八年级数学下册 第2章 四边形2.7正方形习题课件 （新版）湘教版

2.7正方形1.掌握正方形的性质和判定.(重点)2.理解正方形与矩形、菱形的关系.(重点、难点)3.会用正方形的性质和判定进行计算或证明.(重点、难点)一、正方形的定义有一组邻边_____且有一个角是_____的_____四边形.二、正方形的性质1.正方形的四条边都_____,四个角都是_____.2.正方形的对角线_____,且互相_________.3.正方形是_____对称图形,_____________是它的对称中心.4.正方形是_______图形,两条_______所在直线,以及过每一组对边_____的直线都是它的对称轴.相等直角平行相等直角相等垂直平分中心对角线的交点轴对称对角线中点三、正方形的判定1.有一组邻边_____的矩形是正方形.2.有一个角为_____的菱形是正方形.3.对角线_____的菱形是正方形.4.对角线_________的矩形是正方形.相等直角相等互相垂直(打“√”或“×”)(1)菱形具有正方形的一切性质.()(2)一组邻边相等且有一个角是直角的四边形是正方形.()(3)一条对角线平分一组对角的矩形是正方形.()(4)正方形的面积等于两条对角线积的一半.()(5)正方形的邻边互相垂直,邻角相等.()××√√√知识点1正方形的性质【例1】(2013·鄂州中考)如图正方形ABCD的边长为4,E,F分别为DC,BC中点.(1)求证:△ADE≌△ABF.(2)求△AEF的面积.【思路点拨】(1)根据正方形的性质,找出△ADE和△ABF中相等的边和角进而证明全等.(2)由题知△ABF,△ADE,△CEF均为直角三角形→求DE,BF,CE,CF的长→根据S△AEF=S正方形ABCD-S△ADE-S△ABF-S△CEF得出结果.【自主解答】(1)∵四边形ABCD为正方形，∴AB=AD，∠B=∠D=90°，DC=CB.∵E,F分别为DC,BC中点，∴DE=DC，BF=BC，∴DE=BF.∵在△ADE和△ABF中，∴△ADE≌△ABF(SAS).1212ADAB,DB,DEBF，(2)由题意知△ABF,△ADE,△CEF均为直角三角形，且AB=AD=4，DE=BF=×4=2,CE=CF=×4=2，∴S△AEF=S正方形ABCD-S△ADE-S△ABF-S△CEF=4×4-×4×2-×4×2-×2×2=6.1212121212【总结提升】正方形的“边、角、对角线”1.边:四条边都相等且每组对边平行.2.角:四个角都是直角.3.对角线:两条对角线相等且互相垂直平分,把正方形分成四个全等的等腰直角三角形;每条对角线平分一组对角,把正方形分成两个全等的等腰直角三角形.知识点2正方形的判定【例2】如图,在△ABC中,点D是边BC的中点,DE⊥AC,DF⊥AB,垂足分别是E,F,且BF=CE.(1)求证:DE=DF.(2)当∠A=90°时,试判断四边形AFDE是怎样的四边形,并证明你的结论.【思路点拨】(1)DE⊥AC,DF⊥AB→∠BFD=∠CED=90°→Rt△BDF≌Rt△CDE→DE=DF(2)∠A=90°→四边形AFDE是矩形结论DFDE【自主解答】(1)∵DE⊥AC,DF⊥AB,∴∠BFD=∠CED=90°,在Rt△BDF和Rt△CDE中,∵BD=CD,BF=CE,∴Rt△BDF≌Rt△CDE(HL),∴DE=DF.(2)四边形AFDE是正方形.证明:∵∠A=90°,DE⊥AC,DF⊥AB,∴四边形AFDE是矩形,又∵Rt△BDF≌Rt△CDE,∴DF=DE,∴四边形AFDE是正方形.【总结提升】判定正方形的一般思路题组一:正方形的性质1.如图,将正方形纸片ABCD折叠,使边AB,CB均落在对角线BD上,得折痕BE,BF,则∠EBF的大小为()A.15°B.30°C.45°D.60°【解析】选C.∵将正方形纸片ABCD折叠,使边AB,CB均落在对角线BD上,得折痕BE,BF,∴∠ABE=∠DBE=∠DBF=∠FBC,∴∠EBF=∠ABC=45°.122.(2013·枣庄中考)如图，在边长为2的正方形ABCD中，M为边AD的中点，延长MD至点E，使ME=MC，以DE为边作正方形DEFG，点G在边CD上，则DG的长为()【解析】选D.∵四边形ABCD是正方形，∴DC＝DA＝2，∵M为边AD的中点，∴DM＝1，∴A31B35C51D51．－．－．．－22MEMC125DGDE51，－．3.如图,正方形ABCD中,对角线AC=10,M是AB上任意一点,由M点作ME⊥OA,MF⊥OB,垂足分别为E,F点,则ME+MF的值为()A.20B.10C.15D.5【解析】选D.已知正方形ABCD中,对角线AC=10,M是AB上任意一点,由M点作ME⊥OA,MF⊥OB,∴四边形EMFO为矩形,∴MF=OE,又∠BAC=∠ABD,ME∥BD,∴∠AME=∠ABD=∠BAC,∴ME=AE,∴ME+MF=AE+OE=AO,又正方形ABCD中,对角线AC=10,∴ME+MF=AO=AC=×10=5.12124.(2013·雅安中考)如图,正方形ABCD中,点E,F分别在BC,CD上,△AEF是等边三角形,连接AC交EF于G,下列结论:①BE=DF.②∠DAF=15°.③AC垂直平分EF.④BE+DF=EF.⑤S△CEF=2S△ABE.其中正确结论有()A.2个B.3个C.4个D.5个【解析】选C.①∵△AEF是等边三角形,∴AE=AF,又∵AB=AD,∴Rt△ABE≌Rt△ADF,∴BE=DF.故①正确.②∵△ABE≌△ADF,∴∠DAF=∠BAE,又∵∠EAF=60°,∴∠DAF=∠BAE==15°.故②正确.③∵∠DAF=∠BAE=15°,∠BAC=∠DAC=45°,∴∠EAG=∠FAG=30°,又∵△AEF是等边三角形,∴AC垂直平分EF.故③正确.90602－④把△ADF绕点A顺时针旋转90°至△ABF′的位置(或延长EB至F′，使BF′=DF,连接AF′)，∴∠F′AE=30°,∠F′=∠AEF′=75°,∴EF′≠AE,∵EF′=BE＋DF,AE=EF,∴BE＋DF≠EF.故④不正确.⑤过点E作EN⊥AF′，垂足为N，∵∠NAE=30°,∴NE=AE,∵BE=DF,BC=CD,∴CE=CF,∵AC⊥EF,∴CG=EF,又∵AE=EF,∴EN=CG,又∵AF′=AE=EF,∴S△AEF′=S△CEF,∴S△CEF=2S△ABE.故⑤正确.12125.如图,边长为2的正方形ABCD的对角线相交于点O,过点O的直线分别交AD,BC于E,F,则阴影部分的面积是.【解析】由题意可知,△DEO≌△BFO,∴S△DEO=S△BFO,阴影部分面积=S△BOC=×2×1=1.答案:112【变式备选】如图,三个边长均为2的正方形重叠在一起,O1,O2是其中两个正方形的中心,则阴影部分的面积是.【解析】连接O1B,O1C,∵∠BO1F+∠FO1C=90°,∠FO1C+∠CO1G=90°,∴∠BO1F=∠CO1G,∵四边形ABCD是正方形,∴∠O1BF=∠O1CG=45°,又∵O1B=O1C,∴△O1BF≌△O1CG,∴左边两个正方形重叠的阴影部分的面积是S正方形,同理另外的阴影部分的面积也是S正方形,∴S阴影部分=S正方形=2.答案:21214146.如图,A,B,C三点在同一条直线上,AB=2BC,分别以AB,BC为边作正方形ABEF和正方形BCMN,连接FN,EC.求证:FN=EC.【证明】在正方形ABEF中和正方形BCMN中,AB=BE=EF,BC=BN,∠FEN=∠EBC=90°,∵AB=2BC,∴EN=BC,∴△FNE≌△ECB,∴FN=EC.题组二:正方形的判定1.已知四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°,如果添加一个条件,即可推出该四边形是正方形,那么这个条件可以是()A.∠D=90°B.AB=CDC.AD=BCD.BC=CD【解析】选D.由∠A=∠B=∠C=90°可判定四边形ABCD为矩形,因此再添加条件:一组邻边相等,即可判定其为正方形,故选D.2.下列说法不正确的是()A.有一个角是直角的菱形是正方形B.两条对角线相等的菱形是正方形C.对角线互相垂直的矩形是正方形D.四条边都相等的四边形是正方形【解析】选D.四条边都相等的四边形是菱形,不一定是正方形.A,B,C选项均符合正方形的判定,是正方形.3.如图,在四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA,对角线AC与BD相交于点O,若不增加任何字母与辅助线,要使四边形ABCD是正方形,则还需增加一个条件是.【解析】∵在四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA,∴四边形ABCD是菱形.∴要使菱形ABCD是正方形,则还需增加一个条件可以是AC=BD或AB⊥BC.答案:AC=BD(答案不唯一)4.如图,正方形ABCD的对角线AC,BD交于点O,过点D作DP∥OC,且DP=OC,连接CP,试判断四边形CODP的形状,并证明.【解析】四边形CODP为正方形.理由:由正方形的性质,得OD=OC,且OD⊥OC.因为DP∥OC,且DP=OC,所以四边形CODP为平行四边形,因为OD⊥OC,所以四边形CODP为矩形,因为OD=OC,所以矩形CODP为正方形.5.如图,点O是线段AB上的一点,OA=OC,OD平分∠AOC交AC于点D,OF平分∠COB,CF⊥OF于点F.(1)求证:四边形CDOF是矩形.(2)当∠AOC为多少度时,四边形CDOF是正方形?并说明理由.【解析】(1)∵OD平分∠AOC,OF平分∠COB,∴∠AOC=2∠COD,∠COB=2∠COF,∵∠AOC+∠BOC=180°,∴2∠COD+2∠COF=180°,∴∠COD+∠COF=90°,∴∠DOF=90°.∵OA=OC,OD平分∠AOC,∴OD⊥AC,AD=DC(等腰三角形的“三线合一”的性质),∴∠CDO=90°,∵CF⊥OF,∴∠CFO=90°,∴四边形CDOF是矩形.(2)当∠AOC=90°时,四边形CDOF是正方形.理由如下:∵∠AOC=90°,AD=DC,∴OD=DC.又由(1)知四边形CDOF是矩形,则四边形CDOF是正方形.因此,当∠AOC=90°时,四边形CDOF是正方形.【想一想错在哪？】E,F,M,N分别是正方形ABCD四条边上的点,AE=BF=CM=DN,四边形EFMN是什么图形?证明你的结论.提示:四边形EFMN应该是一个正方形.