新课标版数学（理）高三总复习：题组层级快练81

题组层级快练(八十一)(第一次作业)1．随机变量X的分布列为X124P0.40.30.3则E(5X＋4)等于()A．15B．11C．2.2D．2.3答案A解析∵E(X)＝1×0.4＋2×0.3＋4×0.3＝2.2，∴E(5X＋4)＝5E(X)＋4＝11＋4＝15.2．若X是离散型随机变量，P(X＝x1)＝23，P(X＝x2)＝13，且x1x2，又已知E(X)＝43，D(X)＝29，则x1＋x2的值为()A.53B.73C．3D.113答案C解析由已知得x1·23＋x2·13＝43，x1－432·23＋x2－432·13＝29，解得x1＝53，x2＝23或x1＝1，x2＝2.又∵x1x2，∴x1＝1，x2＝2，∴x1＋x2＝3.3．设投掷1颗骰子的点数为ξ，则()A．E(ξ)＝3.5，D(ξ)＝3.52B．E(ξ)＝3.5，D(ξ)＝3512C．E(ξ)＝3.5，D(ξ)＝3.5D．E(ξ)＝3.5，D(ξ)＝3516答案B4．某运动员投篮命中率为0.6，他重复投篮5次，若他命中一次得10分，没命中不得分；命中次数为X，得分为Y，则E(X)，D(Y)分别为()A．0.6,60B．3,12C．3,120D．3,1.2答案C解析X～B(5,0.6)，Y＝10X，∴E(X)＝5×0.6＝3，D(X)＝5×0.6×0.4＝1.2.D(Y)＝100D(X)＝120.5．已知随机变量X＋Y＝8，若X～B(10,0.6)，则E(Y)，D(Y)分别是()A．6和2.4B．2和2.4C．2和5.6D．6和5.6答案B解析由已知随机变量X＋Y＝8，所以Y＝8－X.因此，求得E(Y)＝8－E(X)＝8－10×0.6＝2，D(Y)＝(－1)2D(X)＝10×0.6×0.4＝2.4.6．若X～B(n，p)，且E(X)＝6，D(X)＝3，则P(X＝1)的值为()A．3·2－2B．2－4C．3·2－10D．2－8答案C解析∵E(X)＝np＝6，D(X)＝np(1－p)＝3，∴p＝12，n＝12，则P(X＝1)＝C112·12·(12)11＝3·2－10.7．签盒中有编号为1,2,3,4,5,6的六支签，从中任意取3支，设X为这3支签的号码之中最大的一个，则X的数学期望为()A．5B．5.25C．5.8D．4.6答案B解析由题意可知，X可以取3,4,5,6，P(X＝3)＝1C36＝120，P(X＝4)＝C23C36＝320，P(X＝5)＝C24C36＝310，P(X＝6)＝C25C36＝12.由数学期望的定义可求得E(X)＝5.25.8．有一批产品，其中有12件正品和4个次品，从中任取3件，若ξ表示取到次品的个数，则E(ξ)＝________.答案34解析次品个数ξ的可能取值为0,1,2,3，P(ξ＝0)＝C312C316＝1128，P(ξ＝1)＝C212C14C316＝3370，P(ξ＝2)＝C112C24C316＝970，P(ξ＝3)＝C34C316＝1140.ξ的分布列为ξ0123P112833709701140E(ξ)＝0×1128＋1×3370＋2×970＋3×1140＝66＋36＋3140＝34.9．(2014·浙江理)随机变量ξ的取值为0,1,2.若P(ξ＝0)＝15，E(ξ)＝1，则D(ξ)＝________.答案25解析设出ξ＝1，ξ＝2时的概率，利用分布列中概率之和为1及期望的公式求解．设P(ξ＝1)＝a，P(ξ＝2)＝b，则15＋a＋b＝1，a＋2b＝1，解得a＝35，b＝15.所以D(ξ)＝15＋35×0＋15×1＝25.10．某项游戏活动的奖励分成一、二、三等奖且相应获奖概率是以a1为首项，公比为2的等比数列，相应资金是以700元为首项，公差为－140元的等差数列，则参与该游戏获得资金的期望为________元．答案500解析∵a1＋2a1＋4a1＝1，∴a1＝17，E(ξ)＝17×700＋27×560＋47×420＝500元．11．体育课的排球发球项目考试的规则是每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为p(p≠0)，发球次数为X，若X的数学期望E(X)1.75，则p的取值范围．答案(0，12)解析由已知条件可得P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝(1－p)p，P(X＝3)＝(1－p)2p＋(1－p)3＝(1－p)2，则E(X)＝P(X＝1)＋2P(X＝2)＋3P(X＝3)＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2＝p2－3p＋31.75，解得p52或p12.又由p∈(0,1)，可得p∈(0，12)．12．(2014·重庆理)一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片．(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；(2)X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列与数学期望．(注：若三个数a，b，c满足a≤b≤c，则称b为这三个数的中位数．)答案(1)584(2)4728解析(1)由古典概型的概率计算公式知所求概率为p＝C34＋C33C39＝584.(2)X的所有可能值为1,2,3，且P(X＝1)＝C24C15＋C34C39＝1742，P(X＝2)＝C13C14C12＋C23C16＋C33C39＝4384，P(X＝3)＝C22C17C39＝112.故X的分布列为X123P17424384112从而E(X)＝1×1742＋2×4384＋3×112＝4728.13．(2015·山东潍坊一模)某次数学测验共有10道选择题，每道题共有四个选项，且其中只有一个选项是正确的，评分标准规定；每选对1道题得5分，不选或选错得0分．某考生每道题都选并能确定其中有6道题能选对，其余4道题无法确定正确选项，但这4道题中有2道题能排除两个错误选项，另2道只能排除一个错误选项，于是该生做这4道题时每道题都从不能排除的选项中随机选一个选项作答，且各题作答互不影响．(1)求该考生本次测验选择题得50分的概率；(2)求该考生本次测验选择题所得分数的分布列和数学期望．答案(1)136(2)1153解析(1)设选对一道“能排除2个选项的题目”为事件A，选对一道“能排除1个选项的题目”为事件B，则P(A)＝12，P(B)＝13.该考生选择题得50分的概率为P(A)·P(A)·P(B)·P(B)＝(12)2×(13)2＝136.(2)该考生所得分数X＝30,35,40,45,50，P(X＝30)＝(12)2×(1－13)2＝19，P(X＝35)＝C12(12)2·(23)2＋(12)2·C12·13×23＝13，P(X＝40)＝(12)2×(23)2＋C12·(12)2·C12·13×23＋(12)2×(13)2＝1336，P(X＝45)＝C12(12)2·(13)2＋(12)2·C12·13×23＝16，P(X＝50)＝(12)2×(13)2＝136.该考生所得分数X的分布列为X3035404550P1913133616136所以E(X)＝30×19＋35×13＋40×1336＋45×16＋50×136＝1153.14.将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球自由下落，小球在下落的过程中，将遇到黑色障碍物3次，最后落入A袋或B袋中．已知小球每次遇到障碍物时，向左、右两边下落的概率分别是13，23.(1)分别求出小球落入A袋或B袋中的概率；(2)在容器的入口处依次放入4个小球；记ξ为落入B袋中的小球个数．求ξ的分布列和数学期望．答案(1)13，23(2)E(ξ)＝83解析(1)记“小球落入A袋中”为事件M，“小球落入B袋中”为事件N，则事件M的对立事件为事件N，而小球落入A袋中当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下，故P(M)＝(13)3＋(23)3＝127＋827＝13.从而P(N)＝1－P(M)＝1－13＝23.(2)显然，随机变量ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4.且ξ～B(4，23)，故P(ξ＝0)＝C04(23)0×(13)4＝181，P(ξ＝1)＝C14(23)1×(13)3＝881，P(ξ＝2)＝C24(23)2×(13)2＝827，P(ξ＝3)＝C34(23)3×(13)1＝3281，P(ξ＝4)＝C44(23)4×(13)0＝1681.则ξ的分布列为ξ01234P18188182732811681故ξ的数学期望为E(ξ)＝4×23＝83.