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高考调研第1页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学(理)·高三总复习第二章函数与基本初等函数高考调研第2页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学(理)·高三总复习第3课时函数的单调性和最值高考调研第3页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学(理)·高三总复习1.理解函数的单调性及其几何意义.2.会运用函数图像理解和研究函数的性质.3.会求简单函数的值域,理解最大(小)值及几何意义.请注意函数的单调性是函数的一个重要性质,几乎是每年必考的内容,例如判断和证明单调性、求单调区间、利用单调性比较大小、求值域、最值或解不等式.高考调研第4页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学(理)·高三总复习课前自助餐授人以渔自助餐课外阅读题组层级快练高考调研第5页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学(理)·高三总复习课前自助餐高考调研第6页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学(理)·高三总复习1.单调性定义(1)单调性定义:给定区间D上的函数y=f(x),若对于∈D,当x1<x2时,都有f(x1)f(x2),则f(x)为区间D上的增函数,否则为区间D上的减函数.单调性与单调区间密不可分,单调区间是定义域的子区间.∀x1,x2<高考调研第7页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学(理)·高三总复习(2)证明单调性的步骤:证明函数的单调性一般从定义入手,也可以从导数入手.①利用定义证明单调性的一般步骤是a.∀x1,x2∈D,且,b.计算并判断符号,c.结论.②设y=f(x)在某区间内可导,若f′(x)0,则f(x)为增函数,若f′(x)0,则f(x)为减函数.x1x2f(x1)-f(x2)≥≤高考调研第8页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学(理)·高三总复习2.与单调性有关的结论(1)若f(x),g(x)均为某区间上的增(减)函数,则f(x)+g(x)为某区间上的函数.(2)若f(x)为增(减)函数,则-f(x)为函数.(3)y=f[g(x)]是定义在M上的函数,若f(x)与g(x)的单调性相同,则y=f[g(x)]是.若f(x)与g(x)的单调性相反,则y=f[g(x)]是.增(减)减(增)增函数减函数高考调研第9页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学(理)·高三总复习(4)奇函数在对称区间上的单调性,偶函数在对称区间上的单调性.(5)若函数f(x)在闭区间[a,b]上是减函数,则f(x)的最大值为,最小值为,值域为.相同相反f(a)f(b)[f(b),f(a)]高考调研第10页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学(理)·高三总复习3.函数的最值设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:①对于任意x∈I,都有,②存在x0∈I,使得,那么称M是函数y=f(x)的最大值;类比定义y=f(x)的最小值.f(x)≤Mf(x0)=M高考调研第11页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学(理)·高三总复习1.判断下列说法是否正确(打“√”或“×”).(1)函数y=|x|是R上的增函数.(2)函数y=的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞).(3)若函数y=f(x)在[1,+∞)上是增函数,则函数的单调递增区间是[1,+∞).(4)对于函数f(x),x∈D,若对任意x1,x2∈D,x1≠x2且(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]0,则函数f(x)在区间D上是增函数.答案(1)×(2)×(3)×(4)√高考调研第12页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学(理)·高三总复习2.(课本习题改编)已知f(x)=-2x2+x,x∈[-1,3],则其单调递减区间为________;f(x)min=________.答案[14,3],-15高考调研第13页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学(理)·高三总复习答案(1)(-∞,-1),(-1,+∞)(2)(-1,1]3.(1)函数y=1-x1+x的单调递减区间是______________;(2)函数y=1-x1+x的单调递减区间是________.高考调研第14页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学(理)·高三总复习解析(1)∵y=1-x1+x=-1+21+x,∴当1+x>0或1+x<0时,此函数均为减函数,故减区间为(-1,+∞),(-∞,-1).(2)由1-x1+x≥0,得x∈(-1,1],此即为递减区间.高考调研第15页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学(理)·高三总复习4.函数f(x)=log0.5(x2-2x-8)的单调递增区间________;单调递减区间________.答案(-∞,-2),(4,+∞)解析先求函数的定义域,令x2-2x-8>0,得x>4或x<-2,通过图像得函数u=x2-2x-8,在x>4时,单调递增,在x<-2时递减,所以原函数f(x)=log0.5(x2-2x-8)在(4,+∞)上递减,在(-∞,-2)上递增.高考调研第16页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学(理)·高三总复习讲评求函数的单调区间,应先确定函数的定义域,在定义域的基础上,划分单调增(减)区间,因此,函数的单调区间应是定义域的子集.高考调研第17页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学(理)·高三总复习5.已知函数f(x)是R上的增函数,对实数a,b,若a+b0,则有()A.f(a)+f(b)f(-a)+f(-b)B.f(a)+f(b)f(-a)+f(-b)C.f(a)-f(b)f(-a)-f(-b)D.f(a)-f(b)f(-a)-f(-b)答案A解析∵a+b0,∴a-b,b-a.∴f(a)f(-b),f(b)f(-a),∴选A.高考调研第18页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学(理)·高三总复习授人以渔高考调研第19页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学(理)·高三总复习题型一单调性的判断与证明例1已知a0,函数f(x)=x+ax(x0),证明:函数f(x)在(0,a]上是减函数,在[a,+∞)上是增函数.【解析】证明:设x1,x2是任意两个正数,且0x1x2,则f(x1)-f(x2)=(x1+ax1)-(x2+ax2)=x1-x2x1x2(x1x2-a).高考调研第20页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学(理)·高三总复习【答案】略当0x1x2≤a时,0x1x2a,又x1-x20,所以f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2).所以函数f(x)在(0,a]上是减函数;当a≤x1x2时,x1x2a,又x1-x20,所以f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2).所以函数f(x)在[a,+∞)上是增函数.高考调研第21页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学(理)·高三总复习探究1(1)判断函数的单调性有三种方法:①图像法;②利用已知函数的单调性;③定义法.(2)证明函数的单调性有两种方法:①定义法;②导数法.高考调研第22页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学(理)·高三总复习(1)若a=-2,试证f(x)在(-∞,-2)上单调递增;(2)若a0且f(x)在(1,+∞)上单调递减,求a的取值范围.思考题1【解析】(1)证明任设x1x2-2,则f(x1)-f(x2)=x1x1+2-x2x2+2=2x1-x2x1+2x2+2.∵(x1+2)(x2+2)0,x1-x20,∴f(x1)f(x2).∴f(x)在(-∞,-2)上单调递增.已知f(x)=xx-a(x≠a).高考调研第23页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学(理)·高三总复习【答案】(1)略(2)0a≤1(2)解任设1x1x2,则f(x1)-f(x2)=x1x1-a-x2x2-a=ax2-x1x1-ax2-a.∵a0,x2-x10,∴要使f(x1)-f(x2)0,只需(x1-a)(x2-a)0恒成立,∴a≤1.综上所述知0a≤1.高考调研第24页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学(理)·高三总复习例2求下列函数的单调区间.(1)f(x)=-x2+2|x|+3;题型二求函数的单调区间(2)f(x)=log12(-x2+4x+5);(3)y=x-lnx.【解析】(1)∵f(x)=-x2+2x+3x≥0,-x2-2x+3x0,高考调研第25页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学(理)·高三总复习其图像如图所示,所以函数y=f(x)的单调递增区间为(-∞,-1]和[0,1];单调递减区间为[-1,0]和[1,+∞).高考调研第26页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学(理)·高三总复习(2)令u=-x2+4x+5,则f(x)=log12u.∵u0,∴-1x5且x∈(-1,2],u为增函数;x∈(2,5)时,u为减函数.又y=log12u在(0,+∞)上为减函数,据复合函数同增异减,故f(x)的单调递增区间为(2,5);单调递减区间为(-1,2].高考调研第27页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学(理)·高三总复习由上表可知,函数的单调递增区间为(1,+∞),单调递减区间为(0,1).(3)由题意,得x0.y′=1-1x=x-1x.x(0,1)1(1,+∞)y′-0+y高考调研第28页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学(理)·高三总复习【答案】(1)单调递增区间为(-∞,-1],[0,1]单调递减区间为[-1,0],[1,+∞)(2)单调递增区间为(2,5),单调递减区间为(-1,2](3)单调递增区间为(1,+∞),单调递减区间为(0,1)高考调研第29页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学(理)·高三总复习探究2求函数的单调区间与确定单调性的方法一致.(1)利用已知函数的单调性,即转化为已知函数的和、差或复合函数,求单调区间.(2)定义法:先求定义域,再利用单调性定义.(3)图像法:如果f(x)是以图像形式给出的,或者f(x)的图像易作出,可由图像的直观性写出它的单调区间.(4)导数法:利用导数取值的正负确定函数的单调区间.(5)求复合函数的单调区间的一般步骤是:①求函数的定义域;②求简单函数的单调区间;③求复合函数的单调区间,依据是“同增异减”.(6)求函数单调区间,定义域优先.高考调研第30页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学(理)·高三总复习求下列函数的单调区间.(1)f(x)=x-|1-x|;思考题2(2)f(x)=13-2x-x2;(3)y=3x2-6lnx.【解析】(1)f(x)=2x-1x≤1,1x1,画图知单调递增区间为(-∞,1].高考调研第31页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学(理)·高三总复习(2)∵3-2x-x20,∴-3x1.由一元二次函数图像可知f(x)的单调递减区间为(-3,-1],单调递增区间为(-1,1).(3)y′=6x-6x=6x2-6x.∵定义域为(0,+∞),由y′0,得x1,∴单调递增区间为(1,+∞).由y′0,得0x1,∴单调递减区间为(0,1).高考调研第32页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学(理)·高三总复习【答案】(1)单调递增区间为(-∞,1](2)单调递减区间为(-3,-1],单调递增区间为(-1,1)(3)单调递增区间为(1,+∞),单调递减区间为(0,1)高考调研第33页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学(理)·高三总复习题型三利用单调性求最值例3已知f(x)=x2+2x+ax,x∈[1,+∞).(1)当a=12时,求函数f(x)的最小值;(2)若对任意x∈[1,+∞),f(x)0恒成立,试求实数a的取值范围.高考调研第34页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学(理)·高三总复习【解析】(1)当a=12时,f(x)=x+12x+2,联想到g(x)=x+1x的单调性,猜想到求f(x)的最值可先证明f(x)的单调性.任取1≤x1x2,则f(x1)-f(x2)=(x1-x2)+(12x1-12x2)=x1-x22x
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