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1【例4】已知梯形ABCD中,60ADBCCDBCC=∠=°=∠=°=∠=°=∠=°∥,,,若6028AEBDAE∠=°∠=°∠=°∠=°∠=°∠=°∠=°∠=°,。求EBC∠∠∠∠的度数。【例5】(2007北京)我们知道:有两条边相等的三角形叫做等腰三角形,类似地,我们定义:至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形。⑴请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称;⑵如图,在ABC∆中,点D、E分别在AB、AC上,设CD、BE相交于O,若1602ADCBEBCA∠=°∠=∠=∠∠=°∠=∠=∠∠=°∠=∠=∠∠=°∠=∠=∠,,请你写出图中一个与A∠∠∠∠相等的角,并猜想图中哪个四边形是等对边四边形;⑶在ABC∆中,如果A∠∠∠∠是不等于60°°°°的锐角,点D、E分别在AB、AC上,且12DCBEBCA∠=∠=∠∠=∠=∠∠=∠=∠∠=∠=∠,探究:满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形,并证明你的结论。三角形(下)2板块三相似三解形【铺垫】(2009重庆江津)在ABC∆中,BC=10,B、C分别是图①中的中点,在图②中,B1、B2、C1、C2分别是AB、AC的三等分点,在图③中B1、B2、…、B9;C1、C2…、C9分别是AB、AC的10等分点,则B1C1+B2C2+…+B9C9的值是______________。【例6】(2009石景山一模)已知:如图⑴,射线AM∥射线BN,AB是它们的公垂线,点D、C分别在AM、BN上运动(点D与点A不重合、点C与点B不重合),E是AB边上的动点(点E与A、B不重合),在运动过程中始终保持DE⊥EC,且AD+DE=AB=a。⑴求证:ADE∆∽BEC∆;⑵如图⑵,当点E为AB边的中点时,求证:AD+BC=CD;⑶设AE=m,请探究:BEC∆的周长是否与m值有关?若有关,请用含有m的代数式表示BEC∆的周长;若无关,请说明理由。3【拓展】(2010东城一模)如图,P为边长为2的正三角形中任意一点,连接PA、PB、PC,过P点分别做三边的垂线,垂足分别为D、E、F,则PD+PE+PF=;阴影部分的面积为_____。测试题演练1(2007河北)在ABC∆中,ABAC=,CGBA⊥交BA的延长线于点G。一等腰直角三角尺按如图1所示的位置摆放,该三角尺的直角顶点为F,一条直角边与AC边在一条直线上,另一条直角边恰好经过点B。⑴在图1中请你通过观察、测量BF与CG的长度,猜想并写出BF与CG满足的数量关系,然后证明你的猜想;⑵当三角尺沿AC方向平移到图2所示的位置时,一条直角边仍与AC边在同一直线上,另一条直角边交BC边于点D,过点D作DEBA⊥于点E.此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度,猜想并写出DEDF+与CG之间满足的数量关系,然后证明你的猜想;⑶当三角尺在⑵的基础上沿AC方向继续平移到图3所示的位置(点F在线段AC上,且点F与点C不重合)时,⑵中的猜想是否仍然成立?(不用说明理由)ABCFG图1ABCEFG图2DABCDEFG图34演练2(2010昌平二模)如图1,在菱形ABCD中,点EF、分别为边ADCD、上的动点(都与菱形的顶点不重合),连接EF、BE、BF。⑴若60A∠=�,且AECFAB+=,判断BEF∆的形状,并说明理由;⑵在⑴的条件下,设菱形的边长为a,求BEF∆面积的最小值。CDAB2()ABCEDF1演练3(2009广西贺州)图中是一副三角板,45°的三角板RtDEF∆的直角顶点D恰好在30°的三角板RtABC∆斜边AB的中点处,3045AE∠=°∠=°,90EDFACB∠=∠=°,DE交AC于点G,GMAB⊥于M。⑴如图1,当DF经过点C时,作CNAB⊥于N,求证:AMDN=。⑵如图2,当DFAC∥时,DF交BC于H,作HNAB⊥于N,⑴的结论仍然成立,请你说明理由。21EHABCDFGMNNMGFEDCBA5答案【解析1】⑴BFCG=;在ABF∆和ACG∆中,∵90FGFABGACABAC∠=∠=°∠=∠=,,,∴(AAS)ABFACG∆∆≌,∴BFCG=。⑵DEDFCG+=;过点D作DHCG⊥于点H(如图4)。∵DEBA⊥于点E,90GDHCG∠=°⊥,,∴四边形EDHG为矩形,∴DEHGDHBG=,∥,∴GBCHDC∠=∠,∵ABAC=,∴FCDGBCHDC∠=∠=∠,又∵90FDHCCDDC∠=∠=°=,,∴(AAS)FDCHCD∆∆≌,∴DFCH=。∴GHCHDEDFCG+=+=,即DEDFCG+=。⑶仍然成立。【解析2】⑴答:BEF∆的形状为等边三角形……………………………………………1分证明:如图1,在菱形ABCD中,60A∠=�,∴ABDC∥,ABBCCDDA===。∴120ADC∠=�,∴1260∠=∠=�。∴160ABDA∠=∠=∠=�。∴,2ABBDA=∠=∠。∵AECFAB+=,DFCFCD+=,∴AEDF=。∴ABE△≌DBF△。∴,34BEBF=∠=∠………………………………………2分又∵3560∠+∠=�,∴4560∠+∠=�…………………………………………3分∴BEF∆为等边三角形。⑵如图2,当BEAD⊥时,BE最小,此时,BEFS∆最小。设此时EF与BD交于点M,∴30ABEDBE∠=∠=�。∵60BEM∠=�,∴90BME∠=�。在RtABE△中,ABa=,∴32BEa=,∴32EFa=…………4分在RtBEM△中,60BEM∠=�,ABCEFG图4HD12345ABCEDF1M2FDEBAC6∴34BMa=…………………………………………5分∴2113333222416BEFSEFBMaaa∆=⋅=××=…………………………6分【解析3】⑴∵3090AACB∠=°∠=°,,D是AB的中点,∴BCBD=,60B∠=°∴△BCD是等边三角形。又∵CNDB⊥,∴12DNDB=,∵90EDF∠=°,BCD∆是等边三角形。∴30ADG∠=°,而30A∠=°,∴GAGD=。∵GMAB⊥,∴12AMAD=又∵ADDB=,∴AMDN=。⑵∵DFAC∥,∴30BDFA∠=∠=°,90AGDGDH∠=∠=°,∴60ADG∠=°。∵60B∠=°,ADDB=,∴ADGDBH∆∆≌,∴AGDH=,又∵BDFA∠=∠,GMAB⊥,HNAB⊥,∴AMGDNH∆∆≌.∴AMDN=.
本文标题:中考数学重点-三角形(下)
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