九年级数学下册 第27章二次函数27.3 实践与探索（第1课时）课件 华东师大版

§27.3实践与探索(第1课时)1.经历探索实践问题的解决过程，体会二次函数是解决一类最优化问题的数学模型，感受数学的应用价值.2.掌握实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大值、最小值．二次函数关系式的几种表达式一般式：y=ax2+bx+c顶点式：y=a(x-h)2+k（a≠0）两根式：y=a(x-x1)(x-x2)例1.桃河公园要建造圆形喷水池.在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA,O恰在水面中心,OA=1.25m.由柱子顶端A处的喷头向外喷水,水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下,为使水流形状较为漂亮,要求设计成水流在离OA距离为1m处达到最大高度2.25m.如果不计其他因素,那么水池的半径至少要多少m,才能使喷出的水流不致落到池外？【例题】解:建立如图所示的平面直角坐标系,根据题意得,A(0,1.25),顶点B(1,2.25).当y=0时,得点C(2.5,0);同理,点D(-2.5,0).根据对称性,那么水池的半径至少要2.5m,才能使喷出的水流不致落到池外.设抛物线为y=a(x-h)2+k,由待定系数法可求得抛物线关系式为:y=-(x-1)2+2.25.数学化xyOA●B(1,2.25)●(0,1.25)例2.如图，二次函数y=x2-4x+3的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，设抛物线的顶点为P（1）求△ABC，△COB的面积.（2）求四边形CAPB的面积.【例题】xyCOABP解：（1）∵y=x2-4x+3=(x-2)2-1∴顶点坐标是(2，-1)∵y=x2-4x+3=0时，x1=1，x2=3∴A(1，0),B(3，0)∵二次函数y=x2-4x+3与y轴的交点是C（0，3）∴│AB│=│3-1│=2，│OB│=│3-0│=3△ABC的高=│3│=3，△ABP的高=│-1│=1∴S△ABC=2×3÷2=3S△COB=3×3÷2=4.5（2）∵S△ABP=2×1÷2=1∴S四边形CAPB=S△ABC+S△ABP=3+1=4xyCOABPxyo-24-3ABC如图，二次函数的图象经过A,B,C三点.（1）求这个二次函数的关系式.（2）抛物线上是否存在一点P(P不与C重合)，使△PAB的面积等于△ABC的面积，如果存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.【跟踪训练】解：（1）∵抛物线与x轴交于A(-2,0),B(4,0)两点∴设抛物线的关系式为y=a(x-x1)(x-x2)=a(x+2)(x-4)∵抛物线过点C(0,-3)∴-3=a(0+2)(0-4)得a=∴y=(x+2)(x-4)=x2-x-383838343xyo-24-3ABC(2)假设存在一点P，使△PAB的面积等于△ABC的面积设点P的坐标为(x0,y0)∵S△ABC=│4-(-2)│×│-3│÷2=9∴S△ABP=│4-(-2)│×│y0│÷2=9∴│y0│=3即y0=±3当y0=3时，xy-240-3ABC8343x2-x-3=312x117x1-17解得当y0=-3时，解得x1=0，x2=2∴符合条件的P有三个，即(2,-3)8343x2-x-3=-3(117,3);(1-17,3)211.（兰州·中考）如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千.拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为米.【答案】2.（定西·中考）向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的关系式为y=ax2bx+c（a≠0）.若此炮弹在第7秒与第13秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（）A．第8秒B．第10秒C．第12秒D．第15秒【答案】B3.（青海·中考）某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利5元，每天可售出200千克，经市场调查发现，在进价不变的情况下，若每千克涨价1元，销售量将减少10千克.（1）现该商场要保证每天盈利1500元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？（2）若该商场单纯从经济利益角度考虑，这种水果每千克涨价多少元，能使商场获利最多？解析：（1）设每千克应涨价x元，列方程得：(5+x)(200－10x)=1500解得：x1=10x2=5因为要顾客得到实惠，5＜10所以x=5答：每千克应涨价5元.（2）设商场每天获得的利润为y元，则根据题意，得y=(x+5)(200－10x)=－10x2+150x+1000当x=时,y有最大值.b150--7.52a2(-10)因此，这种水果每千克涨价7.5元时，能使商场获利最多.4.（德州·中考）为迎接第四届世界太阳城大会，德州市把主要路段路灯更换为太阳能路灯．已知太阳能路灯售价为5000元/个，目前两个商家有此产品．甲商家用如下方法促销：若购买路灯不超过100个，按原价付款；若一次购买100个以上，且购买的个数每增加一个，其价格减少10元，但太阳能路灯的售价不得低于3500元/个．乙商家一律按原价的80％销售．现购买太阳能路灯x个，如果全部在甲商家购买，则所需金额为y1元；如果全部在乙商家购买，则所需金额为y2元.（1）分别求出y1，y2与x之间的函数关系式.（2）若市政府投资140万元，最多能购买多少个太阳能路灯？当x100时，因为购买个数每增加一个，其价格减少10元但售价不得低于3500元/个，所以x≤2501001035005000215000xy6000x-10x3500x所以(0x100)(100x250)(x250).，，2y500080%x4000x即100x≤250时，购买一个需5000-10(x-100)元，故y1=6000x-10x2；【解析】（1）由题意可知，当x≤100时，购买一个需5000元，故y1=5000x当x250时，购买一个需3500元，故y1=3500x(2)当0x≤100时，y1=5000x≤5000001400000；当100x≤250时，y1=6000x-10x2=-10(x-300)2+9000001400000；故选择甲商家，最多能购买400个太阳能路灯．4000x1400000x350400得由3500x1400000x400得所以，由5.（荆门·中考）某商店经营一种小商品，进价为2.5元，据市场调查，销售单价是13.5元时平均每天销售量是500件，而销售单价每降低1元，平均每天就可以多售出100件.（1）假设每件商品降价x元，商店每天销售这种小商品的利润是y元，请你写出y与x之间的函数关系式，并注明x的取值范围.（2）每件小商品销售价是多少元时，商店每天销售这种小商品的利润最大？最大利润是多少？（注：销售利润=销售收入－购进成本）【解析】（1）降价x元后，所销售的件数是（500+100x）,y=－100x2+600x+5500（0＜x≤11）（2）y=－100x2+600x+5500（0＜x≤11）配方得y=－100（x－3）2+6400当x=3时，y的最大值是6400元.即降价3元时，利润最大.所以销售单价为10.5元时，最大利润为6400元.答：销售单价为10.5元时，最大利润为6400元.【规律方法】先转化为数学问题，再将所求的问题用二次函数关系式表达出来，然后利用顶点坐标公式或者配方法求出最值，有时必须根据实际情况考虑其自变量的取值范围，根据图象求出最值.利用二次函数的性质解决应用题的一般步骤：1.设定实际问题中的变量.2.建立变量与变量之间的函数关系式.3.确定自变量的取值范围，保证自变量具有实际意义.风再大也会停，路再长也要行.当你到达平静的港湾，找到美丽的城堡，才能真切感受到：坚持是如此重要.