新课标版数学（理）高三总复习：题组层级快练80

题组层级快练(八十)1．(2015·沧州七校联考)某道路的A，B，C三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒，35秒，45秒．某辆车在这条路上行驶时，三处都不停车的概率是()A.35192B.25192C.55192D.65192答案A解析三处都不停车的概率是P(ABC)＝2560×3560×4560＝35192.2．(2015·湖南师大附中模拟)一个盒子里有6支好晶体管，4支坏晶体管，任取两次，每次取一支，每次取后不放回，已知第一支是好晶体管，则第二支也是好晶体管的概率为()A.23B.512C.59D.79答案C解析P＝C16C15C16C19＝59.故选C.3．已知随机变量ξ～B(6，13)，则P(ξ＝2)等于()A.316B.1243C.13243D.80243答案D解析已知ξ～B(6，13)，P(ξ＝k)＝Cknpkqn－k.当ξ＝2，n＝6，p＝13时，P(ξ＝2)＝C26(13)2(1－13)6－2＝C26(13)2(23)4＝80243.4．若X～B(5,0.1)，则P(X≤2)等于()A．0.665B．0.00856C．0.91854D．0.99144答案D5．某厂大量生产某种小零件，经抽样检验知道其次品率是1%，现把这种零件每6件装成一盒，那么每盒中恰好含一件次品的概率是()A．(99100)6B．0.01C.C16100(1－1100)5D．C26(1100)2(1－1100)4答案C解析P＝C16·1%·(1－1100)5.6．箱子里有5个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新取球；若取出白球，则停止取球，那么在第4次取球之后停止的概率为()A.C35C14C45B.593×49C.35×14D．C14×593×49答案B解析由题意知，第四次取球后停止是当且仅当前三次取的球是黑球，第四次取的球是白球的情况，此事件发生的概率为593×49.7．如图所示，在两个圆盘中，指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是()A.49B.29C.23D.13答案A解析设A表示“第一个圆盘的指针落在奇数所在的区域”，则P(A)＝23，B表示“第二个圆盘的指针落在奇数所在的区域”，则P(B)＝23.则P(AB)＝P(A)P(B)＝23×23＝49.8．设随机变量X～B(2，p)，Y～B(4，p)，若P(X≥1)＝59，则P(Y≥2)的值为()A.3281B.1127C.6581D.1681答案B解析P(X≥1)＝P(X＝1)＋P(x＝2)＝C12p(1－p)＋C22p2＝59，解得p＝13.(0≤p≤1，故p＝53舍去)．故P(Y≥2)＝1－P(Y＝0)－P(Y＝1)＝1－C04×(23)4－C14×13×(23)3＝1127.9.如图所示，用K，A1，A2三类不同的元件连接成一个系统．当K正常工作且A1，A2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K，A1，A2正常工作的概率依次是0.9,0.8,0.8，则系统正常工作的概率为()A．0.960B．0.864C．0.720D．0.576答案B解析A1，A2不能同时工作的概率为0.2×0.2＝0.04，所以A1，A2至少有一个正常工作的概率为1－0.04＝0.96，所以系统正常工作的概率为0.9×0.96＝0.864.10．口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列{an}：an＝－1，第n次摸取红球，1，第n次摸取白球.如果Sn为数列{an}的前n项和，那么S7＝3的概率为()A．C57132·235B．C27232·135C．C47232·135D．C37132·135答案B解析S7＝3说明摸取2个红球，5个白球，故S7＝3的概率为C27232·135.11．在4次独立重复试验中事件A出现的概率相同，若事件A至少发生一次的概率为6581，则事件A在1次试验中出现的概率为________．答案13解析A至少发生一次的概率为6581，事件A都不发生的概率为1－6581＝1681＝(23)4，所以A在一次试验中出现的概率为1－23＝13.12．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军.若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为________．答案34解析方法一：以甲再打的局数分类讨论，若甲再打一局得冠军的概率为p1，则p1＝12.若甲打两局得冠军的概率为p2，则p2＝12×12＝14.故甲获得冠军的概率为p1＋p2＝34.方法二：先求乙获得冠军的概率p1，则p1＝12×12＝14，故甲获得冠军的概率为p＝1－p1＝34.13．某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18,19,20层停靠．若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为13，用ξ表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，则P(ξ＝4)＝________.答案10243解析考查一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验，故ξ～B(5，13)．即有P(ξ＝k)＝Ck5(13)k×(23)5－k，k＝0,1,2,3,4,5.∴P(ξ＝4)＝C45(13)4×(23)1＝10243.14．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于________．答案0.128解析依题意得，事件“该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮”即意味着“该选手在回答前面4个问题的过程中，要么第一个问题答对且第二个问题答错，第三、四个问题都答对了；要么第一、二个问题都答错；第三、四个问题都答对了”，因此所求事件的概率等于[0.8×(1－0.8)＋(1－0.8)2]×0.82＝0.128.15．某研究小组在电脑上进行人工降雨模拟试验，准备用A，B，C三种人工降雨方式分别对甲、乙、丙三地实施人工降雨，其试验数据统计如下：方式实施地点大雨中雨小雨模拟实验总次数A甲4次6次2次12次B乙3次6次3次12次C丙2次2次8次12次假定对甲、乙、丙三地实施的人工降雨彼此互不影响，请你根据人工降雨模拟试验的统计数据．(1)求甲、乙、丙三地都恰为中雨的概率；(2)考虑到各地的旱情和水土流失情况不同，如果甲地恰需中雨即达到理想状态，乙地必须是大雨才达到理想状态，丙地只需小雨或中雨即达到理想状态，记“甲、乙、丙三地中达到理想状态的个数”为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望E(ξ)．答案(1)124(2)1912解析(1)由人工降雨模拟的统计数据，用A，B，C三种人工降雨方式对甲、乙、丙三地实施人工降雨得到大雨、中雨、小雨的概率如下表所示.方式实施地点大雨中雨小雨A甲P(A1)＝13P(A2)＝12P(A3)＝16B乙P(B1)＝14P(B2)＝12P(B3)＝14C丙P(C1)＝16P(C2)＝16P(C3)＝23设“甲、乙、丙三地都恰为中雨”为事件E，则P(E)＝P(A2)P(B2)P(C2)＝12×12×16＝124.(2)设甲、乙、丙三地达到理想状态的概率分别为P1，P2，P3，则P1＝P(A2)＝12，P2＝P(B1)＝14，P3＝P(C2)＋P(C3)＝56.ξ的可能取值为0,1,2,3.P(ξ＝0)＝(1－P1)(1－P2)(1－P3)＝12×34×16＝116；P(ξ＝1)＝P1(1－P2)(1－P3)＋(1－P1)P2(1－P3)＋(1－P1)(1－P2)P3＝12×34×16＋12×14×16＋12×34×56＝1948；P(ξ＝2)＝(1－P1)P2P3＋P1(1－P2)P3＋P1P2(1－P3)＝12×14×56＋12×34×56＋12×14×16＝716；P(ξ＝3)＝P1P2P3＝12×14×56＝548.所以随机变量ξ的分布列为ξ0123P1161948716548所以数学期望E(ξ)＝116×0＋1948×1＋716×2＋548×3＝1912.16．(2015·山东淄博一模)中国男子篮球职业联赛总决赛采用七场四胜制(即先胜四场者获胜)．进入总决赛的甲、乙两队中，若每一场比赛甲队获胜的概率为23，乙队获胜的概率为13，假设每场比赛的结果相互独立．现已赛完两场，乙队以2∶0暂时领先．(1)求这次比赛甲队获胜的概率；(2)设比赛结束时两队比赛的场数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．答案(1)112243(2)48881解析(1)设甲队获胜为事件A，则甲队获胜包括甲队以4∶2获胜和甲队以4∶3获胜两种情况．设甲队以4∶2获胜为事件A1，则P(A1)＝(23)4＝1681.设甲队以4∶3获胜为事件A2，则P(A2)＝C34×(23)3×13×23＝64243.故P(A)＝P(A1)＋P(A2)＝1681＋64243＝112243.(2)随机变量X的所有可能取值为4,5,6,7.P(X＝4)＝(13)2＝19，P(X＝5)＝C12×13×23×13＝427，P(X＝6)＝C13×13×(23)2×13＋(23)4＝2881，P(X＝7)＝C14×13×(23)3＝3281，(或P(X＝7)＝C14×13×(23)3×13＋C34(23)3×13×23＝32243＋64243＝3281)所以X的分布列为X4567P1942728813281E(X)＝4×19＋5×427＋6×2881＋7×3281＝48881.17．(2014·湖南理)某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立．(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列和数学期望．答案(1)1315(2)140解析记E＝{甲组研发新产品成功}，F＝{乙组研发新产品成功}．由题设知P(E)＝23，P(E)＝13，P(F)＝35，P(F)＝25，且事件E与F，E与F，E与F，E与F都相互独立．(1)记H＝{至少有一种新产品研发成功}，则H＝EF，于是P(H)＝P(E)P(F)＝13×25＝215，故所求的概率为P(H)＝1－P(H)＝1－215＝1315.(2)设企业可获利润为X(万元)，则X的可能取值为0,100,120,220.因为P(X＝0)＝P(EF)＝13×25＝215，P(X＝100)＝P(EF)＝13×35＝15，P(X＝120)＝P(EF)＝23×25＝415，P(X＝220)＝P(EF)＝23×35＝25.故所求的分布列为X0100120220P2151541525数学期望为E(X)＝0×215＋100×15＋120×415＋220×25＝300＋480＋132015＝210015＝140.