中考数学专题之二次函数与图形面积的最值及定值压轴问题

2020年中考数学必考经典专题2二次函数与图形面积的最值及定值压轴问题【方法指导】面积是平面几何中一个重要的概念，关联着平面图形中的重要元素边与角，由动点而生成的面积问题，是抛物线与直线形结合的觉形式，常见的面积问题有规则的图形的面积（如直角三角形、平行四边形、菱形、矩形的面积计算问题）以及不规则的图形的面积计算，解决不规则的图形的面积问题是中考压轴题常考的题型，此类问题计算量较大。有时也要根据题目的动点问题产生解的不确定性或多样性。解决动点产生的面积问题，常用到的知识和方法有：（1）如果三角形的某一条边与坐标轴平行，计算这样“规则”的三角形的面积，直接用面积公式．（2）三角形的三条边没有与坐标轴平行的，计算这样“不规则”的三角形的面积，用“割”或“补”的方法．（3）同底等高三角形的面积相等．平行线间的距离处处相等．（4）同底三角形的面积比等于高的比．（5）同高三角形的面积比等于底的比．【题型剖析】【类型1】二次函数与面积最值问题【例1】如图，抛物线2(1)yxk与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点(0,3)C．P为抛物线上一点，横坐标为m，且0m．（1）求此抛物线的解析式；（2）当点P位于x轴下方时，求ABP面积的最大值；（3）设此抛物线在点C与点P之间部分（含点C和点)P最高点与最低点的纵坐标之差为h．①求h关于m的函数解析式，并写出自变量m的取值范围；②当9h时，直接写出BCP的面积．【变式训练】如图，抛物线22(0)yaxaxca与y轴交于点(0,4)C，与x轴交于点A、B，点A坐标为(4,0)．（1）求该抛物线的解析式；（2）抛物线的顶点为N，在x轴上找一点K，使CKKN最小，并求出点K的坐标；（3）点Q是线段AB上的动点，过点Q作//QEAC，交BC于点E，连接CQ．当CQE的面积最大时，求点Q的坐标；【类型2】二次函数与面积定值问题【例2】抛物线229yxbxc与x轴交于(1,0)A，(5,0)B两点，顶点为C，对称轴交x轴于点D，点P为抛物线对称轴CD上的一动点（点P不与C，D重合）．过点C作直线PB的垂线交PB于点E，交x轴于点F．（1）求抛物线的解析式；（2）当PCF的面积为5时，求点P的坐标；（3）当PCF为等腰三角形时，请直接写出点P的坐标．【变式训练】已知抛物线23yaxbx经过点(1,0)A和点(3,0)B，与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上的动点．（1）抛物线的解析式为____，抛物线的顶点坐标为____；（2）如图1，连接OP交BC于点D，当:1:2CPDBPDSS时，请求出点D的坐标；（3）如图2，点E的坐标为(0,1)，点G为x轴负半轴上的一点，15OGE，连接PE，若2PEGOGE，请求出点P的坐标；（4）如图3，是否存在点P，使四边形BOCP的面积为8？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【类型3】二次函数与等面积问题【例3】如图，二次函数23yxbx的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为(1,0)，点D为OC的中点，点P在抛物线上．（1）b______；（2）若点P在第一象限，过点P作PHx轴，垂足为H，PH与BC、BD分别交于点M、N．是否存在这样的点P，使得PMMNNH？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P的横坐标小于3，过点P作PQBD，垂足为Q，直线PQ与x轴交于点R，且2PQBQRBSS，求点P的坐标．【变式训练】如图，抛物线2yaxbxc的图象过点(1,0)A、(3,0)B、(0,3)C．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得PAC的周长最小，若存在，请求出点P的坐标及PAC的周长；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，在x轴上方的抛物线上是否存在点M（不与C点重合），使得PAMPACSS？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【类型4】二次函数与面积数量关系【例4】如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，D为顶点，其中点B的坐标为(5,0)，点D的坐标为(1,3)．（1）求该二次函数的表达式；（2）点E是线段BD上的一点，过点E作x轴的垂线，垂足为F，且EDEF，求点E的坐标．（3）试问在该二次函数图象上是否存在点G，使得ADG的面积是BDG的面积的35？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．【变式训练】如图抛物线2yaxbxc经过点(1,0)A，点(0,3)C，且OBOC．（1）求抛物线的解析式及其对称轴；（2）点D、E在直线1x上的两个动点，且1DE，点D在点E的上方，求四边形ACDE的周长的最小值．（3）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为3:5两部分，求点P的坐标．【达标检测】1．如图，已知抛物线23yaxbx与x轴交于点(3,0)A和点(1,0)B，交y轴于点C，过点C作//CDx轴，交抛物线于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）若直线(30)ymm与线段AD、BD分别交于G、H两点，过G点作EGx轴于点E，过点H作HFx轴于点F，求矩形GEFH的最大面积；（3）若直线1ykx将四边形ABCD分成左、右两个部分，面积分别为1S，2S，且12:4:5SS，求k的值．2．如图，抛物线2(0)yaxbxa过点(10,0)E，矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左边），点C，D在抛物线上．设(,0)At，当2t时，4AD．（1）求抛物线的函数表达式．（2）当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？（3）保持2t时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．3．已知：如图，抛物线223yxx与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，该抛物线的顶点为M．（1）求点A、B、C的坐标．（2）求直线BM的函数解析式．（3）试说明：90CBMCMB．（4）在抛物线上是否存在点P，使直线CP把BCM分成面积相等的两部分？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图1，抛物线21:Cyxax与22:Cyxbx相交于点O、C，1C与2C分别交x轴于点B、A，且B为线段AO的中点．（1）求ab的值；（2）若OCAC，求OAC的面积；（3）抛物线2C的对称轴为l，顶点为M，在（2）的条件下：①点P为抛物线2C对称轴l上一动点，当PAC的周长最小时，求点P的坐标；②如图2，点E在抛物线2C上点O与点M之间运动，四边形OBCE的面积是否存在最大值？若存在，求出面积的最大值和点E的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线232yxbxc与x轴交于(1,0)A，(2,0)B两点，与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）直线yxn与该抛物线在第四象限内交于点D，与线段BC交于点E，与x轴交于点F，且4BEEC．①求n的值；②连接AC，CD，线段AC与线段DF交于点G，AGF与CGD是否全等？请说明理由；（3）直线(0)ymm与该抛物线的交点为M，N（点M在点N的左侧），点M关于y轴的对称点为点M，点H的坐标为(1,0)．若四边形OMNH的面积为53．求点H到OM的距离d的值．6．如图，已知二次函数23(2)34yaxax的图象经过点(4,0)A，与y轴交于点B．在x轴上有一动点(Cm，0)(04)m，过点C作x轴的垂线交直线AB于点E，交该二次函数图象于点D．（1）求a的值和直线AB的解析式；（2）过点D作DFAB于点F，设ACE，DEF的面积分别为1S，2S，若124SS，求m的值；（3）点H是该二次函数图象上位于第一象限的动点，点G是线段AB上的动点，当四边形DEGH是平行四边形，且DEGH周长取最大值时，求点G的坐标．7．如图①，在平面直角坐标系xOy中，抛物线23yaxbx经过点(1,0)A、(3,0)B两点，且与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）如图②，用宽为4个单位长度的直尺垂直于x轴，并沿x轴左右平移，直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于P、Q两点（点P在点Q的左侧），连接PQ，在线段PQ上方抛物线上有一动点D，连接DP、DQ．（Ⅰ）若点P的横坐标为12，求DPQ面积的最大值，并求此时点D的坐标；（Ⅱ）直尺在平移过程中，DPQ面积是否有最大值？若有，求出面积的最大值；若没有，请说明理由．8．已知抛物线2(1)yax过点(3,1)，D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点B、C均在抛物线上，其中点1(0,)4B，且90BDC，求点C的坐标；（3）如图，直线4ykxk与抛物线交于P、Q两点．①求证：90PDQ；②求PDQ面积的最小值．9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线222433yxx与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．（1）求点A，B，C的坐标；（2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向B点运动，同时，点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．设运动时间为t秒，求运动时间t为多少秒时，PBQ的面积S最大，并求出其最大面积；（3）在（2）的条件下，当PBQ面积最大时，在BC下方的抛物线上是否存在点M，使BMC的面积是PBQ面积的1.6倍？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，已知抛物线2342yaxx的对称轴是直线3x，且与x轴相交于A，B两点(B点在A点右侧）与y轴交于C点．（1）求抛物线的解析式和A、B两点的坐标；（2）若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），则是否存在一点P，使PBC的面积最大．若存在，请求出PBC的最大面积；若不存在，试说明理由；（3）若M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当3MN时，求M点的坐标．