九年级数学下册 第一章直角三角形的边角关系 1 从梯子的倾斜程度谈起第1课时习题课件 北师大版

第一章直角三角形的边角关系1从梯子的倾斜程度谈起第1课时1.能够用正切表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，能够用正切进行简单计算．(重点)2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系.(难点)1.正切与梯子的倾斜程度如图,梯子斜靠在墙上.【思考】(1)△AB1C1与△AB2C2相似吗?为什么?提示:△AB1C1与△AB2C2相似.∵∠A=∠A,∠AC1B1=∠AC2B2=90°,∴△AB1C1∽△AB2C2.(2)如果改变B2在梯子上的位置,那么△AB1C1与△AB2C2_____(填“相似”或“不相似”).相似(3)根据以上探究可知，无论B2在梯子上的哪个位置，都有(4)梯子的倾斜程度与上面的比值有何关系？提示：上面的比值越大，梯子越陡.222BC.AC111BCAC【总结】(1)正切的定义:在Rt△ABC中,如果锐角A确定,那么∠A的_____与_____的比便随之确定,这个比叫做∠A的正切,记作_____.(2)梯子的倾斜程度与正切的关系:如果梯子与地面的夹角为∠A,那么tanA的值_____,梯子越陡.对边邻边tanA越大2.坡度坡面的_________与_________的比称为坡度(或_____),山坡的坡度常用_____描述.铅直高度水平宽度坡比正切(打“√”或“×”)(1)一个角所在的直角三角形越大，这个角的正切值也越大.()(2)一个角的正切值只与这个角的大小有关.()(3)只有直角三角形中的角才有正切值.()(4)一个斜坡的坡角越大，坡度也越大.()(5)在△ABC中，()ACtanA.BC×√×√×知识点1求锐角的正切值【例1】已知△ABC中，AB=AC，BD是AC边上的中线，AB=13，BC=10.求tan∠DBC的值．【思路点拨】作高AH，DF⊥BC→求出AH的长→求出DF的长→在Rt△DBF中求出tan∠DBC的值.【自主解答】过点A,D分别作AH⊥BC,DF⊥BC，垂足分别为点H,F.∵AB=AC，AH⊥BC，在Rt△ABH中，∵AH∥DF，且BD是AC边上的中线，∴在Rt△DBF中，11BHBC105.222222AHABBH13512.－－1DFAH6CFFH2，，3315BFBC10442，DF4tanDBC.BF5【总结提升】利用定义求锐角的正切值的“三步法”1.观察：观察所给的锐角是否在直角三角形中.2.转化：如果所给的锐角不在直角三角形中，可通过作辅助线构造直角三角形或利用等量关系代换将锐角“转移”到直角三角形中.3.求解：在直角三角形中求出这个角的对边与邻边的比值，就是这个角的正切值.知识点2正切的应用【例2】如图，一段河坝的横断面为梯形ABCD，试根据图中的数据，求出坝底宽AD．(i=CE∶ED，单位：m)【解题探究】1.ED与CE有什么关系?ED的长是多少?提示:∵i=CE∶ED=1∶2,∴ED=2CE=2×4=8(m).2.如图,过点B作BF⊥AD于F,则四边形BFEC是什么形状的特殊四边形?EF,BF的长是多少?提示:四边形BFEC是正方形,则EF=BF=BC=4m.3.可求出AF的长是多少？那么即可求出坝底宽AD.提示：在Rt△ABF中，由勾股定理可得：根据以上探究，可得坝底AD＝AF+FE+ED＝3+4+8＝15(m)．22AF543m－．【互动探究】在上题中，斜坡AB的坡度是多少？提示：在Rt△AFB中，因BF=4，AF=3，所以斜坡AB的坡度为4.3【总结提升】坡度的常见用法和两点注意坡度的常见用法：(1)坡度常和实际生活中的问题相结合，如拦水坝、开渠、修路等.(2)坡度常和梯形的知识相结合，解题时常把梯形转化为三角形和矩形求解.两点注意：(1)坡度是两条线段的比值，不是度数.(2)坡度是铅直高度与水平宽度的比，而不是斜面距离与水平宽度(或铅直高度)的比.题组一：求锐角的正切值1.如图，在8×4的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为()112ABCD3322．．．．【解析】选A．如图，在网格中构造含有∠ACB的Rt△ACD，在该三角形中AD21AD2DC6tanACBDC63，，．2.某时刻海上点P处有一客轮，测得灯塔A位于客轮P的北偏东30°方向，且相距20海里．客轮以60海里/小时的速度沿北偏西60°方向航行小时到达B处，那么tan∠ABP＝()231525AB2CD255．．．．【解析】选A．如图，在△PAB中，∠APB＝60°＋30°＝90°，PA＝20海里，(海里)，故2PB60403＝＝PA201tanABP.PB402＝3.(2013·济南中考)已知直线l1∥l2∥l3∥l4，相邻的两条平行直线间的距离均为h，矩形ABCD的四个顶点分别在这四条直线上，放置方式如图所示，AB=4，BC=6，则tanα的值等于()2343A.B.C.D.3432【解析】选C.如图，作AM⊥l4于点M，作CN⊥l4于点N，则AM=h，CN=2h，∠ABM+∠BAM=90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，∴∠ABM+∠α=90°，∴∠BAM=∠α，∴△ABM∽△BCN，∴BM=AM·tanα=htanα，∴BMCN.ABBC44htan2htan.63，4.在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4，则tanA=______.【解析】由勾股定理，得答案：2222ACABBC543，BC4tanA.AC3435.如图，在△ABC中，AC＝4，BC＝3，CD⊥AB于点D，BD＝2,求tanA，tanB的值.【解析】在Rt△BDC中，BC＝3，BD＝2，在Rt△ADC中,2222CDBCBD325.－－CD5tanB.BD2＝AC4,CD5,＝＝2222ADACCD4(5)11.－－CD555tanA.AD1111＝题组二：正切的应用1.如图，在平地上种植树木时，要求株距(相邻两树间的水平距离)为4m.如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4m,那么相邻两树间的坡面距离为()A.5mB.6mC.7mD.8m【解析】选A.由题意可得,如图，AC=4m，tanA=0.75,则故BC=3m，则BC0.75,422AB345m.2.(2013·聊城中考)河堤横断面如图所示，堤高BC=6m，迎水坡AB的坡比为则AB的长为()A.12mB.43mC.53mD.63m13∶，【解析】选A.在Rt△ABC中，1BCtanA,BC6m,AC322AC63m,ABBCAC12m.【变式备选】河堤横断面如图所示，迎水坡AB的坡比为AB的长是10m，则堤高BC=______m．13∶，【解析】在Rt△ABC中，答案：5BC1tanAAC3＝，222AC3BC.ABBCAC，22210BC(3BC)BC5m，．3.(2013·安顺中考)在Rt△ABC中，则△ABC的面积为______.【解析】∵Rt△ABC中，解得CA=6，答案：244C90,tanA,BC8,3＝4C90tanABC83，，，BC84tanACACA3，ABC1S86242△．4.某人沿着有一定坡度的坡面前进了10m，此时他与水平地面的垂直距离为则这个坡面的坡度为______．【解析】如图，由勾股定理，得∴斜坡AB的坡度答案：1∶225m，AB10mBC25m，，22ACABBC1002045m－－，iBCAC254512.∶∶∶5.如图,拦水坝的横断面为梯形ABCD,坝顶宽AD=5m,斜坡AB的坡度i=1∶3(指坡面的铅直高度AE与水平宽度BE的比),斜坡DC的坡度i=1∶1.5,已知该拦水坝的高为6m.(1)求斜坡AB的长.(2)求拦水坝的横断面梯形ABCD的周长.(注意：本题中的计算过程和结果均保留根号)【解析】(1)在Rt△ABE中，根据勾股定理得，答：斜坡AB的长为AE1AE6mBE3AE18m.BE3，，2222ABAEBE618610m.610m.(2)过点D作DF⊥BC于点F，∴四边形AEFD是矩形.∴EF=AD=5m.又DF2DFAE6mCF3，，3CFDF9m.2∴BC=BE＋EF＋FC=18＋5＋9=32(m).在Rt△DCF中，根据勾股定理得，∴梯形ABCD的周长为AB＋BC＋CD＋DA答：梯形ABCD的周长为2222DCDFCF69313m.61032313537610313m.(37610313)m.【想一想错在哪？】如图，△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，△ABC的面积是多少？3tanB2，提示：对正切的定义理解不透彻，搞错了边之间的比.