新课标版数学（理）高三总复习之3-4导数及应用

高考调研第1页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习第三章导数及应用高考调研第2页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习第4课时定积分与微积分基本定理高考调研第3页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习1．了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念．2．了解微积分基本定理的含义．请注意本节为新增内容，高考中多以选择填空题形式考查，主要借助微积分基本定理求定积分或解决几何或物理知识．高考调研第4页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习课前自助餐授人以渔题组层级快练高考调研第5页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习课前自助餐高考调研第6页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习1．定积分的定义如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0x1…xi－1xi…xn＝b，将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个区间[xi－1，xi]上取一点ξi(i＝1,2，…，n)，作和式＝，当n→＋∞时，高考调研第7页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上定积分，记作，即abf(x)dx＝．其定义体现求定积分的四个步骤：①；②；③；④．分割近似代替取和取极限高考调研第8页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习2．定积分运算律(1)abkf(x)dx＝；(2)ab[f1(x)±f2(x)]dx＝；(3)abf(x)dx＝．kabf(x)dxabf1(x)dx±abf2(x)dxacf(x)dx＋cbf(x)dx(acb)高考调研第9页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习3．微积分基本定理一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么，这个结论叫做微积分基本定理．abf(x)dx＝F(x)|ba＝F(b)－F(a)高考调研第10页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习4．定积分的几何和物理应用(1)①如图所示，由曲线y1＝f1(x)，y2＝f2(x)(不妨设f1(x)≥f2(x)≥0)及直线x＝a，x＝b(ab)围成图形的面积为：高考调研第11页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习②如图所示，在区间[a，b]上，若f(x)≤0，则曲边梯形的面积为：高考调研第12页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习(2)作变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v＝v(t)[v(t)≥0]在时间区间[a，b]上的定积分，即s＝.(3)如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从x＝a移动到x＝b(ab)，那么变力F(x)所做的功W＝.abv(t)dtabF(x)dx高考调研第13页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习1．判断下列说法是否正确(打“√”或“×”)．(1)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续，则abf(x)dx＝abf(t)dt.(2)若abf(x)dx0，则由y＝f(x)，x＝a，x＝b以及x轴所围成的图形一定在x轴下方．高考调研第14页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习答案(1)√(2)×(3)√(4)√高考调研第15页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习2．(教材改编题)求曲线y＝x2与y＝x所围成图形的面积，其中正确的是()A．S＝01(x2－x)dxB．S＝01(x－x2)dxC．S＝01(y2－y)dyD．S＝01(y－y)dy答案B高考调研第16页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习3．(2014·陕西理)定积分01(2x＋ex)dx的值为()A．e＋2B．e＋1C．eD．e－1答案C解析01(2x＋ex)dx＝(x2＋ex)|10＝(1＋e)－(0＋e0)＝e，因此选C.高考调研第17页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习答案－24．若01f(x)dx＝1，02f(x)dx＝－1，则12f(x)dx＝________.解析∵02f(x)dx＝01f(x)dx＋12f(x)dx，∴12f(x)dx＝02f(x)dx－01f(x)dx＝－1－1＝－2.高考调研第18页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习5．若0Tx2dx＝9，则常数T的值为________．答案3解析∵0Tx2dx＝13T3＝9，T0，∴T＝3.高考调研第19页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习授人以渔高考调研第20页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习例1计算以下定积分：题型一求定积分高考调研第21页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习【解析】(1)函数y＝2x2－1x的一个原函数是y＝23x3－lnx，所以12(2x2－1x)dx＝(23x3－lnx)|21＝163－ln2－23＝143－ln2.高考调研第22页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习(2)函数y＝sinx－sin2x的一个原函数是y＝－cosx＋12cos2x，所以(sinx－sin2x)dx＝(－cosx＋12cos2x)＝(－12－14)－(－1＋12)＝－14.高考调研第23页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习(3)12|3－2x|dx高考调研第24页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习(4)y＝1－x2，∴x2＋y2＝1，y≥0.∴011－x2dx几何意义为14个圆的面积．∴011－x2dx＝14π.【答案】(1)143－ln2(2)－14(3)12(4)π4高考调研第25页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习探究1(1)计算一些简单的定积分，解题的步骤是：①把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差；②把定积分变形为求被积函数为上述函数的定积分；③分别用求导公式找到一个相应的原函数；④利用微积分基本定理求出各个定积分的值；⑤计算原始定积分的值．(2)对于不便求出被积函数的原函数的，可考虑用定积分的几何意义求解．高考调研第26页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习求下列积分：思考题1【解析】(1)12(x2＋2x＋1)dx＝12x2dx＋122xdx＋121dx＝x33|21＋x2|21＋x|21＝193.高考调研第27页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习(2)23(x＋1x)2dx＝23(x＋1x＋2)dx＝(12x2＋lnx＋2x)|32＝(92＋ln3＋6)－(2＋ln2＋4)＝ln32＋92.高考调研第28页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习例2求由曲线y＝x2和直线y＝x和y＝2x围成的图形的面积．题型二求平面图形的面积【解析】方法一：如图(1)所示，所求的面积S＝S△AOC＋S1，其中S1是线段AC，BC和抛物线段AB围成的区域的面积．由y＝x2，y＝x和y＝x2，y＝2x分别解出O，A，B三点的横坐标分别是0,1,2.高考调研第29页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习因为(x22)′＝x，(x2－x33)′＝2x－x2，故所求的面积S＝01(2x－x)dx＋12(2x－x2)dx＝x22|10＋(x2－x33)|21＝12－0＋(4－83)－(1－13)＝76.高考调研第30页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习方法二：如图(1)所示，所求的面积可以写成S＝S△OBD－S2，其中S2是由线段BD，AD及抛物线段AB所围成的区域的面积．由于D的横坐标也是2，又(x22)′＝x，(x33－x22)′＝x2－x.故S＝02(2x－x)dx－12(x2－x)dx＝x22|20－(x33－x22)|21＝2－(83－2)＋(13－12)＝76.高考调研第31页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习方法三如图(2)，把整个区域上定积分问题，转化成y是自变量的情况．由方法一知O，A，B三点的纵坐标分别是0,1,4，故所求的面积S＝S△AEO＋S3，其中S3是两线段BE，AE和抛物线段AB围成的区域的面积．因为(14y2)′＝y2，(23y32－y24)′＝y－y2，故S＝01(y－y2)dy＋14(y－y2)dy高考调研第32页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习探究2(1)求由曲线围成的平面图形面积的一般步骤为：①画草图；②求曲线的交点定出积分上、下限；③确定被积函数，但要保证求出的面积是非负的；④写出定积分并计算，用微积分基本定理公式计算时，要认真、细致，按步骤来做，不要急于求成，以保证答案的准确性．(2)被积函数较复杂或积分区间不易确定有时可通过转换积分变量进行简化计算．高考调研第33页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习(1)(2014·山东理)直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为()思考题2A．22B．42C．2D．4高考调研第34页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习【解析】由y＝4x，y＝x3，解得x＝－2或x＝0或x＝2.所以直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形面积应为S＝02(4x－x3)dx＝(2x2－14x4)|20＝(2×22－14×24)－0＝4.【答案】D高考调研第35页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习(2)若定积分－x2－2xdx＝π4，则m等于()A．－1B．0C．1D．2高考调研第36页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习【解析】根据定积分的几何意义知，定积分m－2－x2－2xdx的值，就是函数y＝－x2－2x的图像与x轴及直线x＝－2，x＝m所围成图形的面积，y＝－x2－2x是一个半径为1的半圆，其面积等于π2，而－x2－2xdx＝π4，即在区间[－2，m]上该函数图像应为14个圆，于是得m＝－1.故选A.【答案】A高考调研第37页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习例3(1)A，B两站相距7.2km，一辆电车从A站开往B站．电车行驶ts后到达途中C点，这一段速度为1.2tm/s，到C点的速度达24m/s，从C点到B点站前的D点以等速行驶，从D点开始刹车，经ts后，速度为(24－1.2t)m/s，在B点恰好停车，试求：①A，C间的距离；②B，D间的距离．题型三定积分的物理应用高考调研第38页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习【解析】①设A到C经过t1s，由1.2t1＝24，得t1＝20s．所以AC＝1.2tdt＝0.6t2＝240(m)．②设从D到B经过t2s，由24－1.2t2＝0，得t2＝20s.所以DB＝(24－1.2t)dt＝240m.【答案】①240m②240m高考调研第39页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习(2)设力F(x)作用在质点M上，使M沿x轴正向从x＝1运动到x＝10，已知F(x)＝x2＋1且和x轴正向相同，求力F(x)对质点M所作的功．【答案】342J高考调研第40页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习探究3例3(1)做变速运动的物体经过的路程s，等于其速度函数v＝v(t)(v≥0)在时间区间[a，b]上的定积分，也就是s＝abv(t)dt.需根据题意写出函数v＝v(t)，确定时间区间，用定积分求解．物体作变速直线运动的速度v，等于加速度函数a＝a(t)在时间区间[a，