新课标版数学（理）高三总复习之3-2导数及应用

高考调研第1页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习第三章导数及应用高考调研第2页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习第2课时导数的应用(一)——单调性高考调研第3页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习1．了解可导函数的单调性与其导数的关系．2．导数是研究函数性质的重要工具，它的突出作用是用于研究函数的单调性．每年高考都从不同角度考查这一知识点，往往与不等式结合考查．高考调研第4页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习请注意利用导数求单调性是高考的重要热点：1．若f(x)在区间(a，b)上为减函数，则不能得出在(a，b)上有f′(x)0；2．划分单调区间一定要先求函数定义域；3．单调区间一般不能并起来．高考调研第5页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习课前自助餐授人以渔自助餐题组层级快练高考调研第6页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习课前自助餐高考调研第7页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习函数的单调性(1)设函数y＝f(x)在某个区间内，若f′(x)0，则f(x)为增函数；若f′(x)0，则f(x)为减函数．可导高考调研第8页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习(2)求可导函数f(x)单调区间的步骤：①确定f(x)的；②求导数f′(x)；③令f′(x)0(或f′(x)0)，解出相应的x的范围；④当时，f(x)在相应区间上是增函数，当时，f(x)在相应区间上是减函数．定义域f′(x)0f′(x)0高考调研第9页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习1．函数y＝xcosx－sinx在下面哪个区间上是增函数()A．(π2，3π2)B．(π，2π)C．(3π2，5π2)D．(2π，3π)答案B高考调研第10页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习解析方法一：(分析法)计算函数在各个端点处的函数值，有下表：xπ2π3π22π5π23πy－1－π12π－1－3π由表中数据大小变化易得结论B项．方法二：(求导法)由y′＝－xsinx0，则sinx0，则π＋2kπx2π＋2kπ，k∈Z，故选B项．高考调研第11页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习2．设f(x)，g(x)在[a，b]上可导，且f′(x)g′(x)，则当axb时，有()A．f(x)g(x)B．f(x)g(x)C．f(x)＋g(a)g(x)＋f(a)D．f(x)＋g(b)g(x)＋f(b)答案C解析∵f′(x)g′(x)，∴[f(x)－g(x)]′0.∴f(x)－g(x)在[a，b]上是增函数．∴f(a)－g(a)f(x)－g(x)．即f(x)＋g(a)g(x)＋f(a)．高考调研第12页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习3．(课本习题改编)函数y＝3x2－2lnx的单调递增区间为________，单调递减区间为__________．答案(33，＋∞)，(0，33)高考调研第13页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习解析y′＝6x－2x＝6x2－2x.∵函数的定义域为(0，＋∞)，∴由y′0，得x33.∴单调递增区间为(33，＋∞)．由y′0，得0x33.∴单调递减区间为(0，33)．高考调研第14页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习4．若y＝x＋a2x(a＞0)在[2，＋∞)上是增函数，则a∈________.答案(0,2]解析由y′＝1－a2x2≥0，得x≤－a或x≥a.∴y＝x＋a2x的单调递增区间为(－∞，－a]，[a，＋∞)．∵函数在[2，＋∞)上单调递增，∴[2，＋∞)⊆[a，＋∞)，∴a≤2.又a0，∴0a≤2.高考调研第15页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习5．已知函数f(x)＝x2(x－a)．(1)若f(x)在(2,3)上单调，则实数a的取值范围是________；(2)若f(x)在(2,3)上不单调，则实数a的取值范围是________．答案(1)(－∞，3]∪[92，＋∞)(2)(3，92)高考调研第16页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习解析(2)由f(x)＝x3－ax2，得f′(x)＝3x2－2ax＝3x(x－2a3)．若f(x)在(2,3)上不单调，则有2a3≠0，22a33，可得3a92.高考调研第17页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习授人以渔高考调研第18页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习题型一求函数的单调区间例1(1)求函数f(x)＝x2＋1x－1的单调区间．(2)求函数f(x)＝x－2x的单调区间．(3)求函数f(x)＝sinx2＋cosx的单调区间．高考调研第19页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习【解析】(1)f(x)的定义域为{x|x∈R且x≠1}，f′(x)＝2xx－1－x2＋1x－12＝x2－2x－1x－12＝[x－1－2][x－1＋2]x－12.由f′(x)0，解得x1＋2或x1－2.由f′(x)0，解得1－2x1或1x1＋2.∴f(x)的单调递增区间是(－∞，1－2)，(1＋2，＋∞)，f(x)的单调递减区间是(1－2，1)，(1,1＋2)．高考调研第20页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习(2)f(x)的定义域为{x|x≥0}，f′(x)＝1－1x.令f′(x)＝0，得x＝1.当0x1时，f′(x)0.当x1时，f′(x)0.∴f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)．高考调研第21页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习(3)f′(x)＝2＋cosxcosx－sinx－sinx2＋cosx2＝2cosx＋12＋cosx2.当2kπ－2π3x2kπ＋2π3(k∈Z)时，cosx－12，即f′(x)0；当2kπ＋2π3x2kπ＋4π3(k∈Z)时，cosx－12，即f′(x)0.因此f(x)在区间(2kπ－2π3，2kπ＋2π3)(k∈Z)上是增函数，f(x)在区间(2kπ＋2π3，2kπ＋4π3)(k∈Z)上是减函数．高考调研第22页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习【答案】(1)单调递增区间是(－∞，1－2)，(1＋2，＋∞)，单调递减区间是(1－2，1)，(1,1＋2)(2)单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)(3)单调递增区间是(2kπ－2π3，2kπ＋2π3)(k∈Z)，单调递减区间是(2kπ＋2π3，2kπ＋4π3)(k∈Z)高考调研第23页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习探究1(1)求函数的单调区间注意先求定义域．(2)使f′(x)0的区间为f(x)的单调递增区间，使f′(x)0的区间为f(x)的单调递减区间．高考调研第24页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习思考题1(1)(2014·湖北高考题改编)求函数f(x)＝lnxx的单调区间．【解析】函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．因为f(x)＝lnxx，所以f′(x)＝1－lnxx2.当f′(x)0，即0xe时，函数f(x)单调递增；当f′(x)0，即xe时，函数f(x)单调递减．故函数f(x)的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e，＋∞)．高考调研第25页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习【答案】单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e，＋∞)高考调研第26页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习(2)(2014·重庆文)已知函数f(x)＝x4＋ax－lnx－32，其中a∈R，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝12x.①求实数a的值；②求函数f(x)的单调区间与极值．【解析】①对f(x)求导得f′(x)＝14－ax2－1x，由f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝12x知f′(1)＝－34－a＝－2，解得a＝54.高考调研第27页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习②由①知f(x)＝x4＋54x－lnx－32，则f′(x)＝x2－4x－54x2.令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝5.因为x＝－1不在f(x)的定义域(0，＋∞)内，故舍去．当x∈(0,5)时，f′(x)0，故f(x)在(0,5)内为减函数；当x∈(5，＋∞)时，f′(x)0，故f(x)在(5，＋∞)内为增函数．由此知函数f(x)在x＝5时取得极小值f(5)＝－ln5.高考调研第28页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习【答案】①54②单调递增区间为(5，＋∞)，单调递减区间为(0,5)，极小值为－ln5高考调研第29页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习题型二讨论函数的单调性例2(2014·湖南选编)已知常数a0，函数f(x)＝ln(1＋ax)－2xx＋2.讨论f(x)在区间(0，＋∞)上的单调性．高考调研第30页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习【解析】f′(x)＝a1＋ax－2x＋2－2xx＋22＝ax2＋4a－11＋axx＋22.当a≥1时，f′(x)0.此时f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增．当0a1时，由f′(x)＝0，得x1＝21－aax2＝－21－aa舍去.当x∈(0，x1)时，f′(x)0；当x∈(x1，＋∞)时，f′(x)0.故f(x)在区间(0，x1)上单调递减，在区间(x1，＋∞)上单调递增．高考调研第31页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习综上所述，当a≥1时，f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增；当0a1时，f(x)在区间0，21－aa上单调递减，在区间21－aa，＋∞上单调递增．【答案】a≥1时，单调递增区间为(0，＋∞)；0a1时，单调递减区间为(0,21－aa)，单调递增区间为(21－aa，＋∞)高考调研第32页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习探究2求含参数的函数单调性关键在于解含参数不等式时要合理分类讨论．高考调研第33页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习思考题2已知函数f(x)＝alnx＋2a2x＋x(a≠0)．(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线x－2y＝0垂直，求实数a的值；(2)讨论函数f(x)的单调性．高考调研第34页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习【解析】(1)f(x)的定义域为{x|x0}．f′(x)＝ax－2a2x2＋1(x0)．根据题意，有f′(1)＝－2.所以2a2－a－3＝0，解得a＝－1或a＝32.高考调研第35页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习(2)f′(x)＝ax－2a2x2＋1＝x2＋ax－2a2x2＝x－ax＋2ax2(x0)．①当a0时，因为x0，由f′(x)0，得(x－a)(x＋2a)0，解得xa；由f′(x)0，得(x－a)(x＋2a)0，解得0xa.所以函数f(x)在(a，＋∞)上单调递增，在(0，a)上单调递减．高考调研第36页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习②当a0时，因为x0，由f′(x)0，得(x－a)(x＋2a)0，解得x－2a；由f′(x)0，得(x－a)(x＋2a)0，解得0x－2a.所以函数f(x)在(0，－2a)上单调递减，在(－2a，＋∞)上单调递增．【答案】(1)－1或32(2)a0时，单调递增区间为(a，＋∞)，单调递减区间为(0，a)；a0时，单调递增区间为(－2a，＋∞)，单调递减区间为(0，－2a)高考调研第37页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习题型三利用单调性求参数