九年级数学下册 第28章圆28.2与圆有关的位置关系 3 切线（第2课时）课件 华东师大版

3.切线（第2课时）通过探究,使学生发现、掌握切线长定理，并初步学会应用切线长定理解决问题，同时通过从三角形纸片中剪出最大圆的实验过程中发现三角形内切圆的画法，能用内心的性质解决问题.1.切线具有什么特征?]图23.2.8答:【特征1】切线与圆只有一个公共点;【特征2】圆心到切线的距离等于圆的半径;【特征3】圆的切线一定垂直于经过切点的半径．PMNPQ2.任意画一个⊙O，在⊙O上任取两点A、B，以A，B为切点分别作⊙O的两条切线，画出的两条切线的位置关系怎样？ABO...AB..O.3.圆的切线是线段、射线、还是直线？是直线O.ABP思考：已知⊙O的切线PA，A为切点，连结OP，把圆沿着OP对折,你能发现什么?12如图，纸上有一⊙O，PA为⊙O的一条切线，沿着直线PO对折，设圆上与点A重合的点为B.1.OB是⊙O的一条半径吗？2.PB是⊙O的切线吗？5.利用图形轴对称性解释.3.PA、PB有何关系？4.∠APO和∠BPO有何关系？PAOB【探究一】(1)设与点A重合的点为点B,这里OB是⊙O的一条______,PB是⊙O的一条_______.(2)图中PA与PB、∠APO与∠BPO的关系是(猜想):____________________________.半径切线PA=PB，∠APO=∠BPO1.如图，过圆外一点P有两条直线PA、PB与⊙O相切.把圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长.ABPO.切线与切线长的区别与联系：（1）切线是一条与圆相切的直线.（2）切线长是指切线上某一点与切点间的线段的长.2.从⊙O外的一点引两条切线PA,PB，切点分别是A,B，连结OA,OB,OP，你能发现什么结论？并证明你所发现的结论.APO.BPA=PB，∠OPA=∠OPB证明：∵PA、PB与⊙O相切，点A、B是切点∴OA⊥PA，OB⊥PB即∠OAP=∠OBP=90°∵OA=OB，OP=OP∴Rt△AOP≌Rt△BOP(H.L.)∴PA=PB，∠OPA=∠OPB试用文字语言叙述你所发现的结论反思：切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法.PA、PB分别切⊙O于A、BPA=PB∠1=∠2切线长定理从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.APO.B几何语言:12我们学过的切线常有七个性质：1.切线和圆只有一个公共点.2.切线到圆心的距离等于圆的半径.3.切线垂直于过切点的半径.4.经过圆心垂直于切线的直线必过切点.5.经过切点垂直于切线的直线必过圆心.6.从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分这两条切线的夹角.7.如果圆的两条切线互相平行，则连结两个切点的线段是直径.APO.M3.连结两切点A、B，AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论?并给出证明.OP垂直平分AB证明：∵PA、PB是⊙O的切线,点A、B是切点∴PA=PB∠OPA=∠OPB∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线∴OP垂直平分ABB切线长定理的基本图形的研究PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP交⊙O于点D、E，交AB于C.ABPOCED（1）写出图中所有的垂直关系OA⊥PA，OB⊥PB，AB⊥OP（2）写出图中与∠OAC相等的角∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPCBAPOCED（3）写出图中所有的全等三角形△AOP≌△BOP，△AOC≌△BOC，△ACP≌△BCP（4）写出图中所有的相似三角形△AOC∽△BOC∽△POA∽△POB∽△PAC∽PBC（5）写出图中所有的等腰三角形△APB△AOB（6）若PA=4、PD=2，求半径OA2224(2)，解得r=3rr与三角形各边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆．三角形的内切圆的圆心叫做这个三角形的内心．这个三角形叫做这个圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三条内角平分线的交点．一个三角形的内切圆是唯一的．图23.2.12三角形的内切圆例1.如图，⊙O是△ABC的内切圆，与AB、BC、CA分别切于点D、E、F，∠DOE＝120°，∠EOF＝150°，求△ABC的三个内角的度数.(第1题)【例题】(第1题)∵∠DOE＝120°,∠EOF＝150°∴∠DOF=360°-∠DOE-∠EOF=360°-120°-150°=90°【解】∵AB、AC分别切⊙O于点D、F∴∠ADO=∠AFO=90°∴∠A=360°-∠ADO-∠DOF-∠AFO=360°-90°-90°-90°=90°同理∠B=60°,∠C=30°.例2.△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，且AB＝5厘米，BC＝9厘米，AC＝6厘米，求AD、BE和CF的长.(第2题)596xyyzzx则145xyz解得解:设AD=x,BE=y,CF=z,由切线长性质可知：AD＝AF，BD＝BE，CE＝CF即AD=1厘米,BE=4厘米,CF=5厘米(第2题)xxyyzz例3.设△ABC的内切圆的半径为r，△ABC的周长为l，求△ABC的面积S.图23.2.12rrr解析：ABCAIBBICCIASSSS111ABrBCrACr2221rABBCAC21r2l△△△△（）连结IC，则1、填空：已知⊙O的半径为3cm，点P和圆心O的距离为6cm，经过点P有⊙O的两条切线，则切线长为________cm.这两条切线的夹角为_____度.602、已知圆外切四边形ABCD中，AB︰BC︰CD=4︰3︰2，它的周长为24cm.则AB=，BC=；CD=，DA=.CDAOB8cm6cm4cm6cm33PABO·【跟踪训练】3.直角三角形的两直角边分别是a，b,斜边是c，则其内切圆的半径为:如：直角三角形的两直角边分别是5cm，12cm，则其内切圆的半径为_______.2cma+b-cr2ABCabcr.4.如图，四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA和⊙O分别相切于L，M，N，P.图中有几对相等的线段？由此你能发现什么结论？为什么？ADLMNPOCBDALMNPOCB解析：∵AB，BC，CD，DA都与⊙O相切，L，M，N，P是切点，∴AL=AP，LB=MB，DN=DP，NC=MC∴AL+LB+DN+NC=AP+MB+DP+MC即AB+CD=AD+BC圆的外切四边形的两组对边的和相等（可做定理用）.PBAO（3）连结圆心和圆外一点（角平分线）（2）连结两切点（等腰三角形）（1）分别连结圆心和切点（直角）【规律方法】在解决有关圆的切线长的问题时，往往需要我们构建基本图形.1.（兰州·中考）如图，正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为()【答案】D3C.32D.A.2B.32.（临沂·中考）如图,AB是半圆的直径,O为圆心，AD，BD是半圆的弦，且∠PDA=∠PBD.（1）判断直线PD是否为⊙O的切线，并说明理由.（2）如果∠BDE=60°，,求PA的长.PD3【解析】（1）PD是⊙O的切线连结OD,∵OB=OD,∴∠2=∠PBD.又∵∠PDA=∠PBD.∴∠PDA=∠2.又∵AB是半圆的直径，∴∠ADB=90°.即∠1+∠2=90°.∴∠1+∠PDA=90°,即OD⊥PD.∴PD是⊙O的切线.12（2）∵∠BDE=60°,∠ODE=90°,∠ADB=90°,∴∠2=30°,∠1=60°,∠PDA=30°.∵OA=OD,∴△AOD是等边三角形.∴∠POD=60°.∴∠P=∠PDA=30°.在直角△PDO中，设OD=x,∴22232xx∴x1=1,x2=-1（不合题意，舍去）∴PA=1.3.（衡阳·中考）如图，Rt△ABC中,∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过点D的切线交BC于点E．（1）求证：12DEBC25（2）若tanC=，DE=2，求AD的长．【解析】(1)连结BD，∵AB为直径，∠ABC=90°，∴BE切⊙O于点B，∵DE切⊙O于点D，所以DE=BE，∴∠EBD=∠EDB，∵∠ADB=90°，∴∠EBD+∠C=90°，∠BDE+∠CDE=90°，∴∠C=∠EDC，∴DE=CE，BCDE2112DEBC(2)因为DE=2，BCAB所以BC=4，在Rt△ABC中，tanC=255所以AB=BC·=2ACABABAD65252AD又因为△ABD∽△ACB，所以，即310所以AD=22BCAB在Rt△ABC中，AC=224)52(=61.切线长定理从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.∵PA、PB分别切⊙O于A、B∴PA=PB,∠OPA=∠OPBOP垂直平分AB切线长定理为证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系等提供了理论依据.必须掌握并能灵活应用.2.圆的外切四边形的两组对边的和相等BAO.PECDO善性是难能可贵的，也是高尚和值得称赞的.——亚里士多德