值(12)2＋3234＝81.(2)由(1)得当n＝9，m＝10时，f(x)＝(1＋x)10＋(1＋x)9；当n＝10，m＝9时，f(x)同上．故f(x)＝(1＋x)9(x＋2)其中(1＋x)9展开式中Tr＋1＝Cr9xr，所以f(x)展开式中x7的系数为C69＋2C79＝156.