九年级数学上册 第一章 特殊平行四边形阶段复习习题课件 （新版）北师大版

阶段复习课第一章【答案速填】①菱形的四条边相等;②菱形的对角线互相垂直;③对角线互相垂直的平行四边形是菱形;④四边相等的四边形是菱形;⑤矩形的四个角都是直角;⑥矩形的对角线相等;⑦直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半;⑧对角线相等的平行四边形是矩形;⑨有三个角是直角的四边形是矩形;⑩正方形的四个角都是直角,四条边相等;⑪正方形的对角线相等且互相垂直平分;⑫对角线相等的菱形是正方形;⑬对角线垂直的矩形是正方形;⑭有一个角是直角的菱形是正方形.主题1菱形的性质与判定【主题训练1】(2013·宜昌中考)如图,点E,F分别是锐角∠A两边上的点,AE=AF,分别以点E,F为圆心,以AE的长为半径画弧,两弧相交于点D,连接DE,DF.(1)请你判断所画四边形的形状,并说明理由.(2)连接EF,若AE=8cm,∠A=60°,求线段EF的长.【自主解答】(1)菱形.理由:根据题意,得AE=AF=ED=DF,∴四边形AEDF是菱形.(2)∵AE=AF,∠A=60°,∴△EAF是等边三角形,∴EF=AE=8cm.【主题升华】菱形的性质与判定边角对角线性质对边平行,四边相等对角相等,邻角互补互相垂直平分判定四边相等的四边形是菱形对角线互相垂直的平行四边形是菱形1.(2013·怀化中考)如图,在菱形ABCD中,AB=3,∠ABC=60°,则对角线AC=()A.12B.9C.6D.3【解析】选D.∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC,∵∠ABC=60°,∴△ABC为等边三角形,∴AC=AB=3.2.(2013·曲靖中考)如图,在□ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,过点O作EF⊥AC交BC于点E,交AD于点F,连接AE,CF.则四边形AECF是()A.梯形B.矩形C.菱形D.正方形【解题指南】本题涉及的三个知识点1.平行四边形的性质与判定.2.全等三角形的判定与性质.3.菱形的判定.【解析】选C.∵在□ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,∴AO=CO,∠AFO=∠CEO,∴在△AFO和△CEO中,∵∠AFO=∠CEO,∠FOA=∠EOC,AO=CO,∴△AFO≌△CEO(AAS),∴FO=EO,∴四边形AECF是平行四边形,∵EF⊥AC,∴平行四边形AECF是菱形.3.(2013·盐城中考)如图,在平行四边形ABCD中,E为BC边上的一点,连接AE,BD,且AE=AB.(1)求证:∠ABE=∠EAD.(2)若∠AEB=2∠ADB,求证:四边形ABCD是菱形.【证明】(1)∵在平行四边形ABCD中,AD∥BC,∴∠AEB=∠EAD,∵AE=AB,∴∠ABE=∠AEB,∴∠ABE=∠EAD.(2)∵AD∥BC,∴∠ADB=∠DBE,∵∠ABE=∠AEB,∠AEB=2∠ADB,∴∠ABE=2∠ADB,∴∠ABD=∠ABE-∠DBE=2∠ADB-∠ADB=∠ADB,∴AB=AD,又∵四边形ABCD是平行四边形,∴四边形ABCD是菱形.主题2矩形的性质与判定【主题训练2】(2013·铁岭中考)如图,△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的角平分线,点O为AB的中点,连接DO并延长到点E,使OE=OD,连接AE,BE.(1)求证:四边形AEBD是矩形.(2)当△ABC满足什么条件时,矩形AEBD是正方形,并说明理由.【自主解答】(1)∵点O为AB的中点,OE=OD,∴四边形AEBD是平行四边形,∵AB=AC,AD是△ABC的角平分线,∴AD⊥BC,∴∠ADB=90°,∴平行四边形AEBD是矩形.(2)当∠BAC=90°时,矩形AEBD是正方形,理由:∵∠BAC=90°,AB=AC,AD是△ABC的角平分线,∴AD=BD=CD,∵由(1)得四边形AEBD是矩形,∴矩形AEBD是正方形.【备选例题】(2012·鞍山中考)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=60°,AC=a,作斜边AB边中线CD,得到第一个三角形△ACD;DE⊥BC于点E,作Rt△BDE斜边DB上中线EF,得到第二个三角形△DEF;依此作下去…则第n个三角形的面积等于.【自主解答】∵∠ACB=90°,CD是斜边AB上的中线,∴CD=AD,∵∠A=60°,∴△ACD是等边三角形,同理可得,被分成的第二个、第三个…第n个三角形都是等边三角形,∵CD是AB边的中线,EF是DB边的中线,…,∴第一个等边三角形的边长CD=DB=AB=AC=a,第二个等边三角形的边长EF=DB=a,…第n个等边三角形的边长为所以,第n个三角形的面积答案:121212n11a2，2n1n12n11313aaa22222()．22n3a2【主题升华】矩形的性质与判定边角对角线性质对边平行,邻边垂直四个角都是直角互相平分且相等判定邻边垂直的平行四边形是矩形1.一个角是直角的平行四边形是矩形2.三个角是直角的四边形是矩形对角线相等的平行四边形是矩形1.(2013·湘西中考)下列说法中,正确的是()A.同位角相等B.对角线相等的四边形是平行四边形C.四条边相等的四边形是菱形D.矩形的对角线一定互相垂直【解析】选C.没有两直线平行这一条件,同位角不一定相等,故选项A错误;由对角线判定平行四边形、矩形、菱形、正方形,对角线互相平分是必不可少的条件,故选项B错误;四条边相等的四边形是菱形,选项C正确;矩形的对角线相等,而不一定互相垂直,故选项D错误.2.(2013·凉山州中考)如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点A,C的坐标分别为(10,0),(0,4),点D是OA的中点,点P在BC上运动,当△ODP是腰长为5的等腰三角形时,点P的坐标为.【解析】由题意,当△ODP是腰长为5的等腰三角形时,有三种情况:(1)如答图①所示,PD=OD=5.过点P作PE⊥x轴于点E,则PE=4.在Rt△PDE中,由勾股定理得:∴OE=OD-DE=5-3=2,∴此时点P坐标为(2,4).2222DEPDPE543，(2)如答图②所示,OP=OD=5.过点P作PE⊥x轴于点E,则PE=4.在Rt△POE中,由勾股定理得:∴此时点P坐标为(3,4).2222OEOPPE543，(3)如答图③所示,PD=OD=5.过点P作PE⊥x轴于点E,则PE=4.在Rt△PDE中,由勾股定理得:∴OE=OD+DE=5+3=8,∴此时点P坐标为(8,4).综上所述,点P的坐标为:(2,4)或(3,4)或(8,4).答案:(2,4)或(3,4)或(8,4)2222DEPDPE543，3.(2013·遵义中考)如图,将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠,使点C落在点A处,点D落在点E处,直线MN交BC于点M,交AD于点N.(1)求证:CM=CN.(2)若△CMN的面积与△CDN的面积比为3∶1,求的值.MNDN【解析】(1)由折叠的性质可得:∠ANM=∠CNM,∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∴∠ANM=∠CMN,∴∠CMN=∠CNM,∴CM=CN.(2)过点N作NH⊥BC于点H,则四边形NHCD是矩形,∴HC=DN,NH=DC,∵△CMN的面积与△CDN的面积比为3∶1,∴MC=3ND=3HC,∴MH=2HC,CMNCDN1MCNHSMC231SNDDNNH2△△，设DN=x,则HC=x,MH=2x,∴CM=3x=CN,在Rt△CDN中,∴HN=2x,在Rt△MNH中,22DCCNDN22x，22MNMHHN23x，MN23x23DNx．主题3正方形的性质与判定【主题训练3】(2013·济宁中考)如图1,在正方形ABCD中,E,F分别是边AD,DC上的点,且AF⊥BE.(1)求证:AF=BE.(2)如图2,在正方形ABCD中,M,N,P,Q分别是边AB,BC,CD,DA上的点,且MP⊥NQ.MP与NQ是否相等?并说明理由.【自主解答】(1)在正方形ABCD中,AB=AD,∠BAE=∠D=90°,∴∠DAF+∠BAF=90°,∵AF⊥BE,∴∠ABE+∠BAF=90°,∴∠ABE=∠DAF,∵在△ABE和△DAF中,∠ABE=∠DAF,AB=AD,∠BAE=∠D,∴△ABE≌△DAF(ASA),∴AF=BE.(2)MP与NQ相等.理由如下:如图,过点A作AF∥MP交CD于F,过点B作BE∥NQ交AD于E,则与(1)的情况完全相同.【主题升华】平行四边形、矩形、菱形、正方形性质的区别与联系1.边:它们都具有对边平行且相等的性质,而菱形和正方形还具有四条边都相等的性质.2.角:它们都具有对角相等且邻角互补的性质,而矩形和正方形还具有四个角都是90°的性质.3.对角线:它们都具有对角线互相平分的性质,而矩形和正方形的对角线还具有相等的性质,菱形和正方形的对角线还具有互相垂直的性质.1.(2013·菏泽中考)如图,边长为6的大正方形中有两个小正方形,若两个小正方形的面积分别为S1,S2,则S1+S2的值为()A.16B.17C.18D.19【解析】选B.如图,∵四边形ABCD是正方形,∴∠MBN=45°.∵四边形MNQP是正方形,∴MN=NQ,∠MNQ=90°,∴△MBN是等腰直角三角形,∴MN=BN.同理,PQ=DQ,∴BN=NQ=DQ.在Rt△ABD中,∵AB=AD=6,∴S2=NQ2=8.由图形知EF为△BCD的中位线,∵CD=6,∴EF=3,∴S1=EF2=9.∴S1+S2=9+8=17.221BD6662NQBD223＝＝，＝＝，【一题多解】选B.∵正方形边长为6,所以大正方形面积为36,所以大正方形的对角线将其分割成面积为18的两个大等腰直角三角形,如图所示:其中,左上角的等腰直角三角形又被分成9等份,小正方形S2占其中的,∴S2=×18=8;同理,右下角的等腰直角三角形又被分成4等份,小正方形S1占其中的,∴S1=×18=9,∴S1+S2=9+8=17.494912122.(2013·鄂州中考)如图,正方形ABCD的边长为4,E,F分别为DC,BC中点.(1)求证:△ADE≌△ABF.(2)求△AEF的面积.【解析】(1)∵四边形ABCD为正方形,∴AB=AD,∠B=∠D=90°,DC=CB.∵E,F分别为DC,BC中点,∴DE=DC,BF=BC,∴DE=BF,∴△ADE≌△ABF.(2)由题知△ABF,△ADE,△CEF均为直角三角形,且AB=AD=4,DE=BF=×4=2,CE=CF=×4=2.∴S△AEF=S正方形ABCD-S△ADE-S△ABF-S△CEF=4×4-×4×2-×4×2-×2×2=6.12121212121212