九年级数学下册 第28章圆28.1圆的认识 3圆周角习题课件 华东师大版

3.圆周角1.理解圆周角的概念，会判断一个角是否为圆周角.（重点）2.掌握直径所对圆周角的特征和圆周角的性质，会推导圆周角定理，能运用圆周角定理解决问题.（重点、难点）3.通过结合圆周角定理的推导过程，渗透特殊到一般、转化与化归等数学思想.（难点）圆周角的概念、性质及圆周角定理1.圆周角：顶点在_____，并且两边都与圆_____的角叫做圆周角.2.半圆或直径所对的圆周角：（1）性质：半圆或直径所对的圆周角都_____，都等于____.（2）应用：_____的圆周角所对的弦是圆的直径.圆上相交相等90°90°3.圆周角定理：如图①，当圆心O在圆周角的一边上时，∵OA=OC，∴∠A=∠C，又∵∠BOC=∠A+∠C，1BACBOC.2【思考】（1）如图②，当圆心O在圆周角的内部时，∠BAC与∠BOC的上述关系是否还成立？为什么？提示：_____.理由如下：作直径AD.由图①推理得：∠BAD=_______.同理：∠CAD=________.∴∠BAD+∠CAD=_________________，即∠BAC=________.成立1BOD21COD211BODCOD221BOC2（2）如图③，当圆心O在圆周角的外部时，∠BAC与∠BOC的上述关系是否还成立？为什么？提示：_____.理由如下：作直径AD.由图①推理得：∠BAD=_______.同理：∠CAD=_______.∴∠CAD-∠BAD=_______________，即∠BAC=________.成立1BOD21COD211CODBOD221BOC2【总结】圆周角定理：①在一个圆中，一条弧所对的圆周角等于其所对的圆心角的_____.②在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角_____.③在同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧也_____.一半相等相等（打“√”或“×”）（1）顶点在圆上的角叫做圆周角.（）（2）同弧所对的圆周角相等.（）（3）90°的圆周角所对的弧为半圆.（）（4）在同圆中，圆周角相等，所对的弦也相等.（）（5）在等圆中，弧相等，则它所对的圆周角、圆心角及所对的弦都相等.（）×√√√√知识点1圆周角定理【例1】(2012·潍坊中考)如图,三角形ABC的两个顶点B,C在圆上,顶点A在圆外,AB,AC分别交圆于E,D两点,连结EC,BD.(1)求证:△ABD∽△ACE.(2)若△BEC与△BDC的面积相等,试判定三角形ABC的形状.【解题探究】(1)①△ABD与△ACE中,有相等的角吗?提示:有一公共角,∠BAD=∠CAE.②如何找出△ABD与△ACE中另外相等的一组角?提示:∵所对的圆周角相等,∴∠EBD=∠ECD.③由①②可知△ABD与△ACE有_______________,所以可以得出△ABD∽△ACE.ED两对对应角相等(2)①如何说明S△ACE=S△ABD?提示:∵S△BEC=S△BCD,S△ACE=S△ABC-S△BEC,S△ABD=S△ABC-S△BCD,∴S△ACE=S△ABD.②由①的S△ACE=S△ABD,结合(1)的△ABD∽△ACE,可以得出△ABD与△ACE对应边之比等于__,即AB=___,所以△ABC为_____三角形.1AC等腰【总结提升】利用圆周角定理进行证明时的两点注意1.圆周角定理适用的范围是在同圆或等圆中.2.在证明时,此定理可以直接作为已知条件使用.知识点2圆周角定理的综合应用【例2】(2012·沈阳中考)如图,☉O是△ABC的外接圆,AB是☉O的直径,D为☉O上一点,OD⊥AC,垂足为E,连结BD.(1)求证:BD平分∠ABC.(2)当∠ODB=30°时,求证:BC=OD.【思路点拨】(1)由OD⊥AC,OD为半径,根据垂径定理,即可得又由在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,即可证得BD平分∠ABC.(2)首先由OB=OD,易求得∠AOD的度数,又由OD⊥AC于E,可求得∠A的度数,然后由AB是☉O的直径,根据圆周角定理,可得∠ACB=90°,继而可证得BC=OD.CDAD,【自主解答】(1)∵OD⊥AC,OD为半径,∴∠CBD=∠ABD,∴BD平分∠ABC.CDAD,(2)∵OB=OD,∴∠OBD=∠ODB=30°,∴∠AOD=∠OBD+∠ODB=30°+30°=60°.又∵OD⊥AC于E,∴∠OEA=90°,∴∠A=180°-∠OEA-∠AOD=180°-90°-60°=30°.又∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°,在Rt△ACB中,∴BC=OD.1BCAB,21ODAB,2【总结提升】利用圆周角定理推论的两种思路1.见直径,通常构建90°的圆周角,利用直角三角形知识解决.2.见90°的圆周角,通常作直径,构建直角三角形.题组一:圆周角定理1.(2013·滨州中考)如图,在☉O中,圆心角∠BOC=78°,则圆周角∠BAC的大小为()A.156°B.78°C.39°D.12°【解析】选C.根据在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半,所以1BACBOC39.22.已知AB,CD是☉O的两条直径,∠ABC=30°,那么∠BAD=()A.45°B.60°C.90°D.30°【解析】选D.因为∠ABC与∠ADC是同一条弧所对的圆周角,所以∠ABC=∠ADC=30°.又因为OD=OA,所以∠BAD=∠ADC=30°.3.(2013·邵阳中考)如图,弦AB,CD相交于点O,连结AD,BC,在不添加辅助线的情况下,请在图中找出一对相等的角,它们是________.【解析】由对顶角相等,可得到∠AOC=∠BOD,∠AOD=∠BOC;由同弧所对的圆周角相等,可得到∠A=∠C,∠B=∠D.答案:本题答案不唯一,如∠A=∠C等4.(2013·黔西南州中考)如图所示,已知∠BAC=∠CDA=20°,则∠ABO的度数为________.【解析】连结OA,OC,则∠COB=2∠BAC=40°,∠AOC=2∠CDA=40°,所以∠AOB=80°,所以∠ABO=(180°-80°)÷2=50°.答案:50°5.如图,△ABC内接于☉O,AB=8,AC=4,D是AB边上一点,P是优弧BAC的中点,连结PA,PB,PC,PD,当BD的长度为多少时,△PAD是以AD为底边的等腰三角形?并加以证明.【解析】当BD=4时，△PAD是以AD为底边的等腰三角形.理由如下：∵P是优弧BAC的中点，∴∴PB=PC.在△PBD与△PCA中，PBPCPBDPCA,BDAC4，，PBPC.∴△PBD≌△PCA（S.A.S.）.∴PD=PA，即BD=4时，△PAD是以AD为底边的等腰三角形.题组二：圆周角定理的综合应用1.（2013·舟山中考）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB＝8，CD＝2，则EC的长为()A.215B.8C.210D.213【解析】选D.连结BE,根据直径所对的圆周角为直角,知BE⊥AB,BE∥OC且BE=2OC,根据垂径定理得,AC=4,OC=OD-CD=OA-2,在△ACO中,根据勾股定理得,AC2+OC2=AO2,即42+(OA-2)2=AO2,得OA=5,OC=3,BE=6,在△BCE中,根据勾股定理得,EC2=BC2+BE2=224652,EC213.2.如图,已知☉O的两条弦AB,CD相交于AB的中点E,且AB=4,DE=CE+3,则CD的长为()A.4B.5C.8D.10【解析】选B.连结AC，BD，如图，∵∠A=∠D,∠C=∠B,∴△AEC∽△DEB，∴AE·BE=CE·DE.设CE=x，则DE=3+x.∴x（x+3）=2×2，解得，x=1或x=-4（不合题意，应舍去）.∴CE=1，∴CD=3+1+1=5.AECEDEBE，【变式备选】如图,已知AB为☉O的直径,C为☉O上一点,CD⊥AB于D,AD=9,BD=4,以C为圆心,CD为半径的圆与☉O相交于P,Q两点,弦PQ交CD于E,则PE·EQ的值是()A.24B.9C.6D.27【解析】选D.延长DC交☉C于M,延长CD交☉O于N,连结PC,NQ.连结AC,BC,∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠CAB+∠ABC=90°.∵CD⊥AB,∴∠ADC=∠BDC=90°,∴∠CAD+∠ACD=90°,∴∠ACD=∠ABC,∴△ACD∽△CBD,∵AD=9,BD=4,∴CD=6.在☉O中,∠PCN=∠NQP,∠CPQ=∠QNC,∴△PEC∽△NEQ,∴PE·QE=CE·NE,CDAD.BDCDPECE,NEQE同理,在☉C中,可得,PE·QE=DE·ME,设CE=x,则DE=6-x,则(6-x)(x+6)=x(6-x+6),解得x=3.所以,CE=3,DE=6-3=3,EM=6+3=9.所以PE·EQ=3×9=27.3.(2013·常州中考)如图,△ABC内接于☉O,∠BAC=120°,AB=AC,BD为☉O的直径,AD=6,则DC=____________.【解析】因为∠BAC=120°，AB=AC，所以∠ABC=∠ACB=30°,所以∠BDA=30°，因为BD为直径，所以∠BAD=90°，所以∠ABD=60°,所以∠DBC=30°.在Rt△ABD中,在Rt△BCD中,答案:AD6BD43,cos30321DCBDsin304323.2234.如图,AB,CD是☉O的弦,AB⊥CD,BE是☉O的直径.若AC=3,则DE=________.【解析】连结AE，∵BE是⊙O的直径，∴∠BAE=90°，即AB⊥AE.∵AB⊥CD，∴AE∥CD，∴∠ACD+∠CAE=180°.∵四边形ACDE是⊙O的内接四边形，∴∠CAE+∠CDE=180°，∴∠ACD=∠CDE，答案：3CEADACDEDEAC3.，，5.如图,在☉O中,直径AB与弦CD相交于点P,∠CAB=40°,∠APD=65°.(1)求∠B的大小.(2)已知AD=6,求圆心O到BD的距离.【解析】（1）∵∠APD=∠C+∠CAB,∴∠C=65°-40°=25°,∴∠B=∠C=25°.（2）作OE⊥BD于E，则DE=BE，又∵AO=BO,圆心O到BD的距离为3.11OEAD63.22【想一想错在哪？】AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，AB=2，∠BAC=30°.在图中画出弦AD，使AD=1，则∠CAD的度数为______.提示:弦AD与AC的位置关系有两种情况:一种是弦AD与AC在直径AB的同侧,另一种是弦AD与AC在直径AB的异侧,因而∠CAD的度数有两个.解题过程中遗漏弦AD与AC在直径AB的异侧这种情况,使解题结果不完整,产生错误.