九年级数学下册 第3章圆 3.1圆 3.1.1 圆的对称性第2课时课件 湘教版

3.1.1圆的对称性(第2课时)1.了解圆心角的概念.2.理解圆心角、弧、弦的关系，并能正确运用它们之间的关系解决问题.(重点、难点)1.弧的有关概念：(1)弧：圆上任意_______的部分.(2)劣弧：小于_____的部分.(3)优弧：大于_____的部分.2.圆心角：顶点在_____的角.两点间半圆半圆圆心3.圆心角、弧、弦的关系：如图所示，在⊙O中，∠AOB与∠A′OB′为圆心角且∠A′OB′是由∠AOB旋转得到的，点A，B，A′,B′在圆上.【思考】(1)题干中是在什么条件下对圆心角旋转的？提示：在同圆中.(2)如果不利用圆的旋转不变性，能证明AB=A′B′吗?提示：能.由已知条件可知，∠AOB=∠A′OB′,由同圆的半径相等，可得△AOB≌△A′OB′,可得到AB=A′B′.(3)则其所对的圆心角、弦有怎样的数量关系？提示：∠AOB=∠A′OB′,AB=A′B′.(4)AB=A′B′，则其所对的圆心角、弧有怎样的数量关系？提示：∠AOB=∠A′OB′,ABAB，ABAB.【总结】1.在同一个圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧_____，所对的弦也_____.2.垂直于弦的直径_____这条弦所对的_______.相等相等平分两条弧(1)相等的圆心角所对的弦相等.()(2)顶点在圆上的角是圆心角.()(3)不相等的弦所对的弧一定不相等.()(4)在两个同心圆中，相等的圆心角所对的弧不一定相等.()××√√知识点1圆心角、弧、弦间的关系【例1】下列说法正确吗？(1)如图1，小明说：“因为所对的圆心角都是∠O，所以”.(2)如图2，小华说:“因为AB=CD，故AB所对的AB等于CD所对的”.ABAB和ABABCAD【解题探究】(1)什么是等弧?等弧所在的圆的半径有什么关系?提示:等弧是指能完全重合的两条弧,等弧所在的圆的半径相等.(2)一条弦对着几条弧?这条弦所对的弧相等吗?提示:一条弦对着两条弧,这两条弧不一定相等.(3)由探究(1),(2)可得,小明的判断_______,小华的判断_______.不正确不正确【互动探究】在同圆或等圆中弦相等,若要使其所对的弧一定相等,应限定怎样的条件?提示:在同圆或等圆中弦相等,其所对的弧不一定相等,若要使其一定相等,还应限定该弦所对的弧要么是优弧,要么是劣弧.【总结提升】“知一推二”及三限定在同圆或等圆中,两个圆心角、两条弧、两条弦这三组量中有一组量相等,其余的各组量也相等,简称“知一推二”.(1)当知两个圆心角相等时,必须限定同圆或等圆.(2)当两弦相等推圆心角相等时,必须限定同圆或等圆.(3)当两弦相等推弧相等时,除了限定同圆或等圆之外,还要限定两弧是同一类弧.知识点2弧、弦、圆心角关系的应用【例2】在☉O中,弦AB与CD相交,且AB=CD,求证:AD=BC.【思路点拨】弦AB与弦CD相等→弧ADB与弧CBD相等→弧AD与弧BC相等→弦AD与弦BC相等.【自主解答】在⊙O中，∵AB=CD，则ADBCBD，ADBDBCBDDBADBCADBC.，，【总结提升】同一圆中证明两弦相等的四种方法1.若两弦位于两个不同的三角形,证明两弦所在的三角形全等.2.若两弦位于同一个三角形中,根据等角对等边证明两弦相等.3.证明两弦所对的弧相等(同一类弧).4.证明两弦所对的圆心角相等.题组一：圆心角、弧、弦间的关系1.下列说法正确的是()A.等弦所对的弧相等B.圆心角相等，所对的弦相等C.等弧所对的弦相等D.相等的弦所对的圆心角相等【解析】选C.圆心角、弧、弦之间的对应关系前提必须在同圆或等圆中，而等弧一定是在等圆或同圆中的，所以C正确.2.下列图形中表示的角是圆心角的是()【解析】选A.根据圆心角的定义：顶点在圆心的角是圆心角可知，B，C，D项图形中的顶点都不在圆心上，所以它们都不是圆心角.3.已知AB与A′B′分别是⊙O与⊙O′的两条弦，AB=A′B′，那么∠AOB与∠A′O′B′的大小关系是()A.∠AOB=∠A′O′B′B.∠AOB∠A′O′B′C.∠AOB∠A′O′B′D.不能确定【解析】选D．由弦相等推弦所对的圆心角相等，必须保证在同圆或等圆中.此题没有限制，所以不能确定∠AOB和∠A′O′B′的大小关系.4.如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为点E，图中相等的圆心角有_______.【解析】∵直径AB⊥CD,∴∠AOC=∠AOD,∠COB=∠DOB.答案：∠AOC=∠AOD,∠COB=∠DOBACAD,BCBD,5.如图,在☉O中,AC=BD,∠1=45°,求∠2的度数.【解析】∵AC=BD，ACBD，ACBCBDBCABCD2145.，，题组二：弧、弦、圆心角关系的应用1.如图，D，E分别是⊙O的半径OA，OB上的点，CD⊥OA，CE⊥OB，CD=CE，则的关系是()ACBC与A.ACBCB.ACBCC.ACBCD.不能确定【解析】选A.∵CD⊥OA，CE⊥OB，∴∠CDO=∠CEO=90°，∵CD=CE，CO=CO，∴Rt△COD≌Rt△COE，∴∠COD=∠COE，ACBC．【归纳整合】弧、弦、圆心角、弦心距的关系(1)圆心到弦的垂线段的长度叫弦心距.(2)在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及这两个角所对的弧、所对的弦、所对弦的弦心距中，有一组量相等，那么其余各组量都分别相等.2.如图，在⊙O中，点C是的中点，∠A=30°，则∠BOC等于______度.【解析】因为在⊙O中，点C是的中点，所以OC⊥AB，∠AOC=∠BOC;因为∠A=30°，所以∠AOC=90°-30°=60°，所以∠BOC=60°.答案：60ABAB3.如图所示，AB是⊙O的直径，∠AOE=81°，则∠COD=________.BCCDDE，【解析】因为所以∠BOC=∠COD=∠DOE.又因为∠AOE=81°,所以∠BOE=180°-81°=99°,即∠COD=∠BOE=×99°=33°.答案：33°BCCDDE,1313【变式训练】如图所示，AB是⊙O的直径，∠COD=35°，求∠AOE的度数.【解析】∵∴∠BOC=∠COD=∠DOE=35°.∴∠BOE=∠BOC+∠COD+∠DOE=105°.∴∠AOE=180°-∠BOE=180°-105°=75°.BCCDDE，BCCDDE，4.如图，AB为⊙O的弦，半径OE，OF分别交AB于点C，D，且OC=OD，求证：【证明】∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC，∴∠A+∠COA=∠B+∠DOB,∵OA=OB,∴∠A=∠B,∴∠COA=∠DOB,AEBF.AEBF.5.如图，点A，B，C为⊙O上的三点，且(1)求∠AOB，∠BOC，∠AOC的度数.(2)连结AB，BC，AC，试确定△ABC的形状.(3)若⊙O的半径为10cm,求△ABC各边的长.ABBCCA.【解析】(1)在⊙O上，∵∴∠AOB=∠BOC=∠AOC,∵∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°,∴∠AOB=∠BOC=∠AOC=120°.(2)∵∴AB=BC=AC,∴△ABC为等边三角形.ABBCCA,ABBCCA,(3)过点O作OD⊥AB，∵OA=OB，∠AOB=120°，∴∠AOD=60°，∴sin60°=∴AD=AO·sin60°=(cm),∴AB=10cm,∴△ABC各边的长为10cm.AD,AO31053233【想一想错在哪？】如图，∠AOB=90°，C，D是AB的三等分点，AB分别交OC，OD于点E，F.试找出图中相等的线段(半径除外)．提示：AE，EF,BF不是圆的弦，不能直接利用等弧对等弦.