九年级数学下册 第26章二次函数 26.3 实际问题与二次函数第1课时习题课件 新人教版

26.3实际问题与二次函数第1课时1.掌握实际问题中变量之间的二次函数关系,会运用二次函数性质求实际问题中的最大值或最小值.（重点）2.体会二次函数是最优化问题的一类重要数学模型,感受数学的应用价值.（难点）最优化问题某商场将进价40元/件的商品按50元/件售出时,能卖出500件.已知该商品每涨价1元,销量就减少10件.设每件涨价x元,总利润为y元,则如何涨价,能获得最大总利润?最大总利润是多少?【思考】(1)每件商品所获利润为__________元,销售量为__________件.(2)如何用含x的关系式表示总利润?提示:总利润y=(50+x-40)(500-10x)元,即y=-10x2+400x+5000.(50+x-40)(500-10x)（3）由（2）中所得关系式，你能根据二次函数顶点的坐标公式求出每件涨价多少元时，能获得最大总利润，最大总利润是多少吗？提示：∵a=-10＜0，∴该二次函数有最大值.∴每件涨价20元时，有最大总利润，最大总利润为9000元.b40020,2a2102241050004004acb90004a410【总结】抛物线y=ax2+bx+c的顶点是最低（高）点，当x=_______时，二次函数y=ax2+bx+c有最小（大）值________.b2a24acb4a(打“√”或“×”)(1)求实际问题的最大或最小值,都是利用二次函数的顶点坐标求得.()(2)函数y=2x2+3x有最大值.()(3)用长度一定的绳子围成几何图形时,形状为圆时面积最大.()××√知识点1商品利润最优化问题【例1】(2013·南充中考)某商场购进一种每件价格为100元的新商品,在商场试销发现:销售单价x(元/件)与每天销售量y(件)之间满足如图所示的关系:(1)求出y与x之间的函数关系式.(2)写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式;若你是商场负责人,会将售价定为多少,来保证每天获得的利润最大,最大利润是多少?【思路点拨】(1)根据图象可知y是x的一次函数及两个点的坐标,先设出一次函数的一般式,再代入两点的坐标,得到一个方程组,再解方程组,然后代入一次函数一般式即可.(2)根据每天的利润=单件利润×每天销售量,再将(1)的y代入可得出W与x之间的函数关系式;然后将二次函数化为顶点式即可求出最大值.【自主解答】(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0).由所给函数图象得解得∴y与x之间的函数关系式为y=-x+180.130kb50,150kb30，k1,b180.(2)W=(x-100)y=(x-100)(-x+180)=-x2+280x-18000=-(x-140)2+1600.当x=140时,W最大=1600.∴售价定为140元/件时,每天获得利润最大,最大利润是1600元.【总结提升】实际问题中利用二次函数求最值的四点注意1.要把实际问题正确地转化为二次函数问题.2.列函数关系式时要注意自变量的取值范围.3.若图象不含顶点,应根据函数的增减性来确定最值.4.有时根据顶点求出的最值不一定是函数在实际问题中的最值,实际问题中的最值应在自变量的取值范围内求取.知识点2面积的最优化问题【例2】(2012·哈尔滨中考)小磊制作一个三角形的钢架模型,在这个三角形中,长度为x(单位:cm)的边与这条边上的高之和为40cm,这个三角形的面积S(单位:cm2)随x(单位:cm)的变化而变化.(1)请直接写出S与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围).(2)当x是多少时,这个三角形面积S最大?最大面积是多少?(参考公式:当x=-时,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)有最小(大)值)b2a24acb4a【思路点拨】根据三角形的面积公式及三角形的边及边上的高之间的关系,列出函数关系式,依据二次函数的性质,利用参考公式求最值.【自主解答】(1)S=x(40-x)=-x2+20x.(2)∵a=-0,∴S有最大值,∴x=-=-=20,∴S的最大值为==200,即当x为20cm时,三角形面积最大,最大面积是200cm2.121212b2a2012()224acb4a214()020214()2【总结提升】应用二次函数解决面积最大问题的步骤1.分析题中的变量与常量.2.找出等量关系,根据几何图形的面积公式建立函数模型.3.结合函数图象及性质,考虑实际问题中自变量的取值范围,求出面积的最大或最小值.题组一:商品利润最优化问题1.出售某种手工艺品,若每个获利x元,一天可售出(8-x)个,则当x=元时,一天出售该种手工艺品的总利润y最大.【解析】由题意得y=x(8-x)=-x2+8x.当x=-=-=4时,y最大.答案:4b2a8212.为丰富城市菜篮子,市郊某村一年中修建了一些蔬菜大棚.平均修建每公顷大棚要用的支架、塑料膜等材料的费用为27000元,此外还要购置喷灌设备,这项费用(元)与大棚面积(公顷)的平方成正比,比例系数为9000.每公顷大棚的年平均经济收益为75000元,若要使菜农的收益达到最大,应修建公顷大棚.【解析】设大棚面积为x,喷灌设备的费用为9000x2,菜农所获得的收益为y元,根据题意得:y=75000x-27000x-9000x2=-9000+64000,所以当修建公顷大棚时,菜农的收益最大.答案:224(x)92492493.(2013·孝感中考)在“母亲节”前夕,我市某校学生积极参与“关爱贫困母亲”的活动,他们购进一批单价为20元的“孝文化衫”在课余时间进行义卖,并将所得利润捐给贫困母亲.经试验发现,若每件按24元的价格销售时,每天能卖出36件;若每件按29元的价格销售时,每天能卖出21件.假定每天销售件数y(件)与销售价格x(元/件)满足一个以x为自变量的一次函数.(1)求y与x满足的函数关系式(不要求写出x的取值范围).(2)在不积压且不考虑其他因素的情况下,销售价格定为多少元时,才能使每天获得的利润P最大?【解析】(1)设y与x满足的函数关系式为y=kx+b(k≠0).由题意可得解得∴y与x的函数关系式为y=-3x+108.(2)每天获得的利润为P=(-3x+108)(x-20)=-3x2+168x-2160=-3(x-28)2+192.∴当销售价格定为28元时,每天获得的利润最大.3624kb2129kb,，k3b108.，4.(2013·青岛中考)某商场要经营一种新上市的文具,进价为20元/件.试营销阶段发现:当销售单价为25元/件时,每天的销售量是250件;销售单价每上涨1元,每天的销售量就减少10件.(1)写出商场销售这种文具,每天所得的销售利润w(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式.(2)求销售单价为多少元时,该文具每天的销售利润最大?(3)商场的营销部结合上述情况,提出了A,B两种营销方案:方案A:该文具的销售单价高于进价且不超过30元;方案B:每天销售量不少于10件,且每件文具的利润至少为25元.请比较哪种方案的最大利润更高,并说明理由.【解析】(1)w=(x-20)[250-10(x-25)]=-10(x-20)(x-50)=-10x2+700x-10000.(2)∵w=-10x2+700x-10000=-10(x-35)2+2250,∴当x=35时,w取到最大值2250,即销售单价为35元时,每天销售利润最大,最大利润为2250元.(3)∵w=-10(x-35)2+2250,∴函数图象是以x=35为对称轴且开口向下的抛物线.∴对于方案A,需20x≤30,此时图象在对称轴左侧(如图),w随x的增大而增大,∴x=30时,w取到最大值2000.∴当采用方案A时,销售单价为30元可获得最大利润为2000元.对于方案B,则有解得45≤x≤49,此时图象位于对称轴右侧(如图),∴w随x的增大而减小,故当x=45时,w取到最大值1250,∴当采用方案B时,销售单价为45元可获得最大利润为1250元.两者比较,还是方案A的最大利润更高.25010x2510x2025，，题组二:面积的最优化问题1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4cm,BC=6cm,动点P从点C沿CA,以1cm/s的速度向点A运动,同时动点Q从点C沿CB,以2cm/s的速度向点B运动,其中一个动点到达终点时,另一个动点也停止运动,则运动过程中所构成的△CPQ的面积y(cm2)与运动时间x(s)之间的函数图象大致是()【解析】选C.S△CPQ=CP·CQ=x·2x=x2,即y=x2(0≤x≤3).12122.手工课上,小明准备做一个形状是菱形的风筝,这个菱形的两条对角线长度之和恰好为60cm,菱形的面积S(单位:cm2)随其中一条对角线的长x(单位:cm)的变化而变化.(1)请直接写出S与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围).(2)当x是多少时,菱形风筝的面积S最大?最大面积是多少?（参考公式:当x=-时,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)有最小(大)值）b2a24acb4a【解析】(1)S=×x(60-x)=-x2+30x.(2)∵S=-x2+30x,a=-0,∴S有最大值.∴x=-=-=30.S的最大值为==450.∴当x为30cm时,菱形风筝的面积最大,最大面积是450cm2.12121212b2a3012()224acb4a214()030214()23.在矩形荒地ABCD中,AB=10,BC=6,今在四边上分别选取E,F,G,H四点,且AE=AH=CF=CG=x,建一个花园,如何设计,可使花园面积最大?【解析】设花园的面积为y,则y=60-x2-(10-x)(6-x)=-2x2+16x=-2(x-4)2+32(0x6).所以当x=4时,花园的面积最大,最大面积为32.【想一想错在哪？】某工艺厂设计了一款成本为每件20元的工艺品,投放市场试销后发现每天的销售量y(件)是售价x(元/件)的一次函数,当售价为22元/件时,每天的销售量为780件;当售价为25元/件时,每天的销售量为750件.(1)求y与x的函数关系式.(2)如果该工艺品售价最高不超过每件30元,那么售价定为每件多少元时,工艺厂销售该工艺品每天获得的利润最大?最大利润是多少元?提示:上述解析中错误的原因是:没有考虑自变量的取值范围,直接按公式求最值.