九年级数学下册 第27章相似 27.2相似三角形 2 相似三角形应用举例第1课时习题课件 新人教版

27.2.2相似三角形应用举例(第1课时)1.运用三角形相似的知识，解决不能直接测量的物体的长度和高度.（重点）2.通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型，进一步了解数学建模的思想，培养分析问题、解决问题的能力．（重点、难点）一、相似三角形的性质相似三角形的对应角_____，对应边的比等于________.二、相似三角形的性质的应用物高与影长.如图，高为AB，DE的两物体在同一时刻阳光下的影长为BC，EF.相等相似比【思考】(1)AC与DF的位置关系是______.(2)△ABC与△DEF具有什么关系？提示:相似.(3)由（2）得=______.【总结】在同一时刻的阳光下，竖直的两个物体的高度与影长_______.平行ABDEBCEF成正比（打“√”或“×”）（1）中心投影下，物高与影长成正比.（）（2）在阳光下，两个物体的高度与影长成正比.（）（3）在灯光下，不同的物体的影长也有可能相同.（）××√知识点1应用相似三角形测量物体的高度【例1】问题背景在某次活动课中，甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中的一些物体进行了测量.下面是他们通过测量得到的一些信息：甲组：如图1，测得一根直立于平地，长为80cm的竹竿的影长为60cm.乙组：如图2，测得学校旗杆的影长为900cm.丙组：如图3，测得校园景灯（灯罩视为球体，灯杆为圆柱体，其粗细忽略不计）的高度为200cm，影长为156cm.任务要求(1)请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度.(2)如图3,设太阳光线NH与☉O相切于点M.请根据甲、丙两组得到的信息,求景灯灯罩的半径(友情提示:如图3,景灯的影长等于线段NG的影长;需要时可采用等式1562+2082=2602).【解题探究】（1）根据同一时刻，竖直的两个物体的高度与影长_______，你得到的比例式是:__________，代入数据解得DE的长为______cm.（2）①根据（1）中的计算方法，计算出GN的值：提示:,即∴GN=208．ABDEACDF成正比1200ABACGNGH8060,GN156②连接OM，根据切线的性质，可以得到OM与MN的关系是____.根据勾股定理，得NH的长为_____cm.垂直260③此时在图中，有哪两个三角形相似，为什么？提示:△OMN∽△HGN,理由是：有一个锐角相等的两个直角三角形相似.④若设⊙O的半径为rcm，根据③的结论，所得到的比例式为：___________.所列的方程为：___________,解得：r=___．所以，景灯灯罩的半径是____cm．OMONHGHNrr81562601212【互动探究】求灯罩的半径时，还有什么方法？提示:利用相似三角形的性质，得到MN=r,在Rt△OMN中应用勾股定理列方程求解.43【总结提升】利用相似三角形测量物体高度的一般步骤1.画出示意图，利用平行光线、影子、标杆等构造相似三角形.2.测量与表示未知量的线段相对应的边长，以及另外一组对应边的长度.3.利用相似三角形的性质列出包括以上四个量的比例式，解出未知量.4.检验并得到答案.知识点2应用相似三角形测量宽度【例2】如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选点B和C，使AB⊥BC，然后，再选点E，使EC⊥BC，用视线确定BC和AE的交点D.此时如果测得BD=110m，DC=55m，EC=52m，求两岸间的大致距离AB.【思路点拨】AB⊥BC,EC⊥BC→证明△ABD∽△ECD→应用相似性质列出关于AB的比例式→代入数值计算AB的长.【自主解答】∵AB⊥BC，EC⊥BC，∴∠ABC=∠BCE=90°.∵∠ADB=∠CDE，∴△ABD∽△ECD，∴即解得AB=104m.答：两岸间的大致距离AB为104m.ABBDCECD，AB110,5255【总结提升】构造相似三角形测宽度三注意1.在构造的三角形中，被测对象必是其中一三角形的一边.2.注意把握“所构造的三角形除被测对象外其余的对应边易测量”的原则.3.构造的方法较多，一般构造包括宽度在内的两个直角三角形相似.题组一:应用相似三角形测量物体的高度1.（2013·白银中考）如图，路灯距离地面8m，身高1.6m的小明站在距离灯的底部（点O）20m的A处，则小明的影子AM长_______m.【解析】由题意得,,解得AM=5（m）.答案:51.6AM8AM202.甲、乙两盏路灯底部间的距离是30m，一天晚上，当小华走到距路灯乙底部5m处时，发现自己的身影顶部正好接触路灯乙的底部．已知小华的身高为1.5m，那么路灯甲的高为___m.【解析】设路灯甲高为xm，由相似得,解得x=9,所以路灯甲的高为9m.答案:91.55x303.如图，铁道口的栏杆短臂长1m，长臂长16m．当短臂端点下降0.5m时，长臂端点升高____m（杆的宽度忽略不计）．【解析】设长臂上升的高度为xm,根据题意得解得x=8.答案:80.51,x164.如图，小明为了测量一高楼MN的高，在离N点20m的A处放了一个平面镜，小明沿NA后退到C点，正好从镜中看到楼顶M点，若AC=1.5m，小明的眼睛离地面的高度为1.6m，请你帮助小明计算一下楼房的高度（精确到0.1m）．【解析】∵光线的入射角等于反射角，则分析可知∠BAC=∠MAN，又∵BC⊥CA，MN⊥AN，∴△BCA∽△MNA，∴MN∶BC=AN∶AC，即MN∶1.6=20∶1.5.∴MN=1.6×20÷1.5≈21.3(m).所以楼房的高度约为21.3m.【高手支招】镜面反射测高原理（1）∠APB=∠CPD，理由：∵入射角∠APE=反射角∠CPE,∠BPE=∠DPE=90°，∴∠APB=∠CPD.（2）∠ABP=∠CDP=90°.（3）△ABP∽△CDP.5.已知：CD为一幢3m高的温室，其南面窗户的底框G距地面1m，CD在地面上留下的最大影长CF为2m，现欲在距C点7m的正南方A点处建一幢12m高的楼房AB（设A，C，F在同一水平线上）．（1）按比例较精确地作出高楼AB及它的最大影长AE.（2）问若大楼AB建成后是否影响温室CD的采光，试说明理由．【解析】(1)所作图形如图所示.（2）∵HE∥DF，HC∥AB，∴△CDF∽△ABE∽△CHE，∴AE∶AB=CF∶DC，∴AE=8m，由AC=7m，可得CE=1m，由比例可知：CH=1.5m＞1m，故影响采光．题组二:应用相似三角形测量宽度1.（2013·北京中考）如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上.若测得BE=20m，EC=10m，CD=20m，则河的宽度AB等于（）A.60mB.40mC.30mD.20m【解析】选B.∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴∠ABE=∠DCE=90°，又∵∠AEB=∠DEC，∴△ABE∽△DCE，∴∴AB==40（m）.ABBE,DCCEDCBE2020CE102.如图，A,B两点被池塘隔开，在AB外取一点C，连接AC,BC，在AC上取点M，使AM=3MC,作MN∥AB交BC于N，量得MN=38m，则AB的长为____m.【解析】∵MN∥AB,AM=3MC，∴△CMN∽△CAB,∴,即，AB=38×4=152（m）.答案:152MC1,AC4MCMNACAB1384AB3.为测量湖两岸A,B间的距离，小强选择一点C，测得BC=290m，延长BC到D，使CD=10m，过点D作DE∥AB交AC的延长线于点E，测得DE=30m，求湖两岸的距离AB.【解析】∵DE∥AB，∴∠A=∠E，∠B=∠D，∴△ABC∽△EDC，∴即∴AB=870m.答：湖两岸的距离AB是870m.BCAB.DCED290AB.1030【想一想错在哪？】如图，某一时刻，身高为1.6m的小明站在离墙1m的地方，发现自己在太阳光下的影子有一部分在地面上，另一部分在墙上，墙上的部分影子长为0.2m，同时他又量得附近一棵大树的影子长为10m，求这棵大树的高度.提示:BC+CD不能作为AB的影长.