浙教版八年级数学上册第3章：一元一次不等式

第3章摇一元一次不等式A23摇摇摇对应学生用书A24页第3章摇一元一次不等式3.1　认识不等式知识点1不等式的定义(绎重点绎)摇摇像v臆40,t逸6000,3x5,qp+2,x屹3这样,用符号“冶(或“臆冶),“冶(或“逸冶),“屹冶连接而成的数学式子,叫做摇不等式摇.这些用来连接的符号统称摇不等号摇.摇摇(1)不等式表示的是实际生活中同类量之间的不等关系.摇摇(2)常用的不等号有“、臆、、逸、屹冶五种,其中“、冶明确表示左右两边严格不相等,并表示了大小关系,“臆、逸冶表示不大于(小于或等于)和不小于(大于或等于),包含了相等关系,“屹冶只表示两边不相等.摇摇(3)不等号有方向性,不等式的两边不能随意交换位置(“屹冶除外).摇摇(4)要弄清不等式与等式的区别.等式是用等号连接的式子,而不等式是用不等号连接的式子.例1摇选择适当的不等号填空:摇摇(1)2摇摇-3;摇摇(2)-5摇摇-7;摇摇(3)|a-1|摇逸摇0;摇摇(4)-15(x+1)2摇臆摇0;摇摇(5)若分式x-2x+5有意义,则x摇屹摇摇-5.分析:(1)(2)利用实数大小的比较方法,选择“冶或“冶号填空;(3)表示a-1的绝对值,根据绝对值的意义可知|a-1|是非负数,所以填“逸冶;(4)中的(x+1)2是非负数,所以-15(x+1)2是非正数,即填“臆冶;(5)中分式的分母不等于0,所以填“屹冶.知识点2列不等式(绎难点绎)摇摇用不等式表示不等关系的步骤:摇摇(1)根据题中所给条件中的关系确定不等式两边的代数式;摇摇(2)正确理解题目中的关键词语,如:多、少、快、慢、增加了、减少了、不足、不到、不大于、不小于、不超过等词的确切的含义;摇摇(3)选用与题意符合的不等号将表示不等关系的两个式子连接起来.摇摇(1)要正确理解每个表示不等关系的术语所代表的大小关系,如“非负数冶、“非正数冶、“不超过冶、“不低于冶等.摇摇(2)不等关系在实际生活中无处不在,要灵活运用不等式的概念,建立不等式模型,解决实际问题.例2摇根据下列数量关系列出不等式:摇摇(1)x减1的绝对值是一个非负数;摇摇(2)a的平方的相反数不是正数;摇摇(3)x的3倍与y的2倍的差小于零;摇摇(4)m的三分之二与n的和不小于8;摇摇(5)a与b的平方和不大于a与b的和的平方.分析:(1)“非负数冶指正数或零,即大于或等于零的数;(2)“不是正数冶指的是负数或零,即小于或等于零的数;(3)先用代数式表示x的3倍与y的2倍的差,然后再用不等号连接;(4)“不小于冶指“大于或等于冶;(5)a与b的平方和用a2+b2表示,a与b的和的平方用(a+b)2表示.解:(1)|x-1|逸0.(2)-a2臆0.(3)3x-2y0.(4)23m+n逸8.(5)a2+b2臆(a+b)2.点拨:建立不等式的关键在于找出表示不等关系的关键字,如“大于冶、“小于冶、“不大于冶、“不小于冶等等,再用代数式表示其中的数量关系.知识点3用数轴表示不等式(绎重点绎)摇摇两个数的不等关系可以用数轴直观地表示出来,主要有以下三种形式:摇摇(1)如图3-1-1忆(1),xa表示小于a的摇全体实数摇,在数轴上表示a左边的所有点,不包括a在内.图3-1-1忆摇摇(2)如图3-1-1忆(2),x逸a表示大于或等于(不小于)a的全体实数,在数轴上表示a右边的所有点,包括a在内.摇摇(3)如图3-1-1忆(3),bxa(ab)表示大于b而小于a的全体实数,在数轴上表示b和a之间的部分.摇摇(1)用数轴表示不等式时,对于界点,有等号时画实心圆点,无等号时画空心圆圈;对于方向,大于向右画,小于向左画.摇摇(2)数轴表示不等式是“由数到形冶的过程,体现了数形结合思想.八年级数学(上)/浙教版A24摇摇摇对应学生用书A25页摇摇例3摇在数轴上表示出下列不等式:摇摇(1)x12;(2)x逸-2;(3)-32臆x1.分析:(1)x12在数轴上表示为12左边的点且不包括12;(2)x逸-2表示-2右边的点且包括-2;(3)-32臆x1表示-32与1之间的所有点且包括-32.解:如图(1),(2),(3).(1)摇摇(2)(3)(例3图)点拨:在数轴上表示不等式时,要注意两个方面:一是大于向右画,小于向左画;二是含等号用实心点,不含等号用空心圈.难点摇利用数轴比较大小关系利用数轴比较大小关系体现了数形结合思想.数形结合思想是重要的思想方法,解决问题除了能将“数冶转化为“形冶外,还要能将“形冶转化为“数冶,即观察数轴,找出数轴上反映大小关系的性质,主要有以下几个方面:一是在数轴上,右边的数总比左边的大;二是原点的左边是负数,右边是正数;三是离原点越近的点绝对值越小.例4摇有理数a,b在数轴上的位置如图3-1-2忆,用不等号填空:摇摇图3-1-2忆摇摇(1)a-b摇摇摇摇0;摇(2)a+b摇摇摇摇0;摇摇(3)ab摇摇摇摇0;摇(4)|a|摇摇摇摇|b|;摇摇(5)a2摇摇摇摇b2;摇(6)ba摇摇摇摇-1.分析:由数轴可知,a0b,且a离原点的距离大于b离原点的距离,即a的绝对值大于b的绝对值,根据有理数的运算法则及有理数大小的比较方法可判断各对数的大小,填入相应的不等号.答案:(1).(2).(3).(4).(5).(6).摇摇点拨:对于这类问题,应根据数形结合思想,找出相应字母在数轴上的位置,并判断它们的符号与绝对值关系,熟练掌握有理数运算的法则和有理数的大小比较方法.3.2　不等式的基本性质知识点1不等式的基本性质1、2(绎重点绎)摇摇1.不等式的基本性质1(摇不等式的传递性摇):ab,bc圯ac.摇摇2.不等式的基本性质2:不等式的两边都摇加上(或减去)同一个数摇,所得到的摇不等式仍成立摇.摇摇即ab圯a+cb+c,a-cb-c;摇摇ab圯a+cb+c,a-cb-c.摇摇(1)不等式的传递性不仅对“冶时适用,对于其他的不等关系同样适用,但要满足两个不等号相同.摇摇(2)不等式基本性质2中“同一个数冶除了可以代表数外,也可以代表代数式.例1摇按下列条件,填写适当的不等号(或式):摇摇(1)若a-1,-1b,则a摇摇b;摇摇(2)若x+43,两边都减去4,得摇x-1摇;摇摇(3)若-3a,则0摇摇a+3;摇摇(4)若-3a+4-2a-5,则-a摇摇-9.分析:(1)根据不等式的传递性可得ab;(2)利用不等式的性质2可得x+4-43-4,即x-1;(3)利用不等式的性质2只要将不等式的两边同时加上3,可得0a+3;(4)利用不等式的性质2将不等式的两边加上2a-4,可得-a-9.知识点2不等式的基本性质3(绎重点绎)摇摇不等式的基本性质3:不等式的两边都乘(或都除以)同一个摇正摇数,所得的不等式仍成立;不等式的两边都乘(或都除以)同一个摇负摇数,必须改变不等号的方向,所得的不等式成立.摇摇即ab,且c0圯acbc,acbc;摇摇ab,且c0圯acbc,acbc.摇摇(1)不等式的两边都乘(或都除以)同一个数时,一定要先认清这个数的符号,如果是正数,不等号的方向不变;如果是负数,那么不等号的方向要改变;如果不等号的两边都乘0,那么不等式的两边都变成0,即不等式变成等式.摇摇(2)不等式的基本性质与等式的基本性质最大的区别是不等式的两边都乘(或都除以)一个负数时,不等号的方向改变,第3章摇一元一次不等式A25摇摇摇对应学生用书A27页这是应用时最容易出错的地方.例2摇(1)下列变形正确的是(摇D摇).摇摇A.由ab,得b-a摇摇B.由-a-b,得ab摇摇C.由-2xa,得x-12a摇摇D.由-12xy,得x-2y摇摇(2)若ab,比较2-a3与2-b3的大小,并说明理由.分析:(1)A不等式的两边只有一边变号,不符合不等式的基本性质;B不等式的两边同乘-1,所以不等号应该改变方向,即ab;C不等式的两边同除以-2,所以不等号要改变方向,即x-12a,所以只有D正确.(2)由不等式的基本性质可知,由ab变形到2-a3与2-b3,是由不等式的两边同时除以-3或乘-1()3再同时加上2得到.解:(2)疫ab(已知),亦-a3-b3(不等式的基本性质3),亦2-a32-b3(不等式的基本性质2).点拨:在进行不等式的变形时,一定要分清变形的方式,然后结合不等式的基本性质判断大小.难点摇不等式的两边都乘(或都除以)同一个代数式当不等式的两边都乘(或都除以)同一个数时,可以根据所乘数的符号合理应用不等式的基本性质3,但当不等式的两边都乘(或都除以)同一个式子时,如果式子的符号可以确定,只要根据基本性质3判断是否需要改变不等号的方向即可;若式子的符号不确定,则需要分类讨论,分类时一般要分正数、负数或零三种情况讨论.例3摇小明和小刚在比较5a和4a的大小时发生了争执.小明说:“5a4a,例如当a=2时,5a=10,4a=8,108,所以5a4a!冶小刚说:“5a4a,例如当a=-2时,5a=-10,4a=-8,-10-8,所以5a4a!冶那么小明和小刚的说法到底谁的是正确的呢?谈谈你自己的看法.摇摇分析:由于a是一个字母,符号不确定,因此判断5a与4a的大小关系时要根据a的符号情况进行分类讨论,所以两个人的说法都没有全面考虑问题,都不正确.摇摇解:两个人的说法都不正确.因为a的符号不确定.应分以下三种情况讨论:摇摇当a0时,5a4a.摇摇当a=0时,5a=4a;摇摇当a0时,5a4a;摇摇点拨:讨论一个字母的符号,一般分“0冶、“=0冶、“0冶三种情况.3.3　一元一次不等式课时　1一元一次不等式知识点1一元一次不等式与不等式的解(绎重点绎)摇摇1.一元一次不等式:不等号的两边都是摇整式摇,而且只含有摇一个未知数摇,未知数的最高次数是摇一次摇,这样的不等式叫做摇一元一次不等式摇.摇摇不等式的解:能使不等式成立的摇未知数的值的全体摇叫做不等式的解集,简称为不等式的解.摇摇2.拓展:(1)一元一次不等式的最简形式为axb或axb(x是未知数,a,b是已知数).(2)不等式的解集一般也是一个不等式,是不等式的最简形式.摇摇(1)一元一次不等式要同时满足三个条件:一是不等式的两边是整式;二是只含有一个未知数;三是未知数的最高次数是一次.摇摇(2)一元一次不等式与一元一次方程的不同点是:前者用不等号连接,后者用等号连接,即前者表示的是不等关系,而后者表示的是相等关系.摇摇(3)不等式的解通常是一个实数的集合,是一个范围,而不是具体的一个数或几个数.例1摇下列各式:淤-2x1;于2x+y4;盂x2-1逸3;榆2x+八年级数学(上)/浙教版A26摇摇摇10;虞x5+7135;愚2x=3+x中,哪些是一元一次不等式?分析:于中有两个未知数;盂中未知数的最高次数为2;榆的左边为分式;愚是一个等式,所以这些都不是一元一次不等式,只有淤虞满足一元一次不等式的定义.解:淤虞是一元一次不等式.点拨:判断一个不等式是不是一元一次不等式要满足三个条件:有一个未知数,未知数的最高次数是一次,不等式两边都是整式.知识点2解一元一次不等式(绎重点绎)摇摇1.解不等式就是利用不等式的基本性质,把要求解的不等式变形成“xa冶(或“x逸a冶),“xa冶(或“x臆a冶)的形式.摇摇2.解一元一次不等式的一般步骤及依据如下:摇摇(1)去分母:利用不等式的基本性质摇3摇,在不等式的两边同乘分母的最小公倍数;摇摇(2)去括号:利用单项式乘多项式法则,把所有因式展开;摇摇(3)移项:利用不等式的基本性质摇2摇,将含有未知数的项移到不等号的左边,常数项移到不等号的右边;摇摇(4)合并同类项:利用合并同类项法则,将不等式化为axb或axb(a屹0)的形式;摇摇(5)系数化为1:利用不等式的基本性质摇3摇,不等式两边同时除以a或乘以1()a,得xba或xba(a屹0)的形式.摇摇(1)解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程的步骤类似