九年级数学下册 第26章二次函数 26.1二次函数及其图象 5用待定系数法求二次函数的解析式习题课件

*26.1.5用待定系数法求二次函数的解析式1.根据题目准确分析已知条件,确定二次函数的解析式.(重点)2.利用待定系数法求二次函数的解析式.(重点)一、二次函数的一般式y=ax2+bx+c(a≠0)求解的关键是求出待定系数a,b,c的值,方法是根据已知条件,列出关于a,b,c的______,求出a,b,c,然后写出二次函数解析式.方程组二、二次函数的顶点式抛物线顶点与对称轴的位置y=ax2顶点在_____,对称轴为___轴的抛物线y=ax2+k顶点在___轴,对称轴为___轴的抛物线y=a(x-h)2顶点在___轴,对称轴平行于y轴的抛物线y=a(x-h)2+k顶点为(__，__),对称轴平行于y轴的抛物线原点yyyxhk(打“√”或“×”)(1)抛物线经过原点,则可设其解析式为y=ax2.()(2)用待定系数法求二次函数解析式,只要知道图象上三个点的坐标即可.()(3)抛物线y=a(x+h)2+k的顶点坐标为(h,k).()(4)若抛物线的顶点在直线y=x上,则可以设其解析式为y=a(x-h)2+h.()×√×√知识点1利用三点坐标确定二次函数的一般式【例1】如图,抛物线y=x2+bx+c经过坐标原点,并与x轴交于点A(2,0).(1)求此抛物线的解析式.(2)写出顶点坐标及对称轴.(3)若抛物线上有一点B,且S△OAB=3,求点B的坐标.【思路点拨】(1)把(0,0),(2,0)代入解析式→b,c的值→抛物线解析式.(2)配方成顶点式→顶点坐标、对称轴.(3)△OAB的面积→点B的纵坐标→代入抛物线解析式→点B的横坐标→点B的坐标.【自主解答】(1)把(0,0),(2,0)代入y=x2+bx+c,得解得∴解析式为y=x2-2x.(2)y=x2-2x=(x-1)2-1,∴顶点为(1,-1),对称轴为直线x=1.c042b0，，b2c0－，，(3)设点B的坐标为(a,b),则×2|b|=3,∴b=3或b=-3.∵顶点纵坐标为-1,-3-1(或x2-2x=-3时,x无解),∴b=3,∴x2-2x=3,解得x1=3,x2=-1,∴点B的坐标为(3,3)或(-1,3).12【总结提升】确定二次函数一般式的四步骤1.设:设二次函数解析式为y=ax2+bx+c(a≠0).2.列:根据题意列方程组.3.解:解方程组.4.定:确定二次函数解析式.知识点2利用顶点式确定二次函数解析式【例2】(2013·安徽中考)已知二次函数图象的顶点坐标为(1,-1),且过原点(0,0),求该函数的解析式.【解题探究】1.二次函数顶点式的形式是什么?请根据顶点坐标将题中二次函数写成顶点式的形式.提示:二次函数顶点式的形式为y=_______________.∵题中二次函数图象的顶点坐标是(1,-1),∴y=___________.2.将原点的坐标代入上述解析式求得a并写出解析式.提示:∵二次函数图象过原点,∴_____=0,解得a=__.∴二次函数的解析式为y=__________.a(x-h)2+k(a≠0)a(x-1)2-1a-11(x-1)2-1【互动探究】还可以用什么方法求该二次函数的解析式?提示:根据顶点及对称性,与x轴的另一个交点的坐标为(2,0),把这三个点的坐标代入一般式求解.【总结提升】用顶点式求解析式的三种情况1.已知顶点坐标.2.已知对称轴或顶点的横坐标.3.已知二次函数的最大(小)值或顶点的纵坐标.题组一:利用三点坐标确定二次函数的一般式1.若y=ax2+bx+c(a≠0),则由表格中信息可知y与x之间的函数关系式是()A.y=x2-4x+3B.y=x2-3x+4C.y=x2-3x+3D.y=x2-4x+8x-101ax21ax2+bx+c83【解析】选A.观察表格可得方程组解得即y=x2-4x+3.222a11a1b1c8a0b0c3（）（），a1b4c32.已知二次函数y=-2x2,怎样平移这个函数的图象,才能使它经过(0,1)和(1,6)两点?写出平移后的函数解析式.【解析】设y=-2x2+bx+c,把(0,1),(1,6)代入,得c=1,-2+b+c=6,解得b=7.∴平移后的函数解析式为y=-2x2+7x+1.∵原抛物线的顶点为(0,0),新抛物线的顶点为∴将原二次函数y=-2x2的图象先向右平移个单位,再向上平移个单位,可得y=-2x2+7x+1的图象.757(,).48578743.二次函数图象过A,C,B三点,点A的坐标为(-1,0),点B的坐标为(4,0),点C在y轴正半轴上,且AB=OC.(1)求点C的坐标.(2)求二次函数的解析式.【解析】（1）∵A（-1，0），B（4，0）,∴AO=1，OB=4，AB=AO+OB=1+4=5，∴OC=5，即点C的坐标为（0，5）.（2）设图象经过A，C，B三点的二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），由于这个函数图象过点（0，5），可以得到c=5，又由于该图象过点（-1，0），（4，0），则解方程组，得∴所求的函数解析式为y=-x2+x+5.ab50,16a4b50,5a,415b,4541544.已知二次函数的图象经过点（0,3）,（-3,0）,（2,-5），且与x轴交于A,B两点.（1）试确定此二次函数的解析式.（2）判断点P（-2,3）是否在这个二次函数的图象上?如果在,请求出△PAB的面积;如果不在,试说明理由.【解析】（1）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0）,∵二次函数的图象经过点（0,3）,（-3,0）,（2,-5）,解得所以y=-x2-2x+3.（2）∵-（-2）2-2×（-2）+3=-4+4+3=3,∴点P（-2,3）在这个二次函数的图象上.令-x2-2x+3=0,得x1=-3,x2=1,∴与x轴的交点为（-3,0）,（1,0）.S△PAB=×4×3=6.c3,9a3bc0,4a2bc5,a1,b2,c3,12题组二:利用顶点式确定二次函数解析式1.下列二次函数中,图象以直线x=2为对称轴且经过点(0,1)的是()A.y=(x-2)2+1B.y=(x+2)2+1C.y=(x-2)2-3D.y=(x+2)2-3【解析】选C.根据以直线x=2为对称轴可知选项A,C符合,再根据图象经过点(0,1)知选项C符合.2.将抛物线y=2x2-12x+16绕它的顶点旋转180°,所得抛物线的解析式是()A.y=-2x2-12x+16B.y=-2x2+12x-16C.y=-2x2+12x-19D.y=-2x2+12x-20【解析】选D.y=2x2-12x+16=2(x-3)2-2,所以其顶点坐标为(3,-2),旋转后顶点不变,开口方向向下,所以其解析式为y=-2(x-3)2-2=-2x2+12x-20.3.抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点为(-1,0),(3,0),其形状与抛物线y=-2x2相同,则抛物线的解析式为()A.y=-2x2-x+3B.y=-2x2+4x+5C.y=-2x2+4x+8D.y=-2x2+4x+6【解析】选D.由已知可设该抛物线的解析式为y=-2(x-h)2+k,当x=-1时,y=-2(h+1)2+k=-2h2-4h-2+k=0;当x=3时,y=-2(3-h)2+k=-2h2+12h-18+k=0,可得16h-16=0,h=1,即-2-4-2+k=0,k=8,因此有y=-2(x-1)2+8,即y=-2x2+4x+6.4.如图,已知抛物线的图象如图所示,则该抛物线的解析式是.【解析】根据图象可知,该抛物线的顶点坐标为(1,-1)且过原点,所以设其解析式为y=a(x-1)2-1,把(0,0)代入得a=1,所以抛物线的解析式为y=(x-1)2-1=x2-2x.答案:y=x2-2x5.已知二次函数的图象的对称轴为x=2,函数的最小值为3,且图象经过点(-1,5),求此二次函数的解析式.【解析】根据题意设二次函数的解析式为y=a(x-2)2+3;将点(-1,5)代入得a=,∴二次函数的解析式为y=x2-x+.292989359【想一想错在哪？】已知抛物线y=ax2+bx+c过A(0,1),B(2,7)两点,且形状与抛物线y=x2相同,求此抛物线的解析式.提示:抛物线的形状相同,说明二次项的系数相等或互为相反数.12