新课标版数学（理）高三总复习之3-3导数及应用

高考调研第1页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习第三章导数及应用高考调研第2页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习第3课时导数的应用(二)——极值与最值高考调研第3页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习理解极值的概念，会用导数求多项式函数的极大值、极小值及闭区间上的最大值、最小值或以极值、最值为载体求参数的范围．请注意极值与最值也是高考中的重中之重，每年必考，并且考查形式多样．高考调研第4页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习课前自助餐授人以渔自助餐题组层级快练高考调研第5页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习课前自助餐高考调研第6页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习1．函数的极值(1)设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)f(x0)，那么f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值＝f(x0)；如果对x0附近的所有的点，都有f(x)f(x0)，那么f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值＝f(x0)．极大值与极小值统称为极值．高考调研第7页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习(2)当函数f(x)在x0处连续时，判别f(x0)是极大(小)值的方法：如果xx0有f′(x)0，xx0有f′(x)0，那么f(x0)是极大值；如果xx0有f′(x)0，xx0有f′(x)0，那么f(x0)是极小值．高考调研第8页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习2．求可导函数f(x)极值的步骤(1)；(2)；(3)检验f′(x)在方程f′(x)＝0的的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数y＝f(x)在这个根处取得；如果在根的左侧附近为负，右侧附近为正，那么函数y＝f(x)在这个根处取得．求导数f′(x)求方程f′(x)＝0的根根左右的值极大值极小值高考调研第9页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习3．函数的最值的概念设函数y＝f(x)在上连续，在内可导，函数f(x)在[a，b]上一切函数值中的最大(最小)值，叫做函数y＝f(x)的最大(最小)值．4．求函数最值的步骤设函数y＝f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最值，可分两步进行：(1)；(2)．[a，b](a，b)求f(x)在(a，b)内的极值将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值高考调研第10页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习1．判断下列说法是否正确(打“√”或“×”)．(1)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的．(2)函数的极大值不一定比极小值大．(3)导数等于0的点一定是函数的极值点．(4)若x0是函数y＝f(x)的极值点，则一定有f′(x0)＝0.(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．(6)函数f(x)＝xsinx有无数个极值点．答案(1)×(2)√(3)×(4)√(5)√(6)√高考调研第11页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习2．函数y＝x3－3x2－9x(－2x2)有()A．极大值为5，极小值为－27B．极大值为5，极小值为－11C．极大值为5，无极小值D．极大值为－27，无极小值答案C解析y′＝3x2－6x－9＝3(x2－2x－3)＝3(x－3)(x＋1)，∴y′＝0时，x＝3或x＝－1.∵－2x2，∴x＝－1时，y＝5.x＝－1为极大值点，极大值为5，无极小值．高考调研第12页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习3．函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[0,3]上的最大值，最小值分别是()A．5，－15B．5，－4C．－4，－15D．5，－16答案A解析∵y′＝6x2－6x－12＝0，得x＝－1(舍去)或2，故函数y＝f(x)＝2x3－3x2－12x＋5在[0,3]上的最值可能是x取0,2,3时的函数值，而f(0)＝5，f(2)＝－15，f(3)＝－4，故最大值为5，最小值为－15，选A.高考调研第13页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习4．若函数y＝ex＋mx有极值，则实数m的取值范围()A．m0B．m0C．m1D．m1答案B解析y′＝ex＋m，则ex＋m＝0必有根，∴m＝－ex0.高考调研第14页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习5.若函数f(x)的导函数f′(x)的图像，如右图所示，则()A．x＝1是最小值点B．x＝0是极小值点C．x＝2是极小值点D．函数f(x)在(1,2)上单调递增答案C解析由导数图像可知，x＝0，x＝2为两极值点，x＝0为极大值点，x＝2为极小值点，选C.高考调研第15页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习授人以渔高考调研第16页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习例1设函数f(x)＝13x3－ax2－3a2x＋1(a0)．(1)求f′(x)的表达式；(2)求函数f(x)的单调区间、极大值和极小值．题型一利用导数研究函数极值高考调研第17页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习【解析】(1)f′(x)＝x2－2ax－3a2.(2)令f′(x)＝x2－2ax－3a2＝0，得x＝－a或x＝3a.则当x变化时，f(x)与f′(x)的变化情况如下表：x(－∞，－a)－a(－a,3a)3a(3a，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)递增53a3＋1递减－9a3＋1递增可知：当x∈(－∞，－a)时，函数f(x)为增函数；当x∈(3a，＋∞)时，函数f(x)也为增函数；高考调研第18页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习当x∈(－a,3a)时，函数f(x)为减函数．当x＝－a时，f(x)的极大值为53a3＋1；当x＝3a时，f(x)的极小值为－9a3＋1.【答案】(1)f′(x)＝x2－2ax－3a2(2)单调递增区间为(－∞，－a)，(3a，＋∞)；单调递减区间为(－a,3a)；极大值为53a3＋1，极小值为－9a3＋1高考调研第19页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习探究1掌握可导函数求极值的步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)用方程f′(x)＝0的根和不可导点的x的值顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并形成表格；(4)由f′(x)＝0的根左右的符号以及f′(x)在不可导点左右的符号来判断f′(x)在这个根或不可导点处取极值的情况，此步骤不可缺少，f′(x)＝0是函数有极值的必要条件．高考调研第20页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习已知函数f(x)＝x2－1－2alnx(a≠0)．求函数f(x)的极值．思考题1【解析】因为f(x)＝x2－1－2alnx(x0)，所以f′(x)＝2x－2ax＝2x2－ax.(1)当a0时，因为x0，且x2－a0，所以f′(x)0对x0恒成立．所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，f(x)无极值．高考调研第21页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习(2)当a0时，令f′(x)＝0，解得x1＝a，x2＝－a(舍去)．所以当x0时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0，a)a(a，＋∞)f′(x)－0＋f(x)递减极小值递增所以当x＝a时，f(x)取得极小值，且f(a)＝(a)2－1－2alna＝a－1－alna.高考调研第22页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习综上，当a0时，函数f(x)在(0，＋∞)上无极值．当a0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－1－alna.【答案】a0时f(x)无极值；a0时极小值为a－1－alna高考调研第23页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习例2已知f(x)＝ax5－bx3＋c(a0)．若f(x)在x＝±1处有极值，且极大值为4，极小值为1，求a，b，c.【思路】显然有f′(1)＝f′(－1)＝0.难点区分：x为何值f(x)取得极大值．x为何值f(x)取得极小值．题型二利用极值求参数值高考调研第24页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习【解析】f′(x)＝5ax4－3bx2＝x2(5ax2－3b)，依题意知x＝－1，x＝1为方程5ax2－3b＝0的两根．∴5a＝3b.∴f′(x)＝5ax2(x2－1)＝5ax2(x＋1)(x－1)．f(x)＝ax5－53ax3＋c.∵a0，∴f(x)与f′(x)变化情况如下表：高考调研第25页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习x(－∞，－1)－1(－1,0)0(0,1)1(1，＋∞)f′(x)＋0－0－0＋f(x)23a＋cc－23a＋c∴23a＋c＝4，－23a＋c＝1，解得a＝94，c＝52，b＝154.高考调研第26页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习【答案】a＝94，c＝52，b＝154.探究2已知极值求参数值或范围时，关键是利用单调性判断出哪个是极大值点，哪个是极小值点．高考调研第27页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习(1)若函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋6有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是________．【解析】f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)．令3x2＋6ax＋3(a＋2)＝0，即x2＋2ax＋a＋2＝0.∵函数f(x)有极大值和极小值，∴方程x2＋2ax＋a＋2＝0有两个不相等的实根．即Δ＝4a2－4a－80，∴a2或a－1.【答案】a2或a－1思考题2高考调研第28页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习(2)已知函数f(x)＝x3－3ax2＋3x＋1.①设a＝2，求f(x)的单调区间；②设f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点，求实数a的取值范围．【解析】(1)当a＝2时，f(x)＝x3－6x2＋3x＋1，f′(x)＝3x2－12x＋3＝3(x－2＋3)(x－2－3)．当x∈(－∞，2－3)时，f′(x)0，f(x)在(－∞，2－3)上单调递增；高考调研第29页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习当x∈(2－3，2＋3)时，f′(x)0，f(x)在(2－3，2＋3)上单调递减；当x∈(2＋3，＋∞)时，f′(x)0，f(x)在(2＋3，＋∞)上单调递增．综上，f(x)的单调增区间是(－∞，2－3)和(2＋3，＋∞)，f(x)的单调减区间是(2－3，2＋3)．高考调研第30页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习②f′(x)＝3x2－6ax＋3＝3[(x－a)2＋1－a2]．当1－a2≥0时，f′(x)≥0，f(x)为增函数，故f(x)无极值点；当1－a20时，f′(x)＝0有两个根x1＝a－a2－1，x2＝a＋a2－1.由题意，知2a－a2－13，(*)或2a＋a2－13，(**)(*)无解，(**)的解为54a53.因此实数a的取值范围为(54，53)．高考调研第31页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习【答案】①单调递增区间为(－∞，2－3)，(2＋3，＋∞)，单调递减区间为(2－3，2＋3)②(54，53)高考调研第32页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习例3(2014·衡水中学调研)已知a为实数，且函数f(x)＝(x2－4)(x－a)．(1)求导函数f′(x)；(2)若f′(－1)＝0，求函数f(x)在[－2,2]上的最大值、最小值．【解析】(1)由f(x)＝x3－ax2－4x＋4a，得f′(x)＝3x2－2ax－4.题型三利用导数求函数的最值高考调研第33页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习(2)因为f′(－1)＝0，所以a＝12.∴f(x)＝x3－12x2－4x＋2，f′(x)＝3x2－x－4.令f′(x)＝0，则x＝43或x＝－1.又