九年级数学下册 第28章圆复习课件 华东师大版

第28章单元复习课一、圆的相关概念1.圆的定义有两种表述方式(1)运动的观点：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆.(2)集合的观点：圆是到定点的距离等于定长的所有点的集合.由圆的定义可知，确定圆的因素有两个：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小.2.3.与圆有关的概念较多，在辨析与圆有关的概念时，要深刻理解每个概念的内涵与外延，熟练把握.如：(1)等圆与同心圆：等圆是指半径相等的圆，对于位置没有限制；同心圆是指圆心相同的圆.(2)弦与直径：直径是一条特殊的弦，且经过圆心，它是圆中最长的弦.直径是弦，但弦不一定是直径.(3)半圆与弧：半圆是弧，但弧不一定是半圆.(4)对于等弧的理解，从定义来看，要求的是能够完全重合的弧为等弧，实质上，弧有长度和度数，规定半圆的度数为180°，劣弧的度数小于180°，优弧的度数大于180°.若两条弧为等弧，则必须满足长度及度数都相等，二者缺一不可.4.两个概念：(1)圆心角：顶点在圆心的角；(2)圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角.圆心角的顶点在圆的内部，所以其边一定与圆相交；圆周角必须满足两个条件，二者缺一不可.5.经过三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆，这个三角形叫做这个圆的内接三角形，三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.(1)一个三角形有且只有一个外接圆，但是一个圆有无数个内接三角形.(2)三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点，到三角形三顶点的距离相等，等于外接圆的半径.(3)锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心是斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形的外部.6.与三角形各边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆.三角形的内切圆的圆心叫做这个三角形的内心，这个三角形叫做这个圆的外切三角形.(1)一个三角形有且只有一个内切圆，但是一个圆有无数个外切三角形；(2)三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形三边的距离相等；(3)与三角形内心有关的证明或计算，往往连结顶点与内心，构造角平分线，应用角平分线的性质来证明或计算.7.圆的切线上某一点与切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不可度量，切线长是切线上一条线段的长，可以度量.8.各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形．与之有关的概念如图所示：与正多边形有关的定义都是以正多边形的外接圆为基础的.在理解定义时，要注意与多边形的相关元素之间的对应关系.二、圆的相关性质、判定及定理1.垂径定理(1)垂径定理及其推论①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.如图,⊙O中，若CD为直径，CD⊥AB,垂足为M，则AM=BM，ADBDACBC.，②平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦，并且平分弦所对的弧；平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦.如图,⊙O中，若AM=BM(AB不是直径)，CD为直径，则AB⊥CD，(2)理解垂径定理要注意以下问题：①定理中的“垂径”可以是直径、半径或过圆心的直线，其本质是“经过圆心”.ADBDACBC.，②定理中的“弦”是直径时，结论仍然成立.③垂径定理可以这样理解：一条直线，如果它具备两条：a经过圆心；b垂直于圆的一条弦.那么这条直线就具有另外三个性质：a平分弦；b平分弦所对的劣弧；c平分弦所对的优弧.(3)垂径定理的其他推论垂径定理成立的基础是圆的轴对称性，垂径定理及其推论可以概括为：一条直线，如果它满足:①经过圆心；②垂直于圆的一条弦；③平分弦；④平分弦所对的劣弧；⑤平分弦所对的优弧.这五条中的任意两条，则必然具备其余三条，简称“知二推三”.注：在垂径定理的推论中，对被平分的弦不是直径的要求是不可去掉的，在圆中任意的两条直径都是互相平分的，但是它们不一定垂直.(4)垂径定理的应用垂径定理是证明线段相等、角相等、垂直关系、弧相等的重要依据，同时也为圆的有关计算提供了方法和依据.①应用垂径定理证明时，一般是过圆心作弦的垂线，构造线段或弧相等.若有弦的中点，则连结圆心及弦的中点，构造垂直关系.②与垂径定理有关的计算，一般是利用弦长的一半、弦心距、半径所构成的直角三角形结合勾股定理及方程的思想求解.如图,常用的关系式为：r2=+d2,r=d+h等.若已知弦长a和弓形的高h，则需要构建关于r的方程，利用方程的思想来解决.③确定弧所在圆的圆心的方法，根据弦的垂直平分线经过圆心，在弧上任意作两条弦，两弦的垂直平分线的交点就是弧所在圆的圆心.④应用垂径定理解决实际问题，关键是根据实际问题抽象出几何模型，利用垂径定理来解决问题.2a()22.弧、弦、圆心角、圆周角的关系(1)弧、弦、圆心角之间的关系在同圆或等圆中，有三组量：两个圆心角、两条弧、两条弦，只要有一组量对应相等，它们所对应的其余各组量也都相等.此定理成立的基础是圆的旋转不变性.在应用上述关系解决问题时，可根据需要选取有关部分；“在同圆或等圆中”这一条件不能漏掉，如在不同的圆中，相等的圆心角所对的弦及弧不一定相等，但是相等的弧所对的圆心角一定相等，因为等弧只有在同圆或等圆中才有可能存在.(2)圆周角定理及其推论①在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等.②半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°(直角).③90°的圆周角所对的弦是直径.(3)圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补.3.切线的判定及性质(1)切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.①切线的性质可以作如下拓展：a切线和圆只有一个公共点；b切线和圆心的距离等于圆的半径；c经过圆心且垂直于切线的直线必过切点；d经过切点且垂直于切线的直线必过圆心.②有圆的切线时，辅助线的作法一般是连结切点和圆心，构造垂直关系来解题.(2)切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．切线长定理能把许多圆的知识串联起来，并能找出一些规律性的东西，便于应用，也有利于开阔思路．如图，PA，PB分别切⊙O于A，B两点，直线OP交⊙O于D，E，交弦AB于C，则：①由切线长定理得PA=PB，∠3=∠4.②由等腰三角形三线合一得PC⊥AB，AC=BC.③由垂径定理得：④由切线性质定理得：OA⊥AP，OB⊥BP．⑤连结AD，BD，由AD，BD分别平分∠PAB，∠PBA得：D为△ABP的内心．⑥∠1=∠2=∠3=∠4,∠5=∠6=∠7=∠8．ADBD,AEBE．(3)圆切线的判定方法①定义：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线．②数量关系：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线．③判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．应用切线的判定定理证明直线与圆相切时，常用的辅助线的作法为：(1)若已知直线与圆有公共点，则连结圆心和公共点证明垂直，即“连半径，证垂直”；(2)若直线与圆的公共点没有确定，则过圆心作直线的垂线，证明圆心到直线的距离等于圆的半径，即“作垂直，证等径”.(4)直角三角形内切圆的半径与三边的关系设直角三角形的两直角边为a，b，斜边为c，内切圆的半径为r，则有,或(由面积法得到).abcr2abrabc4.定理的应用(1)在同圆或等圆中，证两弦相等时，常用的方法是找这两弦所对的弧、圆心角、圆周角相等.同样，证明弧相等时，则考虑弧所对的弦及有关的角之间存在的关系.(2)利用圆周角定理解决问题时，常进行两种转化：一是利用同弧所对的圆周角相等，进行角与角之间的转化；二是将圆周角相等的问题转化为弦相等或弧相等或圆心角相等的问题.(3)把圆中的直径与90°的圆周角联系在一起，当题目中有直径这一条件时，辅助线的作法一般是构造直径所对的圆周角是直角，综合勾股定理等知识来解题.没有直径时常通过添加辅助线作直径，创造条件，再利用圆周角的性质解题.(4)若出现圆内接四边形，则利用其对角互补解决问题.注：(1)在进行相关命题的判断时，易忽视“在同圆或等圆中”这个条件而造成误判；(2)与圆周角有关的问题常因图形不确定而产生多解的情况，此时易忽视分情况进行讨论而导致丢解的错误.5.相切两圆的性质如果两圆相切，那么切点一定在连心线上．(1)要正确区别连心线和圆心距：连心线是通过不同心的两个圆的圆心的一条直线，而圆心距是指两个圆心之间的线段的长度.显然，两个圆的圆心的连线(线段)一定在连心线(直线)上．(2)“相切两圆的连心线经过切点”，也可理解为“相切两圆的圆心、切点在同一条直线上”，或“经过相切两圆的切点和一个圆的圆心的直线必经过另一个圆的圆心”.(3)两圆相切时，连心线是常见的一条辅助线，使用连心线时要注意：连心线是直线而不是线段；有时也用圆心距作辅助线．注：由两圆相切的位置关系判断数量关系时，易忽视存在两种情况而造成漏解.三、圆中的位置关系1.点与圆的位置关系的判断方法方法一：确定点和圆的位置关系，就是确定该点到圆心的距离与半径的大小关系.先求出点到圆心的距离，并与圆的半径作比较，如果P是圆所在平面内的一点，d表示点到圆心的距离，r表示圆的半径，那么：d＜r⇔P在圆内；d=r⇔P在圆上；d＞r⇔P在圆外．方法二：利用圆内角、圆周角、圆外角三种角之间的大小来判断，如果AB是⊙O的一条弦，点Q是⊙O上的一点，P点、Q点在直线AB的同旁(如图)，则有：(1)∠APB＞∠AQB⇔点P在圆内；(2)∠APB=∠AQB⇔点P在圆上；(3)∠APB＜∠AQB⇔点P在圆外．2.直线与圆的位置关系判断直线和圆的位置关系既可转化为直线和圆的交点的个数，又可转化为点(圆心)到直线的距离与半径的大小关系.若⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则具体情况如下表：直线与圆的位置关系图列公共点的个数圆心到直线的距离相离0dr相交2dr相切1d=r3.圆和圆的位置关系圆和圆的位置关系可以分为三大类：相离、相切、相交.相离包位置图形公共点d与R和r的关系外离0个dR+r外切1个d=R+r相交2个R-rdR+r(R≥r)内切1个d=R-r(Rr)内含0个dR-r(Rr)括外离与内含两种情况，相切包括外切与内切，在理解它们时，要注意每个圆上的点相对于另一个圆的位置关系.(1)圆和圆的位置关系，不但考虑了数(两圆公共点的个数)，而且考虑了形(两圆的位置关系)，两圆的五种位置关系按公共点的个数可分为0，1，2三大类．(2)两圆外切和两圆内切，统一称为两圆相切，唯一的公共点称为切点．(3)具有内切或内含关系的两个圆的半径R与r不可能相等，即具有内切或内含关系的两圆不可能为等圆，否则，这两个圆重合．四、圆中的相关计算1.正多边形的有关计算正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形，由于这些直角三角形的斜边都是正n边形的外接圆的半径R，一条直角边是正n边形的边心距rn，另一条直角边是正n边形的边长an的一半，一个锐角是正n边形中心角αn的一半，即另一个锐角180n，为一个内角的一半，即所以，根据上面定理就可以把正n边形的有关计算归结为解直角三角形问题.这样就把正n边形的计算问题转化为解直角三角形的问题.计算公式：(1)正n边形每个内角的度数：(2)正n边形的中心角的度数：(3)正n边形的每个外角的度数：(n2)180n；(n2)9018090nn或，360n；360n；(4)正n边形的对角线的条数：注:(1)计算时易记错公式导致错误.(2)易将正n边形的边心距和半径混淆.2.弧长及扇形面积公式(半径为R的圆中)(1)弧长：n°的圆心角所对的弧长(2)扇形的面积：①n°的圆心角所对的扇形面积②弧长为l的扇形的面积n(n3).2nR180；l2nRS360；1SR.2l弧是圆的一部分，扇形是圆面的一部分，所以在半径为R的圆中，360°的圆心角所对的弧长就是圆的周长2πR，所以1°的圆心角所对的弧长为圆心角为1°的扇形的面积为由此可以得到弧长和扇形的面积计算公式.在公式中，n，180，360应理解为1°的倍数，计算时都不带单位.扇形的第二个面积公式