九年级数学下册 第26章二次函数 26.2用函数观点看一元二次方程习题课件 新人教版

26.2用函数观点看一元二次方程1.理解二次函数图象与x轴交点的个数和一元二次方程的根的个数之间的关系,表述何时方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根.(重点、难点)2.会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.(重点、难点)二次函数(1)y=x2+x-2;(2)y=x2-6x+9;(3)y=x2-x+1的图象如图所示,观察图象填空.(1)抛物线y=x2+x-2与x轴有两个公共点,它们的横坐标是___,_;当x取公共点的横坐标时,函数的值是__.由此得出方程x2+x-2=0的根是x1=____,x2=___.(2)抛物线y=x2-6x+9与x轴有一个公共点,这点的横坐标是___.当x=__时,函数的值是__.由此得出方程x2-6x+9=0有两个相等的实数根__________.(3)抛物线y=x2-x+1与x轴没有公共点,由此可知,方程x2-x+1=0______________.-2-213x1=x2=3没有实数根1300【总结】一般地,由二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象可知,(1)如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共点,公共点的横坐标是x0,那么当x=x0时,函数的值是__,因此x=__就是方程ax2+bx+c=0的一个根.0x0抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点的个数一元二次方程ax2+bx+c=0根的情况b2-4ac0有___个有两个不相等的实数根b2-4ac=0有___个有两个相等的实数根b2-4ac0没有公共点____实数根两一没有(2)抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)和x轴的位置关系与一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的关系:(打“√”或“×”)(1)二次函数的图象如果经过原点,则此图象与x轴一定有两交点.()(2)如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交,那么一元二次方程ax2+bx+c=0有实数根.()(3)二次函数y=x2-2x+1函数值大于零时自变量x的取值范围是x≠1.()(4)利用二次函数的图象求得一元二次方程的根一般是近似的.()×√√√知识点1二次函数与一元二次方程的关系【例1】已知二次函数y=2x2-mx-m2.(1)求证:对于任意实数m,该二次函数图象与x轴总有公共点.(2)若该二次函数图象与x轴有两个公共点A,B,且A点坐标为(1,0),求B点坐标.【解题探究】(1)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的情况取决于b2-4ac,要说明二次函数的图象与x轴有公共点需要说明什么?提示:要说明二次函数图象与x轴有公共点,需要说明b2-4ac≥0.(2)根据(1)的思路,你能说明对于任意实数m,已知的二次函数图象与x轴总有公共点吗?提示:Δ=(-m)2-4×2×(-m2)=9m2,∵m2≥0,∴Δ≥0.∴对于任意实数m,该二次函数图象与x轴总有公共点.(3)①如何确定m的值?提示:把(1,0)代入二次函数关系式,得0=2-m-m2,∴m1=-2,m2=1.②如何求二次函数的图象与x轴的交点坐标,据此思路如何求B点坐标?提示:令y=0,求出方程的解,即为交点的横坐标.当m=-2时,二次函数关系式为:y=2x2+2x-4,令y=0,得:2x2+2x-4=0,解得x=1或-2,∴二次函数图象与x轴的两个公共点的坐标分别是:(1,0),(-2,0);又∵A点坐标为(1,0),则B(-2,0);当m=1时,同理可得:B(-,0).12【总结提升】二次函数与一元二次方程关系的两方面1.从“数”的方面看:当二次函数y=ax2+bx+c的函数值等于0时,相应的自变量的值为一元二次方程ax2+bx+c=0的解.2.从“形”的方面看:二次函数y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标为一元二次方程ax2+bx+c=0的解.知识点2利用二次函数图象求一元二次方程的根【例2】利用二次函数的图象求一元二次方程x2+2x-2=0的近似根(精确到0.1).【思路点拨】先根据所求解的方程确定二次函数,再配方,画出函数的图象,根据图象与x轴的交点,直接观察出方程的根或应用取平均值的方法逐步逼近方程的近似根.【自主解答】∵y=x2+2x-2=(x+1)2-3,∴顶点坐标为(-1,-3),对称轴为直线x=-1.列表:描点、连线.x-3-2-101y1-2-3-21方法一:由图象知方程x2+2x-2=0的根近似为-2.7与0.7.方法二:由图象知x2+2x-2=0的一个根在-3与-2之间,当x=-2.5时,y=-0.75;当x=-2.75时,y=0.0625;当x=-2.625时,y≈-0.3594;当x=-2.6875时,y≈-0.1523;∵|2.75-2.6875|=0.06250.1,∴方程x2+2x-2=0的一个近似根为-2.6875,x1≈-2.7;类似地可以得到x2+2x-2=0的另一个在0与1之间的近似根x2≈0.7.【互动探究】如何利用函数图象的交点坐标来求解?提示:可以利用y=x2与y=-2x+2两个图象的交点坐标来求解.【总结提升】利用二次函数图象求一元二次方程近似根的三步骤1.先画出函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象.2.通过图象观察一元二次方程的根的取值范围.3.通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围,求得一元二次方程的近似根.题组一:二次函数与一元二次方程的关系1.(2013·株洲中考)二次函数y=2x2+mx+8的图象如图所示,则m的值是()A.-8B.8C.±8D.6【解析】选B.∵抛物线与x轴只有一个交点,∴Δ=0,即m2-4×2×8=0,解得m=±8,又因对称轴在y轴左侧,∴根据“同左异右”可得m与2同号,故m=8.2.(2013·苏州中考)已知二次函数y=x2-3x+m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1,0),则关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的两实数根是()A.x1=1,x2=-1B.x1=1,x2=2C.x1=1,x2=0D.x1=1,x2=3【解析】选B.因为二次函数y=x2-3x+m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1,0),所以x2-3x+m=0的一个实数根为1,把1代入方程得m=2,解x2-3x+2=0得x1=1,x2=2.3.(2013·长沙中考)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列关系式错误的是()A.a0B.c0C.b2-4ac0D.a+b+c0【解析】选D.图象开口向上,则a0;图象交y轴于正半轴,则c0;图象与x轴有两个交点,则b2-4ac0;由图象可知,当x=1时,y0,把x=1代入函数关系式得a+b+c0.故A,B,C正确,D错误.4.(2013·黔西南州中考)如图所示,二次函数y=ax2+bx+c的图象中,王刚同学观察得出了下面四条信息:(1)b2-4ac0.(2)c1.(3)2a-b0.(4)a+b+c0,其中错误的有()A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】选A.图象与x轴有两个交点,所以(1)正确;抛物线与y轴的交点在点(0,1)的下方,所以c1,(2)错误;抛物线的开口方向向下,所以a0,对称轴在y轴的左侧,所以结合图知-1-0,得2a-b0,(3)正确;当x=1时,抛物线在x轴的下方,所以y0,即a+b+c0,(4)正确.故选A.b2a5.二次函数y=x2+x-c的图象与x轴交点的横坐标是2和-3,则方程x2+x-c=0的解是.【解析】二次函数y=x2+x-c的图象与x轴交点的横坐标是2和-3,当y=0时,一元二次方程x2+x-c=0的两个根为x1=2,x2=-3.答案:x1=2,x2=-36.二次函数y=x2-2(m+1)x+4m的图象与x轴有个交点.【解析】根据b2-4ac=[-2(m+1)]2-4×1×4m=4(m-1)2≥0,所以抛物线与x轴有一个或两个交点.答案:一或两题组二:利用二次函数图象求一元二次方程的根1.根据下列表格的对应值:判断方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)的一个解的范围是()A.3x3.23B.3.23x3.24C.3.24x3.25D.3.25x3.26x3.233.243.253.26ax2+bx+c-0.06-0.020.030.07【解析】选C.由表格的对应值可以发现,当3.23x3.26时,ax2+bx+c的值随x值的增大而增大,所以当3.24x3.25时,-0.02ax2+bx+c0.03,则ax2+bx+c=0一个解的范围是3.24x3.25.2.如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象,由图象可知不等式ax2+bx+c0的解集是()A.-1x5B.x5C.x-1D.x-1或x5【解析】选D.观察图象可知抛物线对称轴为直线x=2,且与x轴交于(5,0),依据对称性可求出抛物线与x轴另一交点坐标为(-1,0).二次函数y=ax2+bx+c的部分图象的开口向下,所以不等式ax2+bx+c0的解集是x-1或x5.3.请画出适当的函数图象,求方程x2=x+3的解.【解析】在同一坐标系中如图所示,画出函数y=x2的图象,画出函数y=x+3的图象,这两个图象的交点为A,B,交点A,B的横坐标-和2就是方程x2=x+3的解.12123212【想一想错在哪？】已知:y关于x的函数y=(k-1)x2-2kx+k+2的图象与x轴有交点.求k的取值范围.提示:此函数为一次函数时,与x轴也有一个交点.