新课标版数学（理）高三总复习：题组层级快练91

题组层级快练(九十一)1．直线x＝1＋tsin70°，y＝2＋tcos70°(t为参数)的倾斜角为()A．70°B．20°C．160°D．110°答案B解析将直线参数方程化为标准形式：x＝1＋tcos20°，y＝2＋tsin20°(t为参数)，则倾斜角为20°，故选B.2．若直线的参数方程为x＝1＋2t，y＝2－3t(t为参数)，则直线的斜率为()A.23B．－23C.32D．－32答案D3．下列参数方程与方程y2＝x表示同一曲线的是()A.x＝t，y＝t2(t为参数)B.x＝sin2t，y＝sint(t为参数)C.x＝t，y＝|t|(t为参数)D.x＝1－cos2t1＋cos2t，y＝tant(t为参数)答案D解析考查四个选项：对于A，消去t后所得方程为x2＝y，不符合y2＝x；对于B，消去t后所得方程为y2＝x，但要求0≤x≤1，也不符合y2＝x；对于C，消去t得方程为y2＝|x|，但要求y≥0，x∈R，也不符合y2＝x；对于D，x＝1－cos2t1＋cos2t＝2sin2t2cos2t＝tan2t＝y2即符合y2＝x.因此D是正确的，故选D.4．与参数方程为x＝t，y＝21－t(t为参数)等价的普通方程为()A．x2＋y24＝1B．x2＋y24＝1(0≤x≤1)C．x2＋y24＝1(0≤y≤2)D．x2＋y24＝1(0≤x≤1,0≤y≤2)答案D解析x2＝t，y24＝1－t＝1－x2，x2＋y24＝1，而t≥0,0≤1－t≤1，得0≤y≤2.5．参数方程x＝2cosθ，y＝sinθ(θ为参数)和极坐标方程ρ＝－6cosθ所表示的图形分别是()A．圆和直线B．直线和直线C．椭圆和直线D．椭圆和圆答案D解析参数方程x＝2cosθ，y＝sinθ(θ为参数)的普通方程为x24＋y2＝1，表示椭圆．极坐标方程ρ＝－6cosθ的直角坐标方程为(x＋3)2＋y2＝9，表示圆．6．参数方程x＝－3＋2cosθ，y＝4＋2sinθ(θ为参数)表示的曲线上的点到坐标轴的最近距离为()A．1B．2C．3D．4答案A解析参数方程x＝－3＋2cosθ，y＝4＋2sinθ(θ为参数)表示的曲线的普通方程为(x＋3)2＋(y－4)2＝4，这是圆心为(－3,4)，半径为2的圆，故圆上的点到坐标轴的最近距离为1.7．已知直线l：x＝t，y＝t＋1(t为参数)，圆C：ρ＝2cosθ，则圆心C到直线l的距离是()A．2B.3C.2D．1答案C解析直线l：x＝t，y＝t＋1(t为参数)的普通方程为x－y＋1＝0，圆C：ρ＝2cosθ的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，即(x－1)2＋y2＝1，则圆心C(1,0)到直线l的距离d＝|1－0＋1|2＝2.8．(2014·安徽理)以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程是x＝t＋1，y＝t－3(t为参数)，圆C的极坐标方程是ρ＝4cosθ，则直线l被圆C截得的弦长为()A.14B．214C.2D．22答案D解析由题意得直线l的方程为x－y－4＝0，圆C的方程为(x－2)2＋y2＝4.则圆心到直线的距离d＝2，故弦长＝2r2－d2＝22.9．圆C：x＝1＋2cosθ，y＝2＋2sinθ(θ为参数)的半径为______，若圆C与直线x－y＋m＝0相切，则m＝______.答案2，－1或3解析由题意知，圆C的普通方程为(x－1)2＋(y－2)2＝2，其半径r＝2.若圆C与直线x－y＋m＝0相切，则|1－2＋m|1＋1＝2，得|m－1|＝2，故m＝－1或3.10．(2014·重庆理)已知直线l的参数方程为x＝2＋t，y＝3＋t(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ－4cosθ＝0(ρ≥0,0≤θ＜2π)，则直线l与曲线C的公共点的极径ρ＝________.答案5解析直线l的普通方程为y＝x＋1，曲线C的直角坐标方程为y2＝4x，联立两方程，得y＝x＋1，y2＝4x，解得x＝1，y＝2.所以公共点为(1,2)．所以公共点的极径为ρ＝22＋1＝5.11．直线x＝2＋t，y＝－1－t(t为参数)与曲线x＝3cosα，y＝3sinα(α为参数)的交点个数为________．答案2解析方法一：由直线x＝2＋t，y＝－1－t(t为参数)与曲线x＝3cosα，y＝3sinα(α为参数)的参数方程，得(2＋t)2＋(－1－t)2＝9，整理，得t2＋3t－2＝0，方程有两个不相等的实数根，所以直线与曲线的交点个数有2个．方法二：将直线x＝2＋t，y＝－1－t(t为参数)与曲线x＝3cosα，y＝3sinα(α为参数)的参数方程分别化为直角坐标方程，得x＋y－1＝0，x2＋y2＝9.原点(圆心)到直线的距离为d＝12r＝3，所以直线与圆相交，交点个数为2.12．已知曲线C的参数方程为x＝1＋cosθ，y＝sinθ(θ为参数)，则曲线C上的点到直线2x－y＋2＝0的距离的最大值为________．答案45＋55解析将曲线C的参数方程x＝1＋cosθ，y＝sinθ(θ为参数)化为直角坐标方程，得(x－1)2＋y2＝1，这是圆心为(1,0)，半径为1的圆．圆心到直线2x－y＋2＝0的距离为d＝|2×1＋2|22＋－12＝455r＝1，故直线与圆相离，所以圆C上的点到直线的距离的最大值为d＋r＝455＋1＝45＋55.13．(2015·安徽合肥二检)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x＝－3t，y＝4＋t(t为参数)．以O为极点，射线Ox为极轴的极坐标系中，曲线C2的方程为ρ＝4sinθ，曲线C1与C2交于M，N两点，则线段MN的长度为________．答案2解析由题意，C1的参数方程x＝－3t，y＝4＋t转化为直角坐标方程为x＋3y－43＝0，C2的极坐标方程ρ＝4sinθ转化为直角坐标方程为x2＋y2＝4y，即x2＋(y－2)2＝22，圆心(0,2)到直线x＋3y－43＝0的距离为d＝|0＋23－43|12＋32＝3，所以|MN|＝222－32＝2.14．(2014·福建理)已知直线l的参数方程为x＝a－2t，y＝－4t(t为参数)，圆C的参数方程为x＝4cosθ，y＝4sinθ(θ为参数)．(1)求直线l和圆C的普通方程；(2)若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围．答案(1)l：2x－y－2a＝0，C：x2＋y2＝16(2)[－25，25]思路(1)通过消参，直线是代入消去法，圆是利用平方关系便可求得直线和圆的普通方程．在(2)中，利用直线和圆的位置关系，得d≤r，从而求得a的范围．解析(1)直线l的普通方程为2x－y－2a＝0，圆C的普通方程为x2＋y2＝16.(2)因为直线l与圆C有公共点，故圆C的圆心到直线l的距离d＝|－2a|5≤4，解得－25≤a≤25.15．(2014·江苏)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为x＝1－22t，y＝2＋22t(t为参数)，直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，求线段AB的长．答案82解析将直线l的参数方程x＝1－22t，y＝2＋22t代入抛物线方程y2＝4x，得(2＋22t)2＝4(1－22t)．解得t1＝0，t2＝－82.所以|AB|＝|t1－t2|＝82.16．在极坐标系中，已知点A(2，0)到直线l：ρsin(θ－π4)＝m(m0)的距离为3.(1)求实数m值；(2)设P是直线l上的动点，Q在线段OP上，且满足|OP||OQ|＝1，求点Q轨迹方程，并指出轨迹是什么图形．答案(1)m＝2(2)(x＋28)2＋(y－28)2＝116，轨迹是以(14，3π4)为圆心，14为半径的圆解析(1)以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系．则点A的直角坐标为(2，0)，直线l的直角坐标方程为x－y＋2m＝0.由点A到直线l的距离为d＝|2＋2m|2＝1＋m＝3，∴m＝2.(2)由(1)得直线l的方程为ρsin(θ－π4)＝2，设P(ρ0，θ0)，Q(ρ，θ)，则ρρ0＝1，θ＝θ0⇒ρ0＝1ρ，θ0＝θ.①因为点P(ρ0，θ0)在直线l上，所以ρ0sin(θ0－π4)＝2.②将①代入②得1ρsin(θ－π4)＝2，则点Q轨迹方程为ρ＝12sin(θ－π4)．化为直角坐标方程为(x＋28)2＋(y－28)2＝116.则点Q的轨迹是以(14，3π4)为圆心，14为半径的圆．17．(2015·衡水调研卷)已知直线l的参数方程为x＝－2＋tcosα，y＝tsinα(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2sinθ－2cosθ.(1)求曲线C的参数方程；(2)当α＝π4时，求直线l与曲线C交点的极坐标．答案(1)C：x＝－1＋2cosφ，y＝1＋2sinφ(φ为参数)(2)(2，π2)，(2，π)解析(1)由ρ＝2sinθ－2cosθ，可得ρ2＝2ρsinθ－2ρcosθ.所以曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝2y－2x，标准方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2.曲线C的极坐标方程化为参数方程为x＝－1＋2cosφ，y＝1＋2sinφ(φ为参数)．(2)当α＝π4时，直线l的方程为x＝－2＋22t，y＝22t，化成普通方程为y＝x＋2.由x2＋y2＝2y－2x，y＝x＋2，解得x＝0，y＝2或x＝－2，y＝0.所以直线l与曲线C交点的极坐标分别为(2，π2)，(2，π)．18．在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为x＝acosφ，y＝bsinφ(ab0，φ为参数)，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，已知曲线C1上的点M(2，3)对应的参数φ＝π3，射线θ＝π4与曲线C2交于点D(2，π4)．(1)求曲线C1，C2的普通方程；(2)已知A(ρ1，θ)，B(ρ2，θ＋π2)是曲线C1上的两点，求1ρ21＋1ρ22的值．答案(1)C1：x216＋y24＝1，C2：(x－1)2＋y2＝1(2)516解析(1)将M(2，3)及对应的参数φ＝π3代入x＝acosφ，y＝bsinφ(ab0，φ为参数)，得2＝acosπ3，3＝bsinπ3，解得a＝4，b＝2.∴曲线C1的方程为x216＋y24＝1.设圆C2的半径为r，则圆C2的方程为ρ＝2rcosθ，将点D(2，π4)代入得2＝2r·22，∴r＝1.∴圆C2的方程为(x－1)2＋y2＝1.(2)将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入曲线C1：x216＋y24＝1得极坐标方程为ρ2cos2θ16＋ρ2sin2θ4＝1，将A(ρ1，θ)，B(ρ2，θ＋π2)代入，得ρ21cos2θ16＋ρ21sin2θ4＝1，ρ22sin2θ16＋ρ22cos2θ4＝1，∴1ρ21＋1ρ22＝(cos2θ16＋sin2θ4)＋(sin2θ16＋cos2θ4)＝516.在平面直角坐标系xOy中，若直线l：x＝t，y＝t－a(t为参数)过椭圆C：x＝3cosφ，y＝2sinφ(φ为参数)的右顶点，则常数a的值为________．答案3解析由题意知在直角坐标系下，直线l的方程为y＝x－a，椭圆的方程为x29＋y24＝1，所以其右顶点为(3,0)．由题意知0＝3－a，解得a＝3.