九年级数学下册 第29章几何的回顾29.1几何问题的处理方法 2几何问题的处理方法第2课时课件 华东

第2课时1.平行四边形的性质.(1)平行四边形两组对边分别_____且_____；(2)平行四边形两组对角分别_____；(3)平行四边形对角线互相_____.平行相等相等平分2.矩形、菱形和正方形的性质．(1)矩形的性质①矩形的四个角都是_____；②矩形的对角线_______________．(2)菱形的性质①菱形的四条边都_____；②菱形的对角线互相_____,并且每条对角线_____一组对角．(3)正方形具有_____与_____的所有性质.直角相等且互相平分相等垂直平分矩形菱形3.等腰梯形的性质.(1)等腰梯形_______上的两个内角相等；(2)等腰梯形的_______相等．同一底对角线【预习思考】1.平行四边形的定义和性质在几何证明中的作用是什么？提示：平行四边形的定义和性质是今后证明线段相等、两角相等、两直线平行或垂直的重要依据.2.研究平行四边形的规律方法：提示：在研究平行四边形所具有的特性(即性质)及平行四边形的识别(即判定)时,应用数形结合、转化等数学思想,将其转化为三角形问题,借助三角形的相关知识使平行四边形的性质和判定得以展现.平行四边形判定与性质的应用【例1】(2012·泰州中考)如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AE⊥AD交BD于点E，CF⊥BC交BD于点F，且AE=CF．求证：四边形ABCD是平行四边形．【解题探究】(1)试证明△ADE≌△CBF.证明：∵AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD.∵AE⊥AD，CF⊥BC，∴∠EAD=∠FCB=90°.∵AE=CF，∴△ADE≌△CBF,(2)AD和BC相等吗？答：AD=BC.(3)∵AD____BC，∴四边形ABCD是平行四边形.【规律总结】平行四边形的五种判定方法1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；4.对角线互相平分的四边形是平行四边形；5.两组对角分别相等的四边形是平行四边形．【跟踪训练】1.(2012·聊城中考)如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BC上.如果点F是边AD上的点，那么△CDF与△ABE不一定全等的条件是()(A)DF=BE(B)AF=CE(C)CF=AE(D)CF∥AE【解析】选C.结合平行四边形性质，如果DF=BE，则与∠D=∠B，CD=AB，恰好满足(S.A.S.)全等条件，即△CDF≌△ABE；如果AF=CE，因为AD=CB，所以DF=BE，结合选项A，能够判断△CDF≌△ABE；如果CF=AE，判断两三角形全等条件不具备；如果CF∥AE，则四边形AECF是平行四边形，则有AF=CE，结合选项B，能够判断△CDF≌△ABE.2.(2012·河北中考)如图，在□ABCD中，∠A=70°，将□ABCD折叠，使点D，C分别落在点F，E处(点F，E都在AB所在的直线上)，折痕为MN，则∠AMF等于()(A)70°(B)40°(C)30°(D)20°【解析】选B.由□ABCD折叠得∠DMN=∠NMF=∠A=70°，∴∠AMF=180°-70°-70°=40°.殊平行四边形的性质与判定【例2】(10分)(2011·滨州中考)如图,在△ABC中,点O是AC边上(端点除外)的一个动点,过点O作直线MN∥BC.设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F,连结AE，AF.那么当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形？并证明你的结论.易错提醒:不要忘记把OA=OC作为已知条件运用！【规范解答】当点O运动到AC的中点(或OA=OC)时,四边形AECF是矩形.………………………………………2分理由如下：∵CE平分∠BCA,∴∠1=∠2.........................3分又∵MN∥BC,∴∠1=∠3．∴∠3=∠2,∴EO=CO………………………………………5分同理,FO=CO…………………………………………………6分∴EO=FO.又OA=OC,∴四边形AECF是平行四形……………………………………7分又∵∠1=∠2,∠4=∠5,∴∠1+∠5=∠2+∠4…………………………………………8分又∵∠1+∠5+∠2+∠4=180,∴∠2+∠4=90°………………………………………………9分∴四边形AECF是矩形…………………………………………10分【规律总结】判定正方形常出现的三种错误1.四条边相等就直接判定为正方形；2.四个角为直角就判定为正方形；3.对角线相等且垂直就判定为正方形．【跟踪训练】3.(2011·包头中考)已知菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,∠BAD=120°,AC=4,则该菱形的面积是()(A)(B)16(C)(D)8【解析】选C.因为∠BAD=120°,所以∠ABC=60°,所以菱形被分成两个等边三角形,因为AC=4，故所以BD=面积16383AO2,BO23,43,1S44383.24.(2012·黔东南中考)点P是正方形ABCD边AB上一点(不与A，B重合)，连结PD并将线段PD绕点P顺时针旋转90°，得线段PE，连结BE，则∠CBE等于()(A)75°(B)60°(C)45°(D)30°【解析】选C.延长AB，过E作AB的延长线的垂线交于点F,由线段PD绕点P顺时针旋转90°得线段PE，可知DP=EP,∠DPE=90°，所以∠EPF+∠DPA=90°,而∠ADP+∠DPA=90°,所以∠EPF=∠ADP.又因为∠DAP=∠PFE=90°，所以△ADP≌△FPE,所以AP=FE,AD=FP=AB,所以BF+PB=AP+PB,所以BF=AP,所以FE=BF,所以∠EBF=∠BEF=45°，所以∠CBE=90°-45°=45°.等腰梯形的性质与判定【例3】(6分)如图在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,∠C=60°,AD=10,AB=18,求BC的长.【规范解答】如图,过D点作DE∥AB交BC于E.………………………………2分∵AD∥BC,∴BE=AD=10,DE=AB=DC=18,…………………………………………………4分∵∠B=∠C=60°,∴EC=DC=DE=18,∴BC=BE+EC=10+18=28.………………………………………6分【一题多解】方法一：如图,分别过A,D两点作AE⊥BC,DF⊥BC,垂足分别为E和F,∵AD∥BC,AB=CD，∴∠B=∠C=60°,EF=AD=10,∠BAE=∠CDF=30°,∴Rt△ABE≌Rt△DCF,∴BE=CF=AB=9,∴BC=BE+EF+FC=9+10+9=28.12方法二：如图,分别延长BA,CD交于点E.∵AD∥BC,AB=CD,∴∠B=∠C=60°,∠EAD=∠EDA,∴△EBC与△EAD均为等边三角形,∴BC=BE=AB+AE=AB+AD=18+10=28.方法三：如图,过点C作CE∥BA交AD的延长线于点E.∵AD∥BC,∴四边形ABCE是平行四边形,∠BCD=∠CDE=60°,又∠B=∠E=60°,∴AB=EC=DC=18,∴△DEC是等边三角形,∴DE=AB=18,∴BC=AD+DE=10+18=28.【规律总结】梯形常作辅助线“五种方法”1.“平移腰”：把梯形分成一个平行四边形和一个三角形；2.“作高”：使两腰在两个直角三角形中；3.“平移对角线”：使两条对角线在同一个三角形中；4.“延腰”：构造具有公共角的两个等腰三角形；5.“等积变形”：连结梯形上底一端点和另一腰中点,并延长与下底延长线交于一点,构成三角形．【跟踪训练】5.(2011·武汉中考)如图,在梯形ABCD中,AB∥DC,AD=DC=CB,若∠ABD=25°,则∠BAD的大小是()(A)40°(B)45°(C)50°(D)60°【解析】选C.由CB=DC,AB∥DC可得∠CBD=∠CDB=∠ABD=25°,得到∠CBA=50°,由等腰梯形可得∠BAD=∠CBA=50°.6.(2012·烟台中考)如图，在平面直角坐标系中，等腰梯形ABCD的下底在x轴上，且B点坐标为(4，0)，D点坐标为(0，3)，则AC长为()(A)4(B)5(C)6(D)不能确定【解析】选B.如图，连结BD，由题意得，OB=4,OD=3,故可得BD=5.又四边形ABCD是等腰梯形，∴AC=BD=5.7.(2012·南充中考)如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，点E是AD延长线上的一点，且CE=CD，求证：∠B=∠E.【证明】∵四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，∴∠B=∠BCD,∠BCD=∠CDE,∴∠B=∠CDE.又∵CD=CE,∴∠CDE=∠E,∴∠B=∠E.1.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=4，则四边形CODE的周长是()(A)4(B)6(C)8(D)10【解析】选C.∵CE∥BD,DE∥AC,∴四边形CODE为平行四边形.又∵四边形ABCD为矩形,∴OD=OC=2,∴四边形CODE为菱形,其周长为2×4=8.2.(2011·济南中考)如图,菱形ABCD的周长是16,∠A=60°,则对角线BD的长度为()(A)2(B)(C)4(D)【解析】选C.∵菱形ABCD的周长是16,∴AB=BC=CD=DA=4,∵∠A=60°,∴BD=AB=DA=4.23433.(2012·长沙中考)如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=AD=2,∠B=60°,则BC的长为_____.【解析】作AE⊥BC,DF⊥BC,则EF=AD=2,又∠B=60°,所以∠BAE=30°,故BE=AB=1.同理，FC=1.所以BC=BE+EF+FC=1+2+1=4.答案：4124.(2011·泸州中考)矩形ABCD的对角线相交于点O,AB=4cm,∠AOB=60°,则矩形的面积为_____cm2．【解析】根据矩形的性质得出AC=BD,OA=AC,OB=BD推出OA=OB,得到等边三角形ABO,求出AC,由∠ABC=90°,根据勾股定理求出所以矩形的面积是：答案：121222BCACAB43,BCAB434163.1635.(2012·襄阳中考)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,E为BC的中点,BC=2AD,EA=ED=2,AC与ED相交于点F.(1)求证:梯形ABCD是等腰梯形.(2)当AB与AC具有什么位置关系时,四边形AECD是菱形?请说明理由,并求出此时菱形AECD的面积.【解析】(1)如图,∵AD∥BC,∴∠1=∠DAE,∠2=∠3,∵EA=ED,∴∠DAE=∠3,∴∠1=∠2.又∵EB=EC,∴△AEB≌△DEC，∴AB=DC,∴梯形ABCD是等腰梯形.(2)当AB⊥AC时,四边形AECD是菱形.理由如下：∵AD∥BC,EB=EC=AD,∴四边形ABED和四边形AECD都是平行四边形.∴AB=DE.∵AB⊥AC,EB=EC,∴AE=EB=EC.∴四边形AECD是菱形.过点A作AG⊥BC于点G,∵AE=EB=AB=2,∴△ABE为等边三角形.∴∠1=60°,∴AG=AE·sin60°=∴S菱形AECD=EC×AG=3.2323.