八年级数学下册 第19章 矩形、菱形与正方形 19.3正方形第2课时课件 （新版）华东师大版

19.3正方形第2课时1.正方形的常用判定方法.(重点)2.正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质与判定的灵活运用.(难点)一、正方形的判定(1)有一个角是_____的_____为正方形.(2)有一组邻边_____的_____是正方形.二、平行四边形，矩形，菱形，正方形的关系直角菱形相等矩形正方形(打“√”或“×”)(1)一组邻边相等且有一个角是直角的四边形是正方形.()(2)两条对角线垂直平分的矩形是正方形.()(3)有一个角是直角的平行四边形是正方形.()(4)对角线垂直且相等的四边形是正方形.()×√××知识点正方形的判定【例】(2013·南京中考)如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N.(1)求证：∠ADB=∠CDB.(2)若∠ADC=90°，求证：四边形MPND是正方形.【思路点拨】(1)BD平分∠ABC，AB=BC→△ABD≌△CBD→结论.(2)PM⊥AD，PN⊥CD，∠ADC=90°→四边形MPND是矩形→由角平分线的性质→PM=PN→结论.【自主解答】(1)∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，又∵BA=BC，BD=BD，∴△ABD≌△CBD，∴∠ADB=∠CDB.(2)∵PM⊥AD，PN⊥CD，∴∠PMD=∠PND=90°.又∵∠ADC=90°，∴四边形MPND是矩形.∵∠ADB=∠CDB，PM⊥AD，PN⊥CD，∴PM=PN.∴矩形MPND是正方形.【总结提升】判定正方形的三步法(1)先证明它是平行四边形.(2)再证明有一组邻边相等(或一个角是直角).(3)最后证明它有一个角是直角(或有一组邻边相等).题组：正方形的判定1.下列说法不正确的是()A.有一个角是直角的菱形是正方形B.两条对角线相等的菱形是正方形C.对角线互相垂直的矩形是正方形D.四条边都相等的四边形是正方形【解析】选D.四条边都相等的四边形是菱形，不一定是正方形.A，B，C选项均符合正方形的判定，是正方形.2.如图，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，对角线AC与BD相交于点O，若不增加任何字母与辅助线，要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是.【解析】∵在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，∴四边形ABCD是菱形.∴要使菱形ABCD是正方形，则还需增加一个条件可以是AC=BD或AB⊥BC.答案：AC=BD(答案不唯一)3.如图，点O是线段AB上的一点，OA=OC，OD平分∠AOC交AC于点D，OF平分∠COB，CF⊥OF于点F.(1)求证：四边形CDOF是矩形.(2)当∠AOC为多少度时，四边形CDOF是正方形？并说明理由.【解析】(1)∵OD平分∠AOC，OF平分∠COB，∴∠AOC=2∠COD，∠COB=2∠COF.∵∠AOC+∠BOC=180°，∴2∠COD+2∠COF=180°，∴∠COD+∠COF=90°，∴∠DOF=90°.∵OA=OC，OD平分∠AOC，∴OD⊥AC，AD=DC，∴∠CDO=90°.∵CF⊥OF，∴∠CFO=90°，∴四边形CDOF是矩形.(2)当∠AOC=90°时，四边形CDOF是正方形.理由如下：∵∠AOC=90°，AD=DC，∴OD=DC.又由(1)知四边形CDOF是矩形，则矩形CDOF是正方形.因此，当∠AOC=90°时，四边形CDOF是正方形.4.如图所示，点D是线段AB的中点，点C是线段AB的垂直平分线上的任意一点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F.(1)求证：CE=CF.(2)点C运动到什么位置时，四边形CEDF成为正方形？说明理由.【解析】(1)∵CD垂直平分AB，∴△ADC≌△BDC.∴∠DCA=∠DCB.∵DE⊥AC，DF⊥BC，在Rt△DEC和Rt△DFC中，∠DCE=∠DCF，∠DEC=∠DFC=90°，DC=DC.∴Rt△DEC≌Rt△DFC.∴CE=CF.(2)当CD=AB时，四边形CEDF为正方形.证明：当CD=AB时，∵DA=DB=AB，∴DA=DC，DC=DB，∴△ADC和△BDC均为等腰直角三角形.∴∠A=∠ACD=∠B=∠DCB=45°．∴∠ECF=45°+45°=90°．∵DE⊥AC，DF⊥BC，∴四边形CEDF为矩形，∵CE=CF，∴四边形CEDF为正方形.121212【想一想错在哪？】E，F，M，N分别是正方形ABCD四条边上的点，AE=BF=CM=DN，四边形EFMN是什么图形？证明你的结论.提示：四边形EFMN应该是一个正方形.